小學奧數(shù)講義-等差數(shù)列的認識與公式運用

目隔

助3方

本講知識點屬于計算板塊的部分，難度較三年級學到的該內容稍大，最突出一點就是把公式用字母表

示。要求學生熟記等差數(shù)列三個公式,并在公式中找出對應的各個量進行計算。

娜諛嘉撥

一、等差數(shù)列的定義

（1）先介紹一下一些定義和表示方法

定義：從第二項起,每一項都比前一項大（或?。┮粋€常數(shù)（固定不變的數(shù)），這樣的數(shù)列我們稱它為等差數(shù)

列.

冬如：2、5、8、11、14、17、20、從第二項起，每一項比前一項大3,遞增數(shù)列

100、95、90、85、80、從第二項起，每一項比前一項小5,遞減數(shù)列

⑵首項：一個數(shù)列的第一項,通常用4表示

末項：一個數(shù)列的最后一項，通常用表示,它也可表示數(shù)列的第〃項。

項數(shù)：一個數(shù)列全部項的個數(shù),通常月〃來表示；

公差：等差數(shù)列每兩項之間固定不變的差，通常用d來表示；

和:一個數(shù)列的前〃項的和，常用5“來表示.

二、等差數(shù)列的相關公式

（1）三個重要的公式

①通項公式：遞增數(shù)列：末項=首項+（項數(shù)-1）x公差=4-l）x"

遞減數(shù)列：末項=首項-（項數(shù)-l）x公差，4=4-（〃-l）xd

回憶講解這個公式的時候可以結合具體數(shù)列或者原來學的植樹問題的思想，讓學生明白末項其

實就是首項加上（末項與首項的）間隔個公差個數(shù),或者從找規(guī)律的情況入手.同時還可延伸出來這樣一個有

用的公式：an-am=（.n-m'）xdSn>ni）

②項數(shù)公式：項數(shù)=（末項-首項）+公差+1

由通項公式可以得到：〃=（%-o））+d+l（若〃“>%）:〃=（%-%）+4+1（若

找項數(shù)還有一種配組的方法，其中運月的思想我們是常常用到的.

髻如：找找下面數(shù)列的項數(shù)：4、7、10、13、、40、43、46,

分析：配組：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、、（46、47、48）,注意等差是3,

那么每組有3個數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應在最后一組第1位,4到48有48-4+1=45

項，每組3個數(shù),所以共45+3=15組，原數(shù)列有15組.當然還可以有其他的配組方法.

③求和公式：和=（首項+末項）x項數(shù)+2

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

（思路1）1+2+3++98+99+100

=0+100）+（2+99）+6+98）+…+（50+51）=101x50=5050

―共5&不101-

（思路2）這道題目，還可以這樣理解：

和=1+2+3+4+??-+98+99+100

和=100+99+98+97++3+2+1即，和

-=101+101+101+101+.+101+101+101

=（100+1）x1004-2=101x50=5050

（2）中項定理：對于任意一個項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項的值等于所有項的平均數(shù),也等于首項與

末項和的一半；或者換句話說，各項和等亍中間項乘以項數(shù).

等如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）x9+2=20x9=1800,

題中的等差數(shù)列有9項,中間一項即第5項的值是20,而和恰等于20x9;

②65+63+61+…+5+3+1=（1+65）x33+2=33x33=1089,

題中的等差數(shù)列有33項，中間一項即第17項的值是33,而和恰等于33x33.

【例微隔腦

模塊一、等差數(shù)列基本概念及公式的簡單應用

等差數(shù)列的基本認識

［例1］下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由。

①,610,14,18,22,…,98；

②1,2,1,2,3,4，,6；

③1,2,4,8,1632,64；

④9,8,70,5,4,3,2；

⑤,33,3,3,3,30,3；

@1,0,1,0,/,0,1,0；

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】解答

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因為數(shù)列的第3項減去第2項不等于數(shù)列的第2項減去第1項.

③不是，國為4-2,2-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差J=0.

⑥不是，因為第1項減去第2項不等于第2項減去第3項。

【答案】①是,公差占4.

②不是，因為數(shù)列的第3項減去第2項不等于數(shù)列的第2項減去第1項.

③不是，因為4-2*2-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差J=0.

⑥不是，因為第1項減去第2項不等于第2項減去第3項。

【例2］小朋友們，你知道每一行數(shù)列各有多少個數(shù)字嗎?

（1）3、4、5、6、....76、77、78

（2）2、4、6、8、....96、98、100

（3）1、3、5、7、.......87、89、91

（4）4、7、10、13、....40、43、46

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【解析】（1）連續(xù)的自然數(shù)列,3、4、5、6、7、8、9、10……，對應的是這個數(shù)列的第1、2、3、4、5、

6、7、8...........，發(fā)現(xiàn)它的項數(shù)比對應數(shù)字小2,所以78是第76項，那么這個數(shù)列就有76項.對

于連續(xù)的自然數(shù)列，它們的項數(shù)是：末項一首項+1.

（2）如果添上此數(shù)列所抉的一些奇數(shù)，就變成了1、2、3、4、5、6、7、8.............95、96、97、

98、99、100,可知這個數(shù)列是100項.讓它們兩兩結合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）...........

（95、96）、（97、98）、（99、100），奇數(shù)在每一組的第1位，偶數(shù)在第2位，而且每組里偶數(shù)比

奇數(shù)大，同學們一看就知道，共有100+2=50組，每組把偶數(shù)找出來，那么原數(shù)列就有50項了.這

樣的方法我們稱為“添數(shù)配組法”.

（3）利用“添數(shù)配組法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）............（87、88）、（89、90）、（91、

92）,1?92有92項，每組2項,那么可以得到92+2=46組，所以原數(shù)列有46項.

（4）利用“添數(shù)配組法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）.............（46、

47、48），注意每兩項的差是3，那么每組有3個數(shù)，數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應

在最后一組第1位,4到48有48-4+1=45項，每組3個數(shù),所以共45+3=15組，原數(shù)列有15

項.當然，我們還可以有其他的配組方法.

【答案】（1）76（2）50（3）46（4）15

【鞏固】1,3,5,7,……是從1開始的奇數(shù)淇中第2005個奇數(shù)是o

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第4題,6分

【解析】2x2005-1=4009

【答案】4009

［例3］3+12、6+10、12+8、24+6、48+4...........是按一定規(guī)律排列的一串算式，其中第六個算式

的計算結果是o

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】1星【題型】埴空

【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第3題,6分

【解圻】規(guī)律是，第一個加數(shù)是公比為2的等比數(shù)列，第二個加數(shù)是差為2的等差數(shù)列，所以第六個式子是

96+2=98

【答案】98

【例4］把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少？

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【解析】該藪列為等差數(shù)列,首項為101,公差為2,第21個數(shù)的項數(shù)為21.則101+（21-1）x2=141

【答案】141

【鞏固】2,5,8,11,14……是按照規(guī)律排列的一串數(shù)，第21項是多少？

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【解圻】此數(shù)列為一個等差數(shù)列，將第21項看做末項。末項=2+（21-1）x3=62

【答案】62

［例5］已知一個等差數(shù)列第9項等于131,第10項等于137,這個數(shù)列的第1項是多少？第19項是多少？

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】3星【題型】計算

【解析】把數(shù)列列出來：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191

【答案】191

【鞏固】一個數(shù)列共有13項，每一項都比它的前一項多7,并且末項為125,求首項是多少？

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】3星【題型】計算

【解析】把數(shù)列列出來:125,118,111,104,97,90,83,76,69,62,55,48,41

【答案】41

【鞏固】在下面12個方框中各填入一個數(shù)，使這12個數(shù)從左到右構成等差數(shù)列,其中10、16已經(jīng)填好，這12

個數(shù)的和為o

□□□□□圓□□回□□□

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【關健詞】杯,3年級

【解圻】由題意知：這個數(shù)列是一個等差數(shù)列，又由題出給出的兩個數(shù)10和16知：公差為2,那么第一個方

格填26,最后一個方格是4,由等差數(shù)列求和公式知和為：（4+26）x12+2=180。

【答案】180

【例6】從1開始的奇數(shù)：1,3,5,7,……其中第100個奇數(shù)是。

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【關健詞】希望杯,4年級,1試

【解析】略

【答案】199

【例7］觀察右面的五個數(shù)：19、37、55、a、91排列的規(guī)律，推知。=。

【考點】等差數(shù)列的基本認識【難度】2星【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】19+18=37,37+18=55,所以〃=55+18=73

【答案】73

等差數(shù)列公式的簡單運用

［例8］2、4、6、8、10、12、是個連續(xù)偶數(shù)列，如果其中五個連續(xù)偶數(shù)的和是320,求它們中最小的一

個.

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】方法一：利用等差數(shù)列的“中項定理”，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)

的平均值，五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應為320+5=64,因相鄰偶數(shù)相差2,故這五個偶數(shù)

依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

方法二：5個連續(xù)偶數(shù)求和，我們不妨可以把這5個數(shù)用字母表示記作：工-4、x-2.x、x+2.

x+4.那么這5個數(shù)的和是5x=320,x=64,進而可得這五個偶數(shù)依次是60、62、64、

66、68,其中最小的是60.請教師引導學生體會把中間數(shù)表示為x的便利，如果我們把最

大或最小的數(shù)看成”,那么會怎樣呢？

【答案】60

【鞏固】I、3、5、7、9、11、.是個奇數(shù)歹!1,如果其中8個連續(xù)奇數(shù)的和是256,那么這8個奇數(shù)中最大的

數(shù)是多少？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解析】我們可以找中間的兩個數(shù)其中一個為y,那么這8個數(shù)為：

y-6,y-4,y-2,y,y+2,y+4,y+6,y+8,根據(jù)題意可得：8），+8=256,所以丁=31,最大的奇數(shù)

是y+8=39.

【答案】39

【鞏固】1、4、7、10、13、…這個數(shù)列札有6個連續(xù)數(shù)字的和是159,那么這6個數(shù)中最小的是幾？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解聽】設這個數(shù)為：x-6,x-3,x,x+3,x+6,x+9,它們的和是6x+9=159,所以4=25,那么最小數(shù)為

19.

【答案】19

［例9］在等差數(shù)列6,13,20,27,…中，從左向右數(shù)，第_______個數(shù)是1994.

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】填空

【解析】每個數(shù)比前一個數(shù)大7,根據(jù)求通項4=4+(〃-1時的公式得〃=(%-4)+d+l,列式得：

(1994-6)4-7=284

284+1=285

即第285個數(shù)是1994.

【答案】285

【鞏固】5、8、11、14、17、20、，這個數(shù)列有多少項？它的第201項是多少？65是其中的第幾項？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解祈】它是一個無限數(shù)列，所以項數(shù)有無限多項.第〃項=首項+公差火〃一1),所以，第201項

=5+3x(201—1)=605,對于數(shù)列5,8,11,,65,一共有：—=(65-5)+3+1=21,即65是第21項.

【答案】無限多項：第201項是605:65是第21項

【鞏固】對于數(shù)列4、7、10、13、16、19....第10項是多少？49是這個數(shù)列的第幾項？第100項與第

50項的差是多少？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】可以觀察出這個數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列.根據(jù)剛剛學過的公式：

第〃項=首項+公差x(〃一D,項數(shù)二(末項一首項)+公差+1,第〃項一第〃?項=公差*(〃一6)

第10項為：4+3x(10-1)=4+27=31,49在數(shù)列中的項數(shù)為：(49-4)+3+1=16

第100項與第50項的差：3x(100-50)=150.

【答案】第10項是31:49是第16項；第100項與第50項的差事150

【鞏固】已知數(shù)列0、4、8、12、16、20、...，它的第43項是多少？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解析】第43項0+4x(43—1)=168.

【答案】168

【鞏固】聰明的小朋友們,PK一下吧.

(1)3、5、7、9、11、13、15、……，這個數(shù)列有多少項？它的第102項是多少？

⑵0、4、8、12、16、20>....，它的第43項是多少？

⑶已知等差數(shù)列2、5、8、11、14……，問47是其中第幾項？

⑷已知等差數(shù)列9、13、17、21、25.......，問93是其中第幾項？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解沂】⑴它是一個無限數(shù)列，所以項數(shù)有無限多項.

第八項=首項+公差x(〃-D,所以，第102項=3+2(102-1)=205;

(2)第43項=0+4(43-1)=168.

⑶首項=2,公差=3,我們可以這樣看：2、5、8、11、14…、47，那么這個數(shù)列有：

“=47-2)+3+1=16,(熟練后，此步可省略)，即47是第16項.其實求項數(shù)公式,也就是求第幾

項的公式.

(4)w=(93-9)4-4+1=22.

【答案】⑴無限多項；205(2)168(3)16(4)22

【例10］⑴如果一個等差數(shù)列的第4項為21,第6項為33,求它的第8項.

⑵如果一個等差數(shù)列的第3項為16,第11項為72,求它的第6項.

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】⑴要求第8項，必須知道首項和公差.第6項-第4項=(6-4)x公差，所以，

公差=6;第4項=首項+3x公差，21=首項+3x6,所以，首項=3;

第8項=首項+7x公差=45.

⑵公差=7,首項=2,第6項=37.

【答案】⑴45(2)37

【鞏固】已知一個等差數(shù)列第8項等于50,第15項等于71.請問這個數(shù)列的第1項是多少？

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解析】71-50=21。2R(15-8)=3(公差)。50=首項+(8-1)x3。所以首項=29

【答案】29

【鞏固】如果一等差數(shù)列的第4項為21,第10項為57,求它的第16項.

【考點】等差數(shù)列公式的簡單運用【難度】3星【題型】計算

【解聽】要求第16項，必須知道首項和公差.第10項一第4項=(10-4)x公差，所以，公差=6：

第4項=首項+3x公差，21=首項+3x6,所以，首項=3;第16項=首項+15x公差=93.

【答案】93

等差數(shù)列的求和

【例11】一個等差數(shù)列2,4,6,8,10,12,14,這個數(shù)列各項的和是多少？

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】2星【題型】計算

【解析】根據(jù)中項定理，這個數(shù)列一共有7項，各項的和等于中間項乘以項數(shù)即為：8x7=56.

【答案】56

【鞏固】有20個數(shù)，第1個數(shù)是9,以后每個數(shù)都比前一個數(shù)大3.這20個數(shù)相加，和是多少？

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】3星【題型】計算

【解析】末項是：9+(20—Dx3=66,和是：(9+66)x20-2=750

【答案】750

【鞏固】求首項是13,公差是5的等差數(shù)列的前30項的和.

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】3星【題型】計算

【解析】末項是：13+5x(30—1)=158,和是：(13+158)x304-2=2565

【答案】2565

【例12】15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995,其中最大的奇數(shù)是多少？

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】3星【題型】計算

【解析】由中項定理，中間的數(shù)即第8個數(shù)為：1995+15=133,所以這個數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個數(shù)是:

133+2x(15-8)=147

【答案】147

【鞏固】把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后,相鄰兩個數(shù)的差都是5,那么，第1個

數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】3星【題型】計算

【解圻】由題可知：由210拆成的7個數(shù)一定構成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210+7=30,所以，這7個數(shù)分

別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個數(shù)是15,第6個數(shù)是40.

【答案】40

【例13】小馬虎計算1到2006這2006個連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這2006個數(shù)的和時，他少算了其中的

一個數(shù)，但他仍按2006個數(shù)計算平均數(shù)，結果求出的數(shù)比應求得的數(shù)小lo小馬虎求和時漏掉的

數(shù)是o

【考點】等差數(shù)列的求和【難度】3星【題型】計算

【關鍵詞】希望杯,4年級,1試

【解圻】少的這個數(shù)應該給每一個數(shù)都補上1,才能使結果正確，共要補上2006,因此這個漏掉的數(shù)是2006。

【答案】2006

模塊二、等差數(shù)列的運用(提高篇)

【例14］已知數(shù)列：2,1,43,6,5,8,7,，問2009是這個數(shù)列的第多少項？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】偶數(shù)項的排列規(guī)律是：1、3、5、7,--

奇數(shù)項的排列規(guī)律是：2、4、6、8,

方法一：可以看出兩個數(shù)列都是等差數(shù)列.由于2009是奇

數(shù)，所以在偶數(shù)項數(shù)列中，它的項數(shù)是：(2009+1)+2=1005,所以在整個數(shù)列中,2009的項數(shù)是

1005x2=2010,所以2009是這個數(shù)列的第2010項.

方法二：仔細觀察能發(fā)現(xiàn),在整個數(shù)列中，奇數(shù)的項數(shù)是該數(shù)+1,偶數(shù)的項數(shù)是該數(shù)+2,所以2009是

這個數(shù)列的第2009+1=2010項.

【答案】2010

【鞏固】己知數(shù)列2、3、4、6、6、9、8、12、，問:這個數(shù)列中第2(X)0個數(shù)是多少？第2003個數(shù)是多

少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】奇數(shù)項的排列規(guī)律是：2、4、6、8,

偶數(shù)項的排列規(guī)律是：3、6、9、12,

可以看出奇數(shù)項與偶數(shù)項都成等差數(shù)列,先求出要求的兩個數(shù)各自在等差數(shù)列中的項數(shù)：第2000

個數(shù)在偶數(shù)項等差數(shù)列中是第2000+2=1000個數(shù)，第2003個數(shù)在奇數(shù)項等差數(shù)列中是第

(2003+1)+2=1002個數(shù)，所以第2000個數(shù)是3+(1000-1)x3=3000,第2003個數(shù)是

2+(1002-1)x2=2004.

【答案】2004

【例15)已知有一個數(shù)列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，試問:

⑴15是這樣的數(shù)列中的第幾個到第幾個數(shù)？

⑵這個數(shù)列中第100個數(shù)是幾？

⑶這個數(shù)列前100個數(shù)的和是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】分析可得下表：數(shù)：1234567141516

個數(shù)：2468101214283032

(1)2+4+6++28=210,所以15是第211個到240個

(2)在這個數(shù)列中前9組的個數(shù)是：2+4+6++18=90(個)

這個數(shù)列前10組的個數(shù)是：2+4+6++20=110(個)

而90v100v110,所以第100個數(shù)是第10組中的數(shù)，是10

(3)這個數(shù)列中前100個數(shù)的和是：Ix2+2x4+3x6++9x18+10x10=670

【答案】⑴第211個到240個(2)10(3)670

［例16］有一列數(shù)：/,2,4,7,17,16,22,29,37,，問這列數(shù)第1001個數(shù)是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】4星【題型】計算

【解圻】從題目中可以看出第二個數(shù)與第一個數(shù)差1,第三個數(shù)與第二個數(shù)相差2,第四個數(shù)與第三個數(shù)相差

3,……，依此類推，以后每一項與前一項的差都會依次增加1,因此有以下規(guī)律：

第1個數(shù)：1=1,

第2個數(shù)：2=1+1,

第3個數(shù)：4=2+2=1+14-2,

第4個數(shù)：7=3+4=1+1+2+3,

第5個數(shù)：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,

第6個數(shù)：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5,

第〃個數(shù)：1+1+2+3+4+5++(〃-1).

第1001個數(shù)為：1+1+2+3+4+5++(1001-1)=1+1+24-3+4+5+??+1000

=1+500500=5005001

【答案】5005001

【例17】己知等差數(shù)列15,19,23,……443,求這個數(shù)列的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的差是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】公差=19-15=4

項數(shù)二(443-15)-?4+1=108

倒數(shù)第二項=443-4=439

奇數(shù)項組成的數(shù)列為：15,23,31……439,公差為8,和為(15+439)x544-2=12258

偶數(shù)項組成的數(shù)列為：19,27,35……443,公差為8,和為(19+443)x54^-2=12474

差為12474-12258=216

【答案】216

【鞏固】求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】解法1：可以看出24,6,…,2000是一個公差為2的等差數(shù)列,1,3,5,…,1999也是一個公差為2的等

差數(shù)列，且項數(shù)均為1000,所以：原式=(2+2000)x10004-2-(1+1999)x1000^2=1000

解法2:注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等，公差相等，且對應項差1,所以1000項就差了1000個

1,即原式二1000x1=1000

【答案】1000

［例18］100個連續(xù)自然數(shù)(按從小到大的順序排列)的和是8450,取出其中第1個，第3個…第99個，再把

剩下的50個數(shù)相加，得多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析J(方法一)要求和，我們可以先把這50個數(shù)算出來.100個連續(xù)自然數(shù)構成等差數(shù)列，且和為8450,根

據(jù)等差數(shù)列的和二(首項+末項)x項數(shù)+2,則：首項+末項=8450x2+100=169,又因為末項比首

項大99,所以，首項二(169-99)+2=35.因此，剩下的50個數(shù)為：36,38,40,42,44,46...134.這些數(shù)構成

等差數(shù)列，和為06+134)x50-2=4250.

(方法二)我們考慮這100個自然數(shù)分成的兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列有旅同的公差，相同的項數(shù)，且軻下

的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應項總大1,因此,剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和

大50,又因為它們相加的和為8450.所以，剩下的數(shù)的總和為(8450+50)-5-2=4250.

【答案】4250

【鞏固】有20個數(shù)，第I個數(shù)是9,以后每個數(shù)都比前一個數(shù)大3.這20個數(shù)相加，和是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解圻】末項是：9+(20—Dx3=66,和是：(9+66)x20+2=750

【答案】750

【例19］把248分成8個連續(xù)偶數(shù)的和,其中最大的那個數(shù)是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解聽】平均數(shù)：248+8=31,第4個數(shù)：31-1=30。第1個數(shù)：30-6=24,末項：24+(8-1)x2=38o即：最大

的數(shù)為38。

【答案】38

【鞏固】把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后,相鄰兩個數(shù)的差都是5,那么，第1個

數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210+7=30,所以，這7個數(shù)分別是

15、20、25、30、35、40>45.即第1個數(shù)是15,第6個數(shù)是40。

【答案】40

【例20］在1~100這一百個自然數(shù)中，所有能被9整除的數(shù)的和是多少？

【考點、】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解聽】每9個連續(xù)數(shù)中必有一個數(shù)是9的倍數(shù)，在1?100中,我們很容易知道能被9整除的最小的數(shù)是

9=9x1,最大的數(shù)是99=9x11,這些數(shù)構成公差為9的等差數(shù)列，這個數(shù)列一共有：11—1+1=11項,

所以，所求數(shù)的和是：9+18+27++99=(9+99)x11-2=594.

也可以從找規(guī)律角度分析.

【答案】594

【鞏固】在1~100這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解聽】先計算1~100的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的自然數(shù)和

了.1+2++100=(1+100)x1004-2=5050,9+18+27++99=9+99)x11+2=594,所有不能

被9整除的自然數(shù)和：5050-594=4456.如果直接計算不能被9整除的自然數(shù)和,是很麻煩的,

所以先計算所有1~100的自然數(shù)和,再排除掉能被9整除的自然數(shù)和這祥計算過程變得簡便多了.

【答案】4456

【鞏固】在1~200這二百個自然數(shù)中，所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的和是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解祈】先求出能被4整除的自然數(shù)和，再求出能被11整除的自然數(shù)和，將二者相加，但是此時得到的不是題

目需要的和，因為44,88等數(shù)在兩個數(shù)列中都存在,也就是說能被44整除的數(shù)列被計算了兩次，所以

我們還應該減去能被44整除的數(shù)列和.

(4+8+12+-+200)+01+224-33+.+198)-(44+88+132+176)

二(4+200)x50+2+(11+198)x18+2-(44+176)x4+2=6541.

【答案】6541

【鞏固】在11?45這35個數(shù)中，所有不被3整除的數(shù)的和是多少？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】先求被3整除的數(shù)的和：11?45中能被3整除的數(shù)有12,15,…,45,和為：

12+15++42+45=(12+45)x12+2=342;于是，滿足要求的數(shù)的和為:

(11++45)-342=980-342=638.

【答案】638

【例21］求100以內除以3余2的所有數(shù)的和.

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】100以內除以3余2的數(shù)為2、5、8、11、…、98公差為3的等差數(shù)列,首先求出一共有多少

項，98-2)+3+1=33，再利用公式求和(2+98)x33+2=1650.

【答案】1650

【鞏固】從401到1000的所有整數(shù)中，被8除余數(shù)為I的數(shù)有_____個？

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【解析】因為被8除余數(shù)為1的整數(shù)組成公差是8的等差數(shù)列，最小的是401，最大的是993,

于是項數(shù)=(993-401)+8+1=75.

【答案】75

【例22］從正整數(shù)1?N中去掉一個數(shù)，剩下的(N-1)個數(shù)的平均值是15.9,去掉的數(shù)是o

【考點】等差數(shù)列的公式運用【難度】3星【題型】計算

【關鍵詞】走美杯,5年級，決賽

【解析】因為“剩下的(AM)個數(shù)的平均值是15.9”,所以(AM)是10的倍數(shù)，且N在15.9x2=31.8左右，推

知231.去掉的數(shù)是

(1+2+3+...+31)-15.9x30=49647=19。

【答案】19

等差數(shù)列找規(guī)律

找規(guī)律計算

［例2311只青蛙1張嘴,2只眼睛4條腿;

2只青蛙2張嘴,4只眼睛8條腿；

只青蛙張嘴,32只眼睛條腿。

【考點】找規(guī)律計算【難度】2星【題型】填空

【關健詞】希望杯,4年級,1試

【解析】324-(2^1)=16；32^(24-1)=16；32x(4:2)=64.

【答案】16:16:64

【例24］如圖2,用火柴棍擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當N=5時，按這種方式擺下去，當N=5

時,共需要火柴棍根。

1?-1R-2M-3

62

【考點】找規(guī)律計算【難度】3星【題型】填空

【解析】找規(guī)律3,3+6,3+6+9…,N=5時，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【答案】45

【例25］觀察下面的序號和等式，填括號.

序號等式

11+2+3=6

33+5+7=15

55+8+11=24

77+11+15=33

()()+()+7983=()

【考點】找規(guī)律計算【難度】3星【題型】填空

【關健詞】希望杯

【解圻】可以這樣想：

(1)表中各豎行排列的規(guī)律是什么？(等差數(shù)列)

(2)表中這四個括號，應先填哪一個？為什么？這個括號里的數(shù)怎么求？

應先填左起第一個,因為它是序號，表示了其他三個括號里的數(shù)在各自的等差數(shù)列中所在的位置，即

各自的項數(shù).

第一個，舍號：(7983-3)4-4+1=1996,1+(1996-1)x2=3991;

第二個括號：1+(1996-1)x2=3991;

第三個括號：根據(jù)等差數(shù)列通項公式：2+(1996—1)x3=5987或3991+1996=5987;

第四個括號：根據(jù)等差數(shù)列通項公式：6+(1996-1)x9=17961或5987x3=17961

【答案】3991;3991:5987:17961

【鞏固】有許多等式：

2+4+6=1+3+5+3；

8+10+12+14=7+9+11+13+4；

16+18+20+22+24=15+17+19+214-23+5；

那么第io個等式的和是

【考點】找規(guī)律計算【難度】4星【題型】填空

【解圻】前九個等式左邊的數(shù)共有3+4++11=3+11)x9-2=63(個)款,那么第十個等式左邊第一個

數(shù)是(63+1)x2=128,所以第十個等式的和是128+130+…+150=(128+150)x12+2=1668.

【答案】1668

【鞏固】觀察下列算式：

24-4=6=2x3,

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

然后計算：2+4+6+.......+100=。

【考點】找規(guī)律計算【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯,4年級,1試

【解圻】等式右邊第一個乘數(shù)等于等式左邊加數(shù)的個數(shù),100以內的偶數(shù)有50個，所以2+4+6+……+100

=50x51=2550

【答案】2550

【例26］將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個小圈，第2個圖形中有1()

個小圈,第3個圖形中有16個小圈，第4個圖形中有24個小圈，…,依此規(guī)律，第6個圖形有

___個小圈O

OO

oooooOOOOocoooo

oooocOOOOcoooo

ooOOOOooooo

)oOOOOOOO

第1個圖形第2個圖形第3個圖形笫4個圖形

【考點】找規(guī)律計算【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯,4年級,1試

【解析】除周圍4個小圓外，中間小圓的規(guī)律是Ix2,2x3,3x4.........

第6個圖有6x7+4=46個小圓。

【答案】46

5

【例27】觀察下列四個算式：y=20,y=10岑=,春=亮o從中找出規(guī)律，寫出第五個算

式：O

【考點】找規(guī)律計算【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，二試

【解析】發(fā)現(xiàn)規(guī)律、第5個算式為^^16=—o

16256

5

【答案】

256

規(guī)律計數(shù)

【例28］從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，去兩數(shù)相加，使其和大于50,有多少種不同的取法?

【考點】找規(guī)律計算【難度】4星【題型】填空

【解析J設滿足條件的兩數(shù)為。、b,且Zb,則有

若a=l,則0=50,共1種.

若。=2,則6=49,50,共2種.

若。=25,則。=26,27—50,共25種.

若。=26,則6=27,28,50,共24種.（。=26,6=25的情況與。=25,0=26的情況相同,舍去）

若a=27,則力=28,29,??50,共23種.

若°=49,則b=50,共1種.

所以，所有不同的取法種數(shù)為

1+2+3++25+24+23+22++1=2x04-2+3++24)+25=625

【答案】625

【鞏固】從1到100的100個數(shù)中，每次取出兩個不同的自然數(shù)相加，使它們的和超過100.有幾種不同的

取法？

【考點】找規(guī)律計算【難度】4星【題型】填空

【解聽】1至100的自然數(shù)每次取出兩個不同的自然數(shù)相加，超過100的和共有101?199共99種取法.

和是199的取法：100+99.

和是198的取法：100+98.

和是197的取法：100+97,99+98.

和是196的取法：100+96,99+97.

和是195的取法：100+95,99+96,98+97.

和是194的取法：100+94,99+95,98+96.

以此規(guī)律作進一步推想：和為193的取法有4種，和為192的取法也有4種；和為191的取法有5

種，和為190的取法也有5種；，和為103的取法有49種，和為102的取法也是49種：和為101

的取法有50種.

和超過100的取法種數(shù)總彳口是：1