2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試題一、單選題.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以.故選：C.2.若，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則，即由推不出且，故充分性不成立；若且，則，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由且.故選：C.4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有的點（）A.向左平移1個長度單位 B.向右平移1個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向右平移個長度單位【答案】D【解析】由于，為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有的點向右平移個長度單位.故選：D.5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由于函數(shù)是奇函數(shù)，故時，，則，故.故選：B.6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故，即，得，則，且，所以，所以，則，故.故選：B.7.已知，，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】由得，其中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D.8.已函數(shù)，若對于定義域內(nèi)任意一個自變量都有，則的最大值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】若，則恒成立，故符合題意；若.①當(dāng)即時，，此時函數(shù)的定義域為，所以恒成立，所以：符合題意；②當(dāng)即時，，此時函數(shù)的定義域為，則，所以恒成立，所以：符合題意；③當(dāng)即時，函數(shù)的定義域為且，則取，則，令，當(dāng)時，，可以取得負(fù)值，故不符合題意，若，則函數(shù)定義域為且，令，則，當(dāng)且時，，可以取得負(fù)值，故不符合題意；綜上，，即的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的或不選的得0分．9.下列各式的值為的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，，A正確；對于B，，B正確，對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.10.下列函數(shù)的值域為且在定義域上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換可知：在上單調(diào)遞增且值域為，故A符合題意；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：的值域為，故B不符合題意；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞增，值域為，故C符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：，在和上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)，故D不符合題意.故選：AC.11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A.B.函數(shù)有3個零點C.的最小正周期為D.的值域為【答案】ACD【解析】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時，，則，此時為的零點，有無數(shù)個，B錯誤；對于C，在區(qū)間上，，結(jié)合的最小正周期為，由此可得的最小正周期為，C正確；對于D，結(jié)合C的分析可知的值域為，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列判斷中正確的是（）A.的最大值為2B.若，則C.若，則D.若函數(shù)兩個零點間的最小距離為，則【答案】ABD【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以該函數(shù)的最小正周期T滿足,所以，當(dāng)時，成立，所以的最大值為2，A正確；因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，故有：，當(dāng)時，，所以，所以，，所以，又，故，可得，故B正確；由于，故當(dāng)時，，故C錯誤；令，兩個零點分別設(shè)為，，則：，因為，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.的值為_______．【答案】10【解析】原式.14.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則可以是_______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意：函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)；又，所以是以2為周期的周期函數(shù)；所以的解析式可以為：（答案不唯一）.15.已知，，則的值為_______．【答案】【解析】因為，又，所以且，所以；.所以：.16.已知下列五個函數(shù)，從中選出兩個函數(shù)分別記為和，若的圖象如圖所示，則_________．【答案】【解析】如圖可知，的定義域為，可知一定包含這一函數(shù)，且一定不包含這一函數(shù)，又函數(shù)不是奇函數(shù)，所以不成立；所以只有兩種可能：或.若，當(dāng)時，，，所以，與圖象不符，故不成立；若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以在上遞減；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”.所以上遞減，在上遞增，符合題意.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)a的值．解：（1）依題意解得：，當(dāng)時，或，此時或，.（2）由可知．因為，；當(dāng)，即時，，符合題意，當(dāng)，即時，或，則或，此時不存在；當(dāng)，即時，或，則或，此時不存在，所以．18.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角和角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于點A、B兩點，點A的橫坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于x軸對稱．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）因為點的橫坐標(biāo)為，且，點在第一象限，所以點縱坐標(biāo)為，所以，.所以.（2）因為，由圖可知：.而，故（）（），所以.19.已知函數(shù)（，且）是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若關(guān)于t方程在有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以恒成立.所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以.（2），設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，又，所以即，所以是上的增函數(shù).在上只有一解.問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的一元二次方程在只有一解.設(shè).①若或.當(dāng)時，，故符合題意；當(dāng)時，，故不符合題意；②若，或，在只有一解，故符合題意；若，方程或，在上有兩解，故不符合題意；③若，此時方程在上只有一解.綜上可知：.20.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求實數(shù)m的最小值．解：（1）令，則，故函數(shù)的對稱中心為.（2），函數(shù)在區(qū)間上有最小值，即區(qū)間上有最小值，而，即需，則，即實數(shù)m的最小值為.21.為了進一步增強市場競爭力，某公司計劃在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款運動手表，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)此款運動手表全年需投入固定成本100萬，每生產(chǎn)（單位：千只）手表，需另投入可變成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每部手機售價萬元，且全年生產(chǎn)的手機當(dāng)年能全部銷售完.（利潤=銷售額-固定成本-可變成本）（1）求2024年的利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：千只）的函數(shù)關(guān)系式．（2）2024年的年產(chǎn)量為多少（單位：千只）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.（2）若，，當(dāng)時，，若，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，，又，故年的年產(chǎn)量為千只時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是萬元．22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有4個零點，求證：；（2）是否存在非零實數(shù)m．使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為？若存在，求出m的取值范圍．若不存在，請說明理由．解：（1）證明：因為函數(shù)有4個零點，所以方程有4個不同的解，于是方程，都各有兩個不同的解，即方程，各有兩個實數(shù)根，于是.（2），所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①若函數(shù)在上不單調(diào)，則有，且由于，所以，與假設(shè)矛盾；②當(dāng)時，有，即，所以，所以是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，記，有，所以，③當(dāng)時，應(yīng)有，即，兩式相減得到，所以，兩式相加得：，又，，，與矛盾，此時滿足條件的實數(shù)m不存在，綜合以上討論，滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是.浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試題一、單選題.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以.故選：C.2.若，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則，即由推不出且，故充分性不成立；若且，則，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由且.故選：C.4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有的點（）A.向左平移1個長度單位 B.向右平移1個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向右平移個長度單位【答案】D【解析】由于，為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有的點向右平移個長度單位.故選：D.5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由于函數(shù)是奇函數(shù)，故時，，則，故.故選：B.6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故，即，得，則，且，所以，所以，則，故.故選：B.7.已知，，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】由得，其中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D.8.已函數(shù)，若對于定義域內(nèi)任意一個自變量都有，則的最大值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】若，則恒成立，故符合題意；若.①當(dāng)即時，，此時函數(shù)的定義域為，所以恒成立，所以：符合題意；②當(dāng)即時，，此時函數(shù)的定義域為，則，所以恒成立，所以：符合題意；③當(dāng)即時，函數(shù)的定義域為且，則取，則，令，當(dāng)時，，可以取得負(fù)值，故不符合題意，若，則函數(shù)定義域為且，令，則，當(dāng)且時，，可以取得負(fù)值，故不符合題意；綜上，，即的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的或不選的得0分．9.下列各式的值為的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，，A正確；對于B，，B正確，對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.10.下列函數(shù)的值域為且在定義域上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換可知：在上單調(diào)遞增且值域為，故A符合題意；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：的值域為，故B不符合題意；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞增，值域為，故C符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：，在和上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)，故D不符合題意.故選：AC.11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A.B.函數(shù)有3個零點C.的最小正周期為D.的值域為【答案】ACD【解析】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時，，則，此時為的零點，有無數(shù)個，B錯誤；對于C，在區(qū)間上，，結(jié)合的最小正周期為，由此可得的最小正周期為，C正確；對于D，結(jié)合C的分析可知的值域為，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列判斷中正確的是（）A.的最大值為2B.若，則C.若，則D.若函數(shù)兩個零點間的最小距離為，則【答案】ABD【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以該函數(shù)的最小正周期T滿足,所以，當(dāng)時，成立，所以的最大值為2，A正確；因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，故有：，當(dāng)時，，所以，所以，，所以，又，故，可得，故B正確；由于，故當(dāng)時，，故C錯誤；令，兩個零點分別設(shè)為，，則：，因為，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.的值為_______．【答案】10【解析】原式.14.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則可以是_______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意：函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)；又，所以是以2為周期的周期函數(shù)；所以的解析式可以為：（答案不唯一）.15.已知，，則的值為_______．【答案】【解析】因為，又，所以且，所以；.所以：.16.已知下列五個函數(shù)，從中選出兩個函數(shù)分別記為和，若的圖象如圖所示，則_________．【答案】【解析】如圖可知，的定義域為，可知一定包含這一函數(shù)，且一定不包含這一函數(shù)，又函數(shù)不是奇函數(shù)，所以不成立；所以只有兩種可能：或.若，當(dāng)時，，，所以，與圖象不符，故不成立；若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以在上遞減；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”.所以上遞減，在上遞增，符合題意.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)a的值．解：（1）依題意解得：，當(dāng)時，或，此時或，.（2）由可知．因為，；當(dāng)，即時，，符合題意，當(dāng)，即時，或，則或，此時不存在；當(dāng)，即時，或，則或，此時不存在，所以．18.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角和角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于點A、B兩點，點A的橫坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于x軸對稱．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）因為點的橫坐標(biāo)為，且，點在第一象限，所以點縱坐標(biāo)為，所以，.所以.（2）因為，由圖可知：.而，故（）（），所以.19.已知函數(shù)（，且）是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若關(guān)于t方程在有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以恒成立.所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以.（2），設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，又，所以即，所以是上的增函數(shù).在上只有一解.問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的一元二次方程在只有一解.設(shè).①若或.當(dāng)時，，故符合題意；當(dāng)時，，故不符合題意；②若，或，在只有一解，故符合題意；若，方程或，在上有兩解，故不符合題意；③若，此時方程在上只有一解.綜上可知：.20.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有最