2025屆廣東省部分名校高三上學期階段調(diào)研數(shù)學試卷三（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分名校2025屆高三上學期階段調(diào)研數(shù)學試卷三一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（）A.8 B.7 C.16 D.15【答案】B【解析】因為，，將中元素代入，驗證可得，所以的真子集的個數(shù)為.故選：B.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.設，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，可得，則，所以，即等價于；若，等價于，顯然可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，所以，所以，所以．故選：D．5.已知單位向量，的夾角為，則下列結論正確的有（）A.B.在方向上投影向量為C.若，則D.若，則【答案】B【解析】對于A，因為，是單位向量，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：B．6.已知數(shù)列的前項和為，其中，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為【答案】D【解析】.因為，的最小正周期為，所以，解得，故A選項正確；所以，，因為，所以，函數(shù)圖象關于點對稱，B選項正確；將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以,即，又，所以的最小值為，C選項正確；若，則，所以，故，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯誤.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)有兩個零點B.當時，C.的解集是D.都有【答案】C【解析】設，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以f-x=-fx所以，即，所以函數(shù)的解析式為，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以函數(shù)有三個零點，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以的解集為，故正確；當時，，所以當時，f'x<0，函數(shù)當時，f'x>0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最小值，當時，，所以當時，f'x>0，函數(shù)當時，f'x<0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最大值，當時，，所以，都有，所以不正確.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，，則（）A.與的值域相同B.與的最小正周期相同C.曲線與有相同的對稱軸D.曲線與有相同的對稱中心【答案】ABC【解析】對于A，，，則與的值域相同，故A正確．對于B，與的最小正周期均為，故B正確．對于C，曲線與的對稱軸方程均為，C正確．對于D，曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，故D錯誤．故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等比數(shù)列，且，則C.若，則是等差數(shù)列D.若是公比大于1的等比數(shù)列，則【答案】AB【解析】對于A，若是等差數(shù)列，則，且，則，A正確；對于B，若是等比數(shù)列，顯然時，否則，不成立，，且，則，B正確；對于C，若，則，，，，數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯誤；對于D，若，則，，不滿足，D錯誤.故選：AB11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.C.函數(shù)的圖象關于點對稱 D.【答案】BCD【解析】對A，因為，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯誤；對B，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正確；對C，因為，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C正確；對D，因為，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．【答案】8【解析】解：因為的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，因為，令，則，令，則所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，當時，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增所以，當時，有最小值，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因，，所以，的最小值，當且僅當，即時等號成立.故答案為：13.已知的外心為，內(nèi)角的對邊分別為，且.若，則__________.【答案】解析】由題意，不妨設，所以，解得k=1，則，又因為是的外心，過點作又因為,所以則，故填：14.若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．【答案】【解析】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求；（2）若，則面積為，求、的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，，即，即，因為，則，所以，，解得.（2）因為，所以，①，由余弦定理可得②，聯(lián)立①②可得或.16.已知數(shù)列中，，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的前n項和.（1）證明：因為，所以，即，為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故，所以，兩式相減得，，所以．17.已知直三棱柱中，，分別為和的中點，為棱上的動點，.（1）證明：平面平面；（2）設，是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?（1）證明：由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.同時有，且，故.由于，，且和在平面內(nèi)交于點，故平面.由于在平面內(nèi)，故.取的中點，由于分別是和的中點，故，而，故，即.由于分別是和的中點，可以得到，所以有平行四邊形，故.設和交于點，由于，，，從而得到全等于，故.這就得到，從而，即.而，故.由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點，故平面.由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）解：有，又因為平面，和在平面內(nèi)，故，.由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系.由于題設條件和需要求證的結論均只依賴于線段間的比值，不妨設，這就得到A0,0,0，，，，，，，.據(jù)題設有，顯然，此時.從而有，，，.設和分別是平面和平面的法向量，則，.即，，從而可取，.此時平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.18.如圖，廣東省某機器人比賽設計了一個矩形場地ABCD（含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點），AD長10米，在AB邊上距離A點4米的F處放一只電子狗，在距A點2米的E處放一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為2v，若電子狗和機器人在場地內(nèi)沿直線方向同時到達場地內(nèi)某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫“成功點”．（1）求在這個矩形場地內(nèi)“成功點”M的軌跡方程；（2）若P為矩形場地AD邊上的一點，電子狗在線段FP上總能逃脫，求|AP|的取值范圍．解：（1）分別以AD，AB為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設成功點，依題意，，即，則，化簡得，所以這個矩形場地內(nèi)成功點M的軌跡方程是.（2）由（1）知，點M的軌跡是以為圓心，為半徑的右半圓，由電子狗在線段FP上總能逃脫，得直線與點M軌跡在軸右側且相離，此時直線的斜率，方程為，即，由，得，則有，即，此時，而，所以的取值范圍是.19.已知函數(shù)，且在上的最小值為0.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.（1）解：，，，，，令，等號不同時取，所以當時，，在上單調(diào)遞增，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意.②若，即，此時，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍去.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：（i）由（1）可知，當時，.要證函數(shù)在上具有性質(zhì).即證：當時，.即證：當時，.令，，則，即，，，所以在上單調(diào)遞增，.即當時，，得證.（ii）法一：由（i）得，當時，，所以當時，.下面先證明兩個不等式：①，其中；②，其中.①令，，則，在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.②令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即當時，，故，得.據(jù)不等式②可知，當時，，所以當時，.結合不等式①可得，當時，.所以當時，當，時，，有.所以.又，所以法二：要證：.顯然，當時，，結論成立.只要證：當，時，.即證：當，時，.令，.所以，，所以，在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.所以當，時，，有，所以當，時，.所以廣東省部分名校2025屆高三上學期階段調(diào)研數(shù)學試卷三一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（）A.8 B.7 C.16 D.15【答案】B【解析】因為，，將中元素代入，驗證可得，所以的真子集的個數(shù)為.故選：B.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.設，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，可得，則，所以，即等價于；若，等價于，顯然可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，所以，所以，所以．故選：D．5.已知單位向量，的夾角為，則下列結論正確的有（）A.B.在方向上投影向量為C.若，則D.若，則【答案】B【解析】對于A，因為，是單位向量，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：B．6.已知數(shù)列的前項和為，其中，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為【答案】D【解析】.因為，的最小正周期為，所以，解得，故A選項正確；所以，，因為，所以，函數(shù)圖象關于點對稱，B選項正確；將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以,即，又，所以的最小值為，C選項正確；若，則，所以，故，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯誤.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)有兩個零點B.當時，C.的解集是D.都有【答案】C【解析】設，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以f-x=-fx所以，即，所以函數(shù)的解析式為，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以函數(shù)有三個零點，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以的解集為，故正確；當時，，所以當時，f'x<0，函數(shù)當時，f'x>0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最小值，當時，，所以當時，f'x>0，函數(shù)當時，f'x<0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最大值，當時，，所以，都有，所以不正確.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，，則（）A.與的值域相同B.與的最小正周期相同C.曲線與有相同的對稱軸D.曲線與有相同的對稱中心【答案】ABC【解析】對于A，，，則與的值域相同，故A正確．對于B，與的最小正周期均為，故B正確．對于C，曲線與的對稱軸方程均為，C正確．對于D，曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，故D錯誤．故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等比數(shù)列，且，則C.若，則是等差數(shù)列D.若是公比大于1的等比數(shù)列，則【答案】AB【解析】對于A，若是等差數(shù)列，則，且，則，A正確；對于B，若是等比數(shù)列，顯然時，否則，不成立，，且，則，B正確；對于C，若，則，，，，數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯誤；對于D，若，則，，不滿足，D錯誤.故選：AB11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.C.函數(shù)的圖象關于點對稱 D.【答案】BCD【解析】對A，因為，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯誤；對B，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正確；對C，因為，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C正確；對D，因為，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．【答案】8【解析】解：因為的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，因為，令，則，令，則所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，當時，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增所以，當時，有最小值，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因，，所以，的最小值，當且僅當，即時等號成立.故答案為：13.已知的外心為，內(nèi)角的對邊分別為，且.若，則__________.【答案】解析】由題意，不妨設，所以，解得k=1，則，又因為是的外心，過點作又因為,所以則，故填：14.若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．【答案】【解析】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求；（2）若，則面積為，求、的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，，即，即，因為，則，所以，，解得.（2）因為，所以，①，由余弦定理可得②，聯(lián)立①②可得或.16.已知數(shù)列中，，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的前n項和.（1）證明：因為，所以，即，為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故，所以，兩式相減得，，所以．17.已知直三棱柱中，，分別為和的中點，為棱上的動點，.（1）證明：平面平面；（2）設，是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?（1）證明：由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.同時有，且，故.由于，，且和在平面內(nèi)交于點，故平面.由于在平面內(nèi)，故.取的中點，由于分別是和的中點，故，而，故，即.由于分別是和的中點，可以得到，所以有平行四邊形，故.設和交于點，由于，，，從而得到全等于，故.這就得到，從而，即.而，故.由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點，故平面.由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）解：有，又因為平面，和在平面內(nèi)，故，.由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系.由于題設條件和需要求證的結論均只依賴于線段間的比值，不妨設，這就得到A0,0,0，，，，，，，.據(jù)題設有，顯然，此時.從而有，，，.設和分別是平面和平面的法向量，則，.即，，從而可取，.此時平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.18.如圖，廣東省某機器人比賽設計了一個矩形場地ABCD（含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點），AD長10米，在AB邊上距離A點4米的F處放一只電子狗，在距A點2米的E處放一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為2v，若電子狗和機器人在場地內(nèi)沿直線方向同時到達場地內(nèi)某點M，那么電子狗將被機器人捕