2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題10解三角形-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題10解三角形-專項訓(xùn)練考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01正弦余弦定理應(yīng)用2024甲卷2023北京天津甲ⅠⅡ卷2022Ⅰ卷2021甲卷乙卷浙江Ⅰ卷2020Ⅰ卷三角形針線余弦定理求基本量運算是高考必考知識點，邊角轉(zhuǎn)化，最值問題與不等式相結(jié)合等都是高考高頻考點?？键c02三角形中面積周長應(yīng)用2024ⅠⅡ北京卷2023乙卷2022Ⅱ卷北京浙江乙卷2021Ⅱ北京卷2020Ⅱ卷解三角形在高考解答題中，周長面積問題是高考中?？碱}型，難度一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及常規(guī)技巧考點01正弦余弦定理應(yīng)用1．（2024·全國·高考甲卷）在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．2．(2023年北京卷·)在中，，則 ()A． B． C． D．2．(2020年高考課標Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB= ()A． B． C． D．3．(2021年高考全國乙卷題)魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高 () ()A．表高 B．表高C．表距 D．表距4．(2021年高考全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A．B．C三點，且A．B．C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A．C兩點到水平面的高度差約為() ()A．346 B．373 C．446 D．473二填空題5．(2021年高考全國乙卷理科)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中點，，則___________，___________．7．(2020年高考課標Ⅰ卷)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．8．(2023年全國甲卷)在中，，的角平分線交BC于D，則_________．三解答題9．(2023年天津卷)在中，角所對邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．10．(2023年新課標全國Ⅰ卷)已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．11．(2023年新課標全國Ⅱ卷)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．12．(2021年新高考Ⅰ卷)記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點在邊上，．(1)證明：；(2)若，求．13．(2022新高考全國I卷)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．15．(2020天津高考)在中，角所對的邊分別為．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．16(2020年新高考全國Ⅰ卷)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．17．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué))在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．考點02三角形中面積周長應(yīng)用1（2024·全國·高考Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．3．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．4．(2023年全國乙卷)在中，已知，，．(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積．5．(2021年新高考全國Ⅱ卷)在中，角、、所對的邊長分別為、、，，．．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．6．(2020年高考課標Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．7．(2022高考北京卷)在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．8．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．9．(2022新高考全國II卷)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求面積；(2)若，求b．10．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué))記的內(nèi)角的對邊分別為，已．(1)證明：；(2)若，求的周長．11．(2021高考北京)在中，，．(1)求角B的大??；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：周長為；條件③：的面積為；12．(2020北京高考)在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分參考答案與詳細解析考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01正弦余弦定理應(yīng)用2024甲卷2023北京天津甲ⅠⅡ卷2022Ⅰ卷2021甲卷乙卷浙江Ⅰ卷2020Ⅰ卷三角形針線余弦定理求基本量運算是高考必考知識點，邊角轉(zhuǎn)化，最值問題與不等式相結(jié)合等都是高考高頻考點?？键c02三角形中面積周長應(yīng)用2024ⅠⅡ北京卷2023乙卷2022Ⅱ卷北京浙江乙卷2021Ⅱ北京卷2020Ⅱ卷解三角形在高考解答題中，周長面積問題是高考中?？碱}型，難度一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及常規(guī)技巧考點01正弦余弦定理應(yīng)用1．（2024·全國·高考甲卷）在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.2．(2023年北京卷·)在中，，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以．故選：B．2．(2020年高考課標Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB= ()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故．故選：A．3．(2021年高考全國乙卷題)魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高 () ()A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A．4．(2021年高考全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A．B．C三點，且A．B．C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A．C兩點到水平面的高度差約為() ()A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．二填空題5．(2021年高考全國乙卷理科)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得(負值舍去)．故答案為：．6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中點，，則___________，___________．【答案】(1)．(2)．解析:由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得(負值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案為；．7．(2020年高考課標Ⅰ卷)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案為：．8．(2023年全國甲卷)在中，，的角平分線交BC于D，則_________．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．三解答題9．(2023年天津卷·第16題)在中，角所對邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．10．(2023年新課標全國Ⅰ卷)已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【解析】(1)，，即，又，，，，即，所以，．(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．11．(2023年新課標全國Ⅱ卷)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以．方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以．(2)方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．12．(2021年新高考Ⅰ卷)記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點在邊上，．(1)證明：；(2)若，求．【答案】【解析】(1)由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證．(2)由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，；綜上，．13．(2022新高考全國I卷)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．15．(2020天津高考)在中，角所對的邊分別為．已知．(Ⅰ)求角的大??；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得，又因為，所以；(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；(Ⅲ)由知角為銳角，由，可得，進而，所以．16(2020年新高考全國Ⅰ卷)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】解法一：由可得：，不妨設(shè)，則：，即．選擇條件①的【解析】據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的【解析】據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的【解析】可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾．17．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué))在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】【解析】解法一：由可得：，不妨設(shè)，則：，即．選擇條件①的【解析】據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的【解析】據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的【解析】可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾．考點02三角形中面積周長應(yīng)用1（2024·全國·高考Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為3．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因為為三角形內(nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內(nèi)角，則，則，則4．(2023年全國乙卷)在中，已知，，．(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：，則，，．(2)由三角形面積公式可得，則．5．(2021年新高考全國Ⅱ卷)在中，角、、所對的邊長分別為、、，，．．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】解析:(1)因為，則，則，故，，，所以，銳角，則，因此，；(2)顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故．6．(2020年高考課標Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，，解得：(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，周長，周長的最大值為．7．(2022高考北京卷)在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】解析:因為，則，由已知可得，可得，因此，．解：由三角形的面積公式可得，解得．由余弦定理可得，，所以，的周長為．8．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·)在中，角A，B，C所對的