2023-2024學年浙江省寧波市余姚市高二上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市余姚市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】因為直線經(jīng)過，所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選：D2.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，圓：即圓：的圓心，半徑分別為，所以兩圓的圓心距滿足，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.3.在平行六面體中，為的中點，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可作出平行六面體，如圖，則，即，故A正確.故選：A.4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可知雙曲線，則焦點坐標，漸近線方程為，不妨取焦點，漸近線，所以焦點到漸近線的距離為，故B正確.故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以.故A正確.故選：A.6.把正方形紙片沿對角線折成直二面角，為的中點，為的中點，是原正方形的中心，則折紙后的余弦值大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，連接,則,過點作,垂足為，連接.因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，又平面,則.設(shè)正方形的邊長為4，則,在中，由余弦定理可得：,在中，,又,設(shè),在中，由余弦定理：.故選：C.7.數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列1，1，2，3，5，8其中從第項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列各式中正確的選項為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A選項，，所以A選項錯誤.B選項，，所以B選項錯誤C選項，，所以C選項錯誤.D選項，，所以D選項正確.故選：D8.設(shè)橢圓的左焦點為，點在橢圓外，，在橢圓上，且是線段的中點.若橢圓的離心率為，則直線，的斜率之積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取橢圓的右焦點為，連接，，如下圖所示，

由題意可知，點為橢圓的左焦點，因為點、，易知點為線段的中點，又因為為的中點，所以，取線段的中點，連接，則，所以，則，所以，設(shè)點、，則點，所以，兩個等式作差可得，可得，所以，因為橢圓離心率為，得，所以，即，故B正確.故選：B.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.直線在軸上的截距是B.直線恒過定點C.點關(guān)于直線對稱的點為D.過點且在軸?軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】對于A項，由可得：，可得直線在軸上的截距是，故A項錯誤；對于B項，由可得：，因，則有：，故直線恒過定點，故B項正確；對于C項，不妨設(shè),直線，因直線的斜率為與直線的斜率為1的乘積為，則得,又由點到直線距離為與點到直線的距離為相等，且在直線的兩側(cè)，故點關(guān)于直線對稱的點為，即C項正確；對于D項，因過點且在軸?軸上的截距相等的直線還有，故D項錯誤.故選：BC.10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前項和為，則（）A. B.C. D.數(shù)列共有84項【答案】ACD【解析】1到500這500個數(shù)中能被2除余1的數(shù)有：1，3，5，7……499，1到500這500個數(shù)中能被3除余1的數(shù)有：1，4，7……499，由題意現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項為1，末項為499，公差為6的等差數(shù)列，所以，所以，，，數(shù)列共有84項.故選：ACD.11.已知拋物線：的焦點為，點為拋物線上一動點，點，則（）A.拋物線的準線方程為B.的最小值為5C.當時，則拋物線在點處的切線方程為D.過的直線交拋物線于兩點，則弦的長度為16【答案】ABD【解析】對于A，由題意拋物線：的準線方程為，故A正確；對于B，如圖所示：過點向準線作垂線，設(shè)垂足為點，過點向準線作垂線，設(shè)垂足為點，所以，等號成立當且僅當點與點重合，點為與拋物線的交點，故B正確；對于C，切點為，且切線斜率存在，所以設(shè)切線方程為，聯(lián)立拋物線方程得，所以，解得，所以當時，則拋物線在點處的切線方程為，故C錯誤；對于D，由題意，所以，所以直線，即，聯(lián)立拋物線方程得，所以，，故D正確.故選：ABD.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，即．令，則有，則，令，則，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以總有，故單調(diào)遞減；所以，即；對于A，，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C，，即．設(shè)，則，則，所以單調(diào)遞增．因為，所以，故C正確；對于D，，即，令，則，因為，所以為偶函數(shù)，所以即為．則，令，則，所以單調(diào)遞增．又，所以當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，故D錯誤；故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________．【答案】【解析】由，得.故答案為：14.已知正項等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列，則_______．【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，成等差數(shù)，則，即，解得或（舍），所以數(shù)列的通項公式為，則.故答案為：.15.若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是___________.（寫出符合條件的一個方程即可）【答案】（寫出符合條件的一個方程即可）【解析】易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，由消去y得：，則，化簡得，由，消去y得：，則，化簡得，由，解得，則，所以直線方程為：，故答案為：（寫出符合條件的一個方程即可）16.已知函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍______.【答案】【解析】由求導可得：當時，，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點．當時，由可得：，由可得：，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，取得最小值，．令，，則，所以，在上單調(diào)遞減．又，所以要使，即，則．又因，所以在上有一個零點．又令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，所以．所以在上也有一個零點．綜上所述，a的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.解：（1），∵在點處的切線平行于直線，∴，∴；（2）由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+↗極大值↘極小值↗∴極大值為，極小值為.18.已知的三個頂點，，．（1）求邊上中線所在直線的方程；（2）已知點滿足，且點在線段的中垂線上，求點的坐標．解：（1）由題意中點，所以所在直線的斜率，所以所在直線的方程為，即邊中線所在直線的方程；（2）因為，，所以，，所以直線的方程為，即，設(shè)點到直線的距離，則由題意，所以點到直線距離，則點所在直線方程為或，因為，，所以，線段中點坐標為，所以線段的中垂線為，即，所以聯(lián)立或，所以點的坐標為：或.19.已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求正整數(shù)的最大值.解：（1）易知各項均為正，對兩邊同時取倒數(shù)得，即，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，顯然單調(diào)遞增，且，所以的最大值為4046.20.如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,平面平面,是邊長為2的正三角形,，，.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）分別取中點，連接，由已知底面是直角梯形，，，，易得，∵平面平面，平面平面，面，∴平面，又因為平面，所以，以為中心，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，∵，∴，顯然是平面的一個法向量，若平面，則，即；（2）若，則，由（1），所以，所以，設(shè)分別為平面與平面的一個法向量，所以或，令，解得，則，設(shè)平面與平面的夾角為，故，即平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當，證明：.解：（1）定義域為，則，①當時，，在上單調(diào)遞增；②當時，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，綜上，①當時，在上單調(diào)遞增，②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，當時，要證，只需證，即證恒成立.令，則恒成立，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴的最大值為，所以，所以恒成立，∴原命題得證.，即：當時，.22.已知橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點，求證：中點為定點．解：（1）因為橢圓過點，離心率為，所以，解得，所以，橢圓的方程為.（2）顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，，聯(lián)立方程得，，由直線方程為，直線方程為，得，.中點為定點．浙江省寧波市余姚市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】因為直線經(jīng)過，所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選：D2.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，圓：即圓：的圓心，半徑分別為，所以兩圓的圓心距滿足，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.3.在平行六面體中，為的中點，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可作出平行六面體，如圖，則，即，故A正確.故選：A.4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可知雙曲線，則焦點坐標，漸近線方程為，不妨取焦點，漸近線，所以焦點到漸近線的距離為，故B正確.故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以.故A正確.故選：A.6.把正方形紙片沿對角線折成直二面角，為的中點，為的中點，是原正方形的中心，則折紙后的余弦值大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，連接,則,過點作,垂足為，連接.因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，又平面,則.設(shè)正方形的邊長為4，則,在中，由余弦定理可得：,在中，,又,設(shè),在中，由余弦定理：.故選：C.7.數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列1，1，2，3，5，8其中從第項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列各式中正確的選項為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A選項，，所以A選項錯誤.B選項，，所以B選項錯誤C選項，，所以C選項錯誤.D選項，，所以D選項正確.故選：D8.設(shè)橢圓的左焦點為，點在橢圓外，，在橢圓上，且是線段的中點.若橢圓的離心率為，則直線，的斜率之積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取橢圓的右焦點為，連接，，如下圖所示，

由題意可知，點為橢圓的左焦點，因為點、，易知點為線段的中點，又因為為的中點，所以，取線段的中點，連接，則，所以，則，所以，設(shè)點、，則點，所以，兩個等式作差可得，可得，所以，因為橢圓離心率為，得，所以，即，故B正確.故選：B.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.直線在軸上的截距是B.直線恒過定點C.點關(guān)于直線對稱的點為D.過點且在軸?軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】對于A項，由可得：，可得直線在軸上的截距是，故A項錯誤；對于B項，由可得：，因，則有：，故直線恒過定點，故B項正確；對于C項，不妨設(shè),直線，因直線的斜率為與直線的斜率為1的乘積為，則得,又由點到直線距離為與點到直線的距離為相等，且在直線的兩側(cè)，故點關(guān)于直線對稱的點為，即C項正確；對于D項，因過點且在軸?軸上的截距相等的直線還有，故D項錯誤.故選：BC.10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前項和為，則（）A. B.C. D.數(shù)列共有84項【答案】ACD【解析】1到500這500個數(shù)中能被2除余1的數(shù)有：1，3，5，7……499，1到500這500個數(shù)中能被3除余1的數(shù)有：1，4，7……499，由題意現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項為1，末項為499，公差為6的等差數(shù)列，所以，所以，，，數(shù)列共有84項.故選：ACD.11.已知拋物線：的焦點為，點為拋物線上一動點，點，則（）A.拋物線的準線方程為B.的最小值為5C.當時，則拋物線在點處的切線方程為D.過的直線交拋物線于兩點，則弦的長度為16【答案】ABD【解析】對于A，由題意拋物線：的準線方程為，故A正確；對于B，如圖所示：過點向準線作垂線，設(shè)垂足為點，過點向準線作垂線，設(shè)垂足為點，所以，等號成立當且僅當點與點重合，點為與拋物線的交點，故B正確；對于C，切點為，且切線斜率存在，所以設(shè)切線方程為，聯(lián)立拋物線方程得，所以，解得，所以當時，則拋物線在點處的切線方程為，故C錯誤；對于D，由題意，所以，所以直線，即，聯(lián)立拋物線方程得，所以，，故D正確.故選：ABD.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，即．令，則有，則，令，則，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以總有，故單調(diào)遞減；所以，即；對于A，，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C，，即．設(shè)，則，則，所以單調(diào)遞增．因為，所以，故C正確；對于D，，即，令，則，因為，所以為偶函數(shù)，所以即為．則，令，則，所以單調(diào)遞增．又，所以當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，故D錯誤；故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________．【答案】【解析】由，得.故答案為：14.已知正項等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列，則_______．【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，成等差數(shù)，則，即，解得或（舍），所以數(shù)列的通項公式為，則.故答案為：.15.若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是___________.（寫出符合條件的一個方程即可）【答案】（寫出符合條件的一個方程即可）【解析】易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，由消去y得：，則，化簡得，由，消去y得：，則，化簡得，由，解得，則，所以直線方程為：，故答案為：（寫出符合條件的一個方程即可）16.已知函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍______.【答案】【解析】由求導可得：當時，，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點．當時，由可得：，由可得：，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，取得最小值，．令，，則，所以，在上單調(diào)遞減．又，所以要使，即，則．又因，所以在上有一個零點．又令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，所以．所以在上也有一個零點．綜上所述，a的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.解：（1），∵在點處的切線平行于直線，∴，∴；（2）由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+↗極大值↘極小值↗∴極大值為，極小值為.18.已知的三個頂點，，．（1）求邊上中線所在直線的方程；（2）已知點滿足，且點在線段的中垂線上，求點的坐標．解：（1）由題意中點，所以所在直線的斜率，所以所在直線的方程為，即邊中線所在直線的方程；（2）因為，，所以，，所以直線的方程為，即，設(shè)點到直線的距離，則由題意，所以點到直線