2023-2024學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市上虞區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1.直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知：，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以傾斜角.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線方程可轉(zhuǎn)化為：，故焦點(diǎn)在軸正半軸，且，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.3.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選:C4.已知分別是空間四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知：.故選：D5.若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：D.6.在正方體中，過(guò)作一垂直于的平面交平面于直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則直線與所成角余弦值的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由正方體性質(zhì)可知，，，，平面，平面，易知平面，平面平面，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，并如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)兩直線所成角為，，故，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選：A7.已知等腰直角的斜邊分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)均在球的球面上，則球表面積的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由點(diǎn)均在球的球面上，且共圓（不與重合），所以（不與重合），又為等腰直角三角形，為斜邊，即有，如上圖，△、△、△都為直角三角形，且，由平面圖到立體圖知：，，又面面，面面，面，所以面，同理可得面，將翻折后，的中點(diǎn)分別為△，四邊形外接圓圓心，過(guò)作面，過(guò)作面，它們交于，即為外接球球心，如下圖示，再過(guò)作面，交于，連接，則為矩形，綜上，，，則為中點(diǎn)，所以，而，，令且，則，故，，所以球半徑，當(dāng)時(shí)，，故球表面積的最小值為.故選：D8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋?，又，所以，，所以，如圖所示，由余弦定理知：，整理得，又，解得：離心率.故選：B.二、多選題9.對(duì)于兩條不同直線和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若，則或D.若，則或【答案】AD【解析】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯(cuò)；若，則或或相交，C錯(cuò)誤；若，則或，D正確.故選：AD10.已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.圓和圓有兩條公切線B.直線的方程為C.圓上存在兩點(diǎn)和使得D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.11.兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個(gè)不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線B.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯(cuò)誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤；D：同C分析：時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.12.如圖，直平面六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是四邊形（包括邊界）內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的截面是直角梯形B.若直線面，則直線的最小值為C.存在點(diǎn)使得直線面D.點(diǎn)到面的距離的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)的截面即為平面，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，故，，故，故，所以四邊形直角梯形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，如圖分別為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以平行且等于，，又平行且等于，所以平行且等于，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，面，故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，易知，故，故，故的最小值即為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，故，設(shè)，而，故，要使得面，故，解得：，因點(diǎn)在四邊形（包括邊界）內(nèi)，故須滿足且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)方程為，將代入可得，即，故方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14.設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且,則_____.【答案】【解析】由題意可得和均為等差數(shù)列,所以.故答案為:15.已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】由拋物線的對(duì)稱性，如圖，不妨設(shè)交點(diǎn)為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.16.正三棱錐，,點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn),分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，則，中，，故，，設(shè)，，則，故，所以，，，故，故，故，而，（），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由得：，解得（舍去），，于是.（2）由得，解得或.當(dāng)時(shí)，由得，∴；當(dāng)時(shí)，由得，∴，綜上所述，故或21.18.已知圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在直線上.（1）求圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為：，圓心為，半徑為；（2）由（1）知，圓心到直線的距離為，于是當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，即，令，解得，直線方程是，綜上所述，直線的方程是：或.19.如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.解：（1）設(shè)為中點(diǎn)，由題意得平面，所以.因?yàn)椋?所以平面.由，分別為的中點(diǎn)，得且，從而且，所以是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫云矫?（2）作，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以平?所以平面.所以為直線與平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為4，軸于點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且滿足.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).解：（1）顯然點(diǎn)，由拋物線定義可知，，解得，所以拋物線方程為：；（2）點(diǎn)在拋物線上，設(shè)直線，點(diǎn)，聯(lián)立，得，在下，，所以，整理，得，將代入直線，得，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).21.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面平面.（1）證明：；（2）若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值的最小值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，由題可知正和，，，又∵，平面，∴平面，又平面，∴；（2）因?yàn)閭?cè)面平面，側(cè)面平面?zhèn)让?，故平?分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，∴，∴，又，設(shè)面的法向量是，則，令，則，又，設(shè)面的法向量是，則，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，故，因?yàn)?，開口向上，且對(duì)稱軸為，故的最小值為，則，所以平面與平面夾角的正弦值的最小值為.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)?，所以，于?設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，橢圓方程為，，=①當(dāng)，即時(shí)，（此時(shí)舍去；②當(dāng)即時(shí)，綜上橢圓C的方程為．（2）圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以的面積為點(diǎn),當(dāng)時(shí)，由得綜上所述，橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大，且最大值為.浙江省紹興市上虞區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1.直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知：，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以傾斜角.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線方程可轉(zhuǎn)化為：，故焦點(diǎn)在軸正半軸，且，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.3.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選:C4.已知分別是空間四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知：.故選：D5.若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：D.6.在正方體中，過(guò)作一垂直于的平面交平面于直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則直線與所成角余弦值的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由正方體性質(zhì)可知，，，，平面，平面，易知平面，平面平面，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，并如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)兩直線所成角為，，故，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選：A7.已知等腰直角的斜邊分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)均在球的球面上，則球表面積的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由點(diǎn)均在球的球面上，且共圓（不與重合），所以（不與重合），又為等腰直角三角形，為斜邊，即有，如上圖，△、△、△都為直角三角形，且，由平面圖到立體圖知：，，又面面，面面，面，所以面，同理可得面，將翻折后，的中點(diǎn)分別為△，四邊形外接圓圓心，過(guò)作面，過(guò)作面，它們交于，即為外接球球心，如下圖示，再過(guò)作面，交于，連接，則為矩形，綜上，，，則為中點(diǎn)，所以，而，，令且，則，故，，所以球半徑，當(dāng)時(shí)，，故球表面積的最小值為.故選：D8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋?，又，所以，，所以，如圖所示，由余弦定理知：，整理得，又，解得：離心率.故選：B.二、多選題9.對(duì)于兩條不同直線和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若，則或D.若，則或【答案】AD【解析】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯(cuò)；若，則或或相交，C錯(cuò)誤；若，則或，D正確.故選：AD10.已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.圓和圓有兩條公切線B.直線的方程為C.圓上存在兩點(diǎn)和使得D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.11.兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個(gè)不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線B.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯(cuò)誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤；D：同C分析：時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.12.如圖，直平面六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是四邊形（包括邊界）內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的截面是直角梯形B.若直線面，則直線的最小值為C.存在點(diǎn)使得直線面D.點(diǎn)到面的距離的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)的截面即為平面，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，故，，故，故，所以四邊形直角梯形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，如圖分別為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以平行且等于，，又平行且等于，所以平行且等于，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，易知，故，故，故的最小值即為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，故，設(shè)，而，故，要使得面，故，解得：，因點(diǎn)在四邊形（包括邊界）內(nèi)，故須滿足且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)方程為，將代入可得，即，故方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14.設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且,則_____.【答案】【解析】由題意可得和均為等差數(shù)列,所以.故答案為:15.已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】由拋物線的對(duì)稱性，如圖，不妨設(shè)交點(diǎn)為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.16.正三棱錐，,點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn),分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，則，中，，故，，設(shè)，，則，故，所以，，，故，故，故，而，（），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由得：，解得（舍去），，于是.（2）由得，解得或.當(dāng)時(shí)，由得，∴；當(dāng)時(shí)，由得，∴，綜上所述，故或21.18.已知圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在直線上.（1）求圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為：，圓心為，半徑為；（2）由（1）知，圓心到直線的距離為，于是當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，即，令，解得，直線方程是，綜上所述，直線的方程是：或.19.如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.解：（1）設(shè)為中點(diǎn)，由題