2024-2025學年北京通州區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第2頁/共12頁2025北京通州高三（上）期末數(shù)學本試卷共9頁，共150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知全集，集合，則 A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則 A.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) C.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) D.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)4.在二項式的展開式中，常數(shù)項為 A. B. C. D.5.圓與圓的位置關(guān)系是 A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.外離6.設(shè)為的一個排列，則滿足的不同排列的個數(shù)為 A. B. C. D.7.已知直線，雙曲線，則“”是“直線與雙曲線無交點”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖某實心零部件的形狀是正四棱臺，已知，，棱臺的高為，先需要對該零部件的表面進行防腐處理，若每平方厘米的防腐處理費用為元，則該零部件的防腐處理費用是 A.元 B.元 C.元 D.元9.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①若，則；②的圖象可由向左平移得到；③若且，則一定有；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的個數(shù)有 A. B. C. D.10.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且，下列說法正確的是 A.當時，數(shù)列為遞減數(shù)列 B.數(shù)列不可能為等比數(shù)列 C.當，，都有 D.當時，，，都有第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數(shù)，則_________.12.三個班共有120名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：A班66.577.588B班6789101112C班46.588.51012.513.5估計A班的人數(shù)有_________人；設(shè)B班體育鍛煉時間的方差為，C班體育鍛煉時間的方差為，則_________（填：）.13.已知拋物線的焦點為，點在上，若，則線段的中點的橫坐標為_________.14.已知是同一平面上的三個向量，滿足，，則與的夾角等于_________；若與的夾角為，則的最大值為_________.15.如圖，正方形和正方形所在的平面互相垂直.為中點，為正方形內(nèi)一點（包括邊界），且滿足，為正方形內(nèi)一點（包括邊界），設(shè)，給出下列四個結(jié)論：①，使；②，使；③點到的最小值為；④四棱錐體積的最大值為.其中正確結(jié)論的序號是_________.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，邊上中線的長為2，求的面積.17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，是的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.（本小題13分）為服務(wù)北京城市副中心三大文化建筑（北京藝術(shù)中心，北京城市圖書館和北京大運河博物館）游客差異化出行需求，北京市交通委于2024年開通三大文化建筑周邊自動駕駛微公交接駁服務(wù).無人駕駛微公交每輛車滿載可乘坐9名乘客，為預(yù)測未來某站點在客流量高峰期乘車人數(shù)的規(guī)律，收集了以往某個客流量高峰期連續(xù)20輛微公交的乘車人數(shù)數(shù)據(jù).如下：車次序號乘車人數(shù)110號89998999971120號9989999978用頻率估計概率.（Ⅰ）試估計該站點客流量高峰期微公交乘車人數(shù)為9人的概率；（Ⅱ）假設(shè)微公交乘車人數(shù)相互獨立，記為未來該站點客流量高峰期兩輛微公交乘車人數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）假設(shè)客流量高峰期該站點每輛微公交乘車人數(shù)只受前一輛微公交乘車人數(shù)影響，若該站點連續(xù)兩輛微公交都滿載9人的概率不低于，則需要縮短連續(xù)兩輛微公交的時間間隔，判斷公交公司在客流量高峰期是否需要縮短發(fā)車間隔.（寫出結(jié)論，不用說明理由）

19.（本小題15分）已知橢圓，以橢圓的一個焦點和短軸端點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形.（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）斜率存在且不為0的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點.在軸上是否存在定點，使得（為坐標原點）？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.20.（本小題15分）已知在點處與軸相切.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若，求證.21.（本小題15分）定義：若正整數(shù)能表示成（為正整數(shù)且）的形式，則稱為“型數(shù)”，也稱具有“結(jié)構(gòu)”.若數(shù)列中的項均為“型數(shù)”，則稱數(shù)列為“型數(shù)列”.（Ⅰ）寫出這四個數(shù)中的“型數(shù)”；（Ⅱ）若為等差數(shù)列，且，，求證中任意一項均不為“型數(shù)”；（Ⅲ）若數(shù)列，均為“型數(shù)列”，設(shè)，求證數(shù)列為“型數(shù)列”.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.題號12345678910答案CBADDBAABC二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．12．36<13．314．415．①③④注：第（12），（14）題第一空3分，第二空2分；第（15）題全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分.（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）由，得.在中，由正弦定理得.因為，所以，又，所以.………7分（Ⅱ）設(shè)邊中點為，連接，則，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面積為.…13分（17）（本小題14分）(Ⅰ)證明：因為ABCD為菱形，所以，又平面，平面,所以平面.…5分(Ⅱ)選擇條件①平面平面.因為，是的中點，所以.又平面平面且交線為，平面，所以平面.因為平面，所以.因為平面，平面，所以.因為平面，所以平面.所以.所以，，.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系.則，所以，設(shè)平面的法向量為則，令，則，，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.…14分（法二：，可求得D點到平面ABE的距離為，則）選擇條件②.因為平面，所以，在△中，由勾股定理可知.在△中，由勾股定理可知.所以.又，所以△△.所以.所以.所以，，.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系.以下解答同條件①.（法二：在△中，由勾股定理可知.因為在△中，由勾股定理可知.所以.）（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）該站點乘客流量高峰期無人駕駛微公交載客人數(shù)達到滿載9人為事件A，乘客人數(shù)是7人為事件B，乘客人數(shù)是8人為事件C.由表中數(shù)據(jù)可知達到滿載9人的車次有14輛，總數(shù)共20輛，所以.…3分（Ⅱ），.X的可能取值為14,15,16,17,18.，，，，.所以隨機變量X的分布列為：X1415161718P0.010.040.180.280.49…10分數(shù)學期望E（X）.……11分（Ⅲ）需要縮短連續(xù)兩輛公交的時間間隔.…13分（因為連續(xù)兩輛載客情況有19種，均滿載有10種，）…（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，，所以,.所以橢圓的標準方程為.…4分離心率.…5分（Ⅱ）由題意直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線方程為，則點M坐標為.由得.由題意.設(shè)，，則，.因為與A關(guān)于y軸對稱，則.則直線的方程為.令，則點N坐標為.假設(shè)存在定點E滿足條件，則有△△.則有.所以.所以點E坐標為或.…15分法二：設(shè)A點坐標為，則點坐標為，B點坐標為.則有，.直線AB方程為.令，則.則M點坐標為（0，）直線方程為.令，則.則N點坐標為（0，）.假設(shè)存在定點E滿足條件，則有△△.則有.所以.所以點E坐標為或.（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）依題意，.由得，.依題意.由得，.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，定義域為..令，得.令，得.當時，，在上單調(diào)遞減.當時，，在上單調(diào)遞增.所以有.即.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.………10分（Ⅲ）因為，所以要證成立，只需證成立.即證.設(shè)，即證在上成立.即證在上成立.由（Ⅱ）可知的單調(diào)遞減區(qū)間為所以有，即成立.…15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）7,14,21,28這四個數(shù)中的“T型數(shù)”有7,21,28.…3分;;.（Ⅱ）因為為等差數(shù)列，且，，所以有，.所以.…2分下面用反證法證明：假設(shè)存在N，使為“T型數(shù)”則有.(1)若均可以被3整除，則一定被3整除，與矛盾.(2)若，則，與矛盾.（3）若，則與矛盾.（4）若，結(jié)論與（2）同.(5)若