2025屆海南省?？谑心承８呷蠈W(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1海南省海口市某校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得到，即，又，所以，故選：B.2.若，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：.3.設(shè)是空間中的一個(gè)平面，是三條不同的直線，則下列說(shuō)法對(duì)的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】對(duì)于A中，由，，，，只有直線與相交時(shí)，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，，可得，又因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：D.4.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B和C；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)D符合題意.故選：D5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為m，軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為，因?yàn)槠漭S截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長(zhǎng)為，面積為的等腰三角形，所以，解得，則或（舍去），由得，，則上半部分的體積為，下半部分體積為，故蒙古包的體積為.故選：C.6.若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且值域?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只需，即；綜上，.故選：A7.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，而，且．所以，故．故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則方程所有根之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，得，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且有，則，于是是以為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由，得，則方程的根即為函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)的圖象與直線都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖：當(dāng)時(shí)，方程，即，化為，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線在上有一個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，觀察圖象得，函數(shù)的圖象與直線在上有6個(gè)交點(diǎn)，由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，函數(shù)的圖象與直線在上有6個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象與直線的所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為，所以方程所有根之和為.故選：D二、多選題9.，，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為D.當(dāng)時(shí)，，的夾角為鈍角【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則，則，則，不平行，故A不正確；對(duì)于B，若，則，可得，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，向量在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，若，即，此時(shí)，可知，的夾角為，不是鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC．10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是平行直線B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對(duì)于C，由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對(duì)于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長(zhǎng)為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．11.記函數(shù)在區(qū)間的極值點(diǎn)分別為，函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：，，故由題意可知，為方程的兩個(gè)根，故，故A正確；選項(xiàng)B：，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，此時(shí)函數(shù)可化為，由題意此函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故，，故，，故B正確；選項(xiàng)C：由解得，，，由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由A可知，，，因?yàn)?，故，即，故，故D正確.故選：.三、填空題12.已知，則_____.【答案】【解析】法一、由，得，即，解得，所以.法二、由，得，即，令，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，無(wú)解.故.故答案為：13.已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【解析】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，截面如圖所示：設(shè)球的半徑為，則圓錐底面半徑為，可得在中，，，設(shè)，由勾股定理得，，即，化簡(jiǎn)得，即，，則，即，則圓錐體積為，球的體積為，所以圓錐的體積與球O的體積之比為.故答案為：.14.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，解得，故，.令，解得，解得，因?yàn)樵趨^(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，由，得，所以，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題15.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、且．（1）求角的大?。唬?）若，邊上的高為，求三角形的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為：，即，即，因?yàn)椋獾茫?，即．?）由三角形面積公式得，將代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)（2）設(shè)，若A≠?，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即．（2）顯然，若，則，故，則，故滿(mǎn)足題意；若的定義域?yàn)?,+∞，且，若，令f'x>0，解得；令f'x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，由可得：，設(shè)，則，可知在0,+∞上單調(diào)遞增，又．故等價(jià)于，解得，綜上，的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，解答以下問(wèn)題：（1）證明：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)樗睦忮F中，底面，底面，且底面是正方形，所以?xún)蓛纱怪?，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則由題意可得，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量m=x則，取可得平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，又平面，所以直線平面.（2）解：由（1）得，平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求的長(zhǎng)；（3）求平面與平面夾角余弦值.（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意知：，，，則，.又平面，平面.（2）解:由題意知：，.設(shè)，則.，，即，展開(kāi)有：，解得：.故，則有；（3）解:由題意知：，設(shè)平面的法向量，有則，令，則，由（1）知，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程．（2）若，有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，證明：．解:（1）由題可得，則，又，所以曲線y=fx在處的切線方程為即．（2）①由（1）知，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以f'x有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以．所以．令，則，令，得，所以在0,4上單調(diào)遞增，令，得，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，即．所以，當(dāng)時(shí)，gx<0因?yàn)椋?，且在上單調(diào)遞減，所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞增，所以存在，使得．所以的取值范圍為．②要證，只需證，即證，即證．由題可得，，所以，則．令，由得，則，．所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，，即證，．令，，則所以在上單調(diào)遞增，則，所以，得證．海南省海口市某校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得到，即，又，所以，故選：B.2.若，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：.3.設(shè)是空間中的一個(gè)平面，是三條不同的直線，則下列說(shuō)法對(duì)的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】對(duì)于A中，由，，，，只有直線與相交時(shí)，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，，可得，又因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：D.4.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B和C；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)D符合題意.故選：D5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為m，軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為，因?yàn)槠漭S截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長(zhǎng)為，面積為的等腰三角形，所以，解得，則或（舍去），由得，，則上半部分的體積為，下半部分體積為，故蒙古包的體積為.故選：C.6.若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且值域?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只需，即；綜上，.故選：A7.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，而，且．所以，故．故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則方程所有根之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，得，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且有，則，于是是以為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由，得，則方程的根即為函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)的圖象與直線都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖：當(dāng)時(shí)，方程，即，化為，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線在上有一個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，觀察圖象得，函數(shù)的圖象與直線在上有6個(gè)交點(diǎn)，由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，函數(shù)的圖象與直線在上有6個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象與直線的所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為，所以方程所有根之和為.故選：D二、多選題9.，，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為D.當(dāng)時(shí)，，的夾角為鈍角【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則，則，則，不平行，故A不正確；對(duì)于B，若，則，可得，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，向量在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，若，即，此時(shí)，可知，的夾角為，不是鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC．10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是平行直線B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對(duì)于C，由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對(duì)于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長(zhǎng)為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．11.記函數(shù)在區(qū)間的極值點(diǎn)分別為，函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：，，故由題意可知，為方程的兩個(gè)根，故，故A正確；選項(xiàng)B：，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，此時(shí)函數(shù)可化為，由題意此函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故，，故，，故B正確；選項(xiàng)C：由解得，，，由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由A可知，，，因?yàn)?，故，即，故，故D正確.故選：.三、填空題12.已知，則_____.【答案】【解析】法一、由，得，即，解得，所以.法二、由，得，即，令，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，無(wú)解.故.故答案為：13.已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【解析】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，截面如圖所示：設(shè)球的半徑為，則圓錐底面半徑為，可得在中，，，設(shè)，由勾股定理得，，即，化簡(jiǎn)得，即，，則，即，則圓錐體積為，球的體積為，所以圓錐的體積與球O的體積之比為.故答案為：.14.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，解得，故，.令，解得，解得，因?yàn)樵趨^(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，由，得，所以，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題15.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、且．（1）求角的大??；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，，為的?nèi)角，所以，因?yàn)椋钥苫癁椋?，即，即，因?yàn)椋獾茫?，即．?）由三角形面積公式得，將代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)（2）設(shè)，若A≠?，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即．（2）顯然，若，則，故，則，故滿(mǎn)足題意；若的定義域?yàn)?,+∞，且，若，令f'x>0，解得；令f'x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，由可得：，設(shè)，則，可知在0,+∞上單調(diào)遞增，又．故等價(jià)于，解得，綜上，的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，解答以下問(wèn)題：（1）證明：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)樗睦忮F中，底面，底面，且