高三理科數(shù)學二輪復習講義模塊二專題六高考解答題專講（六）概率與統(tǒng)計

專題六概率與統(tǒng)計、算法、復數(shù)、推理與證明高考解答題專講(六)概率與統(tǒng)計一、離散型隨機變量的均值與方差在解決離散型隨機變量的均值與方差的問題時，要善于將復雜事件分解為較簡單事件，對照相關概率類型，如互斥事件類型、相互獨立事件類型、古典概型等，然后用相關公式求解．[思維流程](1)eq\x(\a\al(計算3類節(jié)目各抽,取1個的事件個數(shù)))→eq\x(\a\al(計算事,件總數(shù)))→eq\x(\a\al(代入古典概型,概率公式求解))(2)eq\x(\a\al(確定ξ,的取值))→eq\x(\a\al(計算ξ各取,值的概率))→eq\x(\a\al(求ξ的,分布列))→eq\x(求數(shù)學期望)[解](1)記“這3類節(jié)目各被抽到1個”為事件A，由分步乘法計數(shù)原理可得，3類節(jié)目各抽取1個的事件數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝12，事件總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)＝35，則P(A)＝eq\f(12,35).(2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)E(ξ)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(18,35)＋2×eq\f(12,35)＋3×eq\f(1,35)＝eq\f(9,7).求解離散型隨機變量的分布列及相關問題的思路(1)明確隨機變量可能取哪些值．(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和數(shù)學期望、方差公式求解．[對點訓練]1．某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有1,2,3三個問題，每位參賽者按問題1,2,3的順序作答，競賽規(guī)則如下：①每位參賽者計分器的初始分均為10分，答對問題1,2,3分別加1分，2分，3分，答錯任一題減2分；②每回答一題，積分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于12分時，答題結束，進入下一輪；當答完三題，累計分數(shù)仍不足12分時，答題結束，淘汰出局．已知甲同學回答1,2,3三個問題正確的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)求甲同學能進入下一輪的概率；(2)用X表示甲同學本輪答題結束時的累計分數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．[解](1)設事件A表示“甲同學問題1回答正確”，事件B表示“甲同學問題2回答正確”，事件C表示“甲同學問題3回答正確”，依題意得P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,3).記“甲同學能進入下一輪”為事件D，則P(D)＝P(Aeq\o(B,\s\up16(－))C＋AB＋eq\o(A,\s\up16(－))BC)＝P(Aeq\o(B,\s\up16(－))C)＋P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))BC)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up16(－)))P(C)＋P(A)P(B)＋P(eq\o(A,\s\up16(－)))P(B)P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(13,24).(2)X可能的取值是6,7,8,12,13.P(X＝6)＝P(eq\o(A,\s\up16(－))eq\o(B,\s\up16(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(X＝7)＝P(Aeq\o(B,\s\up16(－))eq\o(C,\s\up16(－)))＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(X＝8)＝P(eq\o(A,\s\up16(－))Beq\o(C,\s\up16(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,12)，P(X＝12)＝P(Aeq\o(B,\s\up16(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,8)，P(X＝13)＝P(AB＋eq\o(A,\s\up16(－))BC)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))BC)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).所以X的分布列為X6781213Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,8)eq\f(5,12)X的數(shù)學期望E(X)＝6×eq\f(1,8)＋7×eq\f(1,4)＋8×eq\f(1,12)＋12×eq\f(1,8)＋13×eq\f(5,12)＝eq\f(121,12).二、線性回歸分析與獨立性檢驗1．在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值．2．獨立性檢驗的關鍵是根據(jù)2×2列聯(lián)表準確計算出K2，再做判斷．[思維流程]eq\x(\a\al(理解圖,表信息))→eq\x(\a\al(計算公式中,的相關數(shù)據(jù)))→eq\x(\a\al(確定回,歸方程))→eq\x(\a\al(作出,預測))[解](1)記“至少有一個大于600”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10).(2)由題中表格可知，eq\o(x,\s\up16(－))＝eq\f(555＋559＋551＋563＋552,5)＝556，eq\o(y,\s\up16(－))＝eq\f(601＋605＋597＋599＋598,5)＝600.∴eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(－1×1＋3×5＋－5×－3＋7×－1＋－4×－2,－12＋32＋－52＋72＋－42)＝eq\f(30,100)＝0.3，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\o(y,\s\up16(－))－eq\o(b,\s\up16(^))eq\o(x,\s\up16(－))＝600－0.3×556＝433.2，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up16(^))＝0.3x＋433.2.當x＝570時，eq\o(y,\s\up16(^))＝0.3×570＋433.2＝604.2，故特征量x為570時，特征量y的估計值為604.2.線性回歸分析與獨立性檢驗的計算(1)由回歸方程分析得出的數(shù)據(jù)只是預測值不是精確值，此類問題的易錯點是方程中eq\o(b,\s\up16(^))的計算，代入公式計算要細心．(2)獨立性檢驗是指利用2×2列聯(lián)表，通過計算隨機變量K2來確定在多大程度上兩個分類變量有關系的方法．[對點訓練]2．(2017·內蒙古包頭十校聯(lián)考)2016年1月1日起全國統(tǒng)一實施全面的兩孩政策，為了解適齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度，某市選取70后80后作為調查對象，隨機調查了100人并對調查結果進行統(tǒng)計，70后不打算生二胎的占全部調查人數(shù)的15%,80后打算生二胎的占全部被調查人數(shù)的45%,100人中共有75人打算生二胎．(1)根據(jù)調查數(shù)據(jù)，判斷是否有90%以上把握認為“生二胎與年齡有關”，并說明理由；(2)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率估計概率，若從該市70后公民中(人數(shù)很多)隨機抽取3位，記其中打算生二胎的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列，數(shù)學期望E(X)和方差D(X)．參考公式：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)由題意得年齡與生二胎的列聯(lián)表為：生二胎不生二胎總計70后30154580后451055總計7525100所以K2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)>2.706，所以有90%以上把握認為“生二胎與年齡有關”．(2)由已知得該市70后“生二胎”的概率為eq\f(30,45)＝eq\f(2,3)，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3－k(k＝0,1,2,3)．故X的分布列為：X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2，方差D(X)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).熱點課題25概率與統(tǒng)計的交匯問題[感悟體驗](2017·福州質檢)某學校為鼓勵家校互動，與某通訊商合作，為教師辦理流量套餐．為了解該校教師流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人月平均使用流量L(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的月平均使用流量分別視為其月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問題．(1)從該校教師中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人月使用流量不超過300M的概率；(2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：套餐名稱月套餐費/元月套餐流量/MA20300B30500C38700這三款套餐都有如下附加條款：套餐費月初一次性收取，使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動幫用戶充值200M流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值200M流量，資費20元，以此類推，如果當月流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，無法轉入次月使用．學校欲訂購其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費，并承擔系統(tǒng)自動充值的流量資費的75%，其余部分由教師個人承擔，問學校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟？說明理由．[解](1)記“從該校隨機抽取1位教師，該教師月使用流量不超過300M”為事件D.依題意，P(D)＝(0.0008＋0.0022)×100＝0.3.從該校教師中隨機抽取3人，設這3人中月使用流量不超過300M的人數(shù)為X，則X～B(3,0.3)，所以從該校教師中隨機抽取3人，至多有1人月使用流量不超過300M的概率為P(X＝0)＋P(X＝1)＝Ceq\o\al(0,3)×0.30×(1－0.3)3＋Ceq\o\al(1,3)×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.(2)依題意，從該校隨機抽取1位教師，該教師月使用流量L∈(300,500]的概率為(0.0025＋0.0035)×100＝0.6，L∈(500,700]的概率為(0.0008＋0.0002)×100＝0.1.當學校訂購A套餐時，設學校為1位教師承擔的月費用為X1元，則X1的所有可能取值為20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1，所以X1的分布列為X1203550P0.30.60.1所以E(X1)＝2