2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題12數(shù)列-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題12數(shù)列-專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用2023天津甲乙Ⅱ卷2022乙卷2020北京卷等差等比數(shù)列及求和在高考中主要考查基本量的基本運(yùn)算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，奇偶性求和，列項(xiàng)求和等?？键c(diǎn)02數(shù)列求和2024甲天津卷2023ⅠⅡ甲乙卷2022甲卷2021ⅠⅡ乙卷2020浙江ⅠⅡ卷考點(diǎn)03數(shù)列情景類問題2024北京2023北京2021北京Ⅰ卷2020Ⅱ卷情景化與新定義是高考的一個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的知識(shí)去解決新定義問題，因加以重視，是高考的一個(gè)方向，并且作為壓軸題的可能性比較大，難度大?？键c(diǎn)04數(shù)列新定義問題2024Ⅰ北京卷2023北京卷考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問題2024Ⅱ卷2023北京天津乙Ⅱ卷2022北京浙江ⅠⅡ卷2021甲浙江2020浙江Ⅱ卷知識(shí)的綜合是未來高考的一個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合等，屬于中等難度?？键c(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用一選擇題1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)2．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為()A．3 B．18 C．54 D．1523．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 ()．A．120 B．85 C． D．4．(2023年全國(guó)甲卷理科·第5題)設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則 ()A． B． C．15 D．405．(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則 ()A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題3．(2023年全國(guó)乙卷理科·第15題)已知為等比數(shù)列，，，則______．考點(diǎn)02數(shù)列求和一選擇題1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國(guó)·甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．3．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第11題)已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．5．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第15題)將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．三解答題：6．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和．8．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．9．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·第20題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．10．(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．11．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．12（2023年全國(guó)乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．13．(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷（山東）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項(xiàng)公式；(2)求．15．(2023年全國(guó)甲卷理科·第17題)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16.(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記的前項(xiàng)和為，求證：；(Ⅲ)對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．考點(diǎn)03數(shù)列情景類題目一、選擇題1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊2．(2022新高考全國(guó)II卷·第3題)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則 () ()A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．93．(2021高考北京·第6題)《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160二、填空題4．(2023年北京卷·第14題)我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______．6（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.考點(diǎn)04數(shù)列新定義問題1（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．3(2023年北京卷·第21題)已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問題一、選擇題1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則 ()A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是 ()A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3．(2022高考北京卷·第6題)設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期．對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是 ()A． B． C． D．5．(2023年全國(guó)乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則 ()A．－1 B． C．0 D．二解答題6（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.7．(2023年天津卷·第19題)已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．8．(2022新高考全國(guó)I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．9．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第20題)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．10（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．11．(2022高考北京卷·第21題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．12．(2021年高考浙江卷·第20題)已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求的范圍．13．(2022新高考全國(guó)II卷·第17題)已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．14．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第20題)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．15．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第18題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分參考答案與詳細(xì)解析考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用2023天津甲乙Ⅱ卷2022乙卷2020北京卷等差等比數(shù)列及求和在高考中主要考查基本量的基本運(yùn)算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，奇偶性求和，列項(xiàng)求和等?？键c(diǎn)02數(shù)列求和2024甲天津卷2023ⅠⅡ甲乙卷2022甲卷2021ⅠⅡ乙卷2020浙江ⅠⅡ卷考點(diǎn)03數(shù)列情景類問題2024北京2023北京2021北京Ⅰ卷2020Ⅱ卷情景化與新定義是高考的一個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的知識(shí)去解決新定義問題，因加以重視，是高考的一個(gè)方向，并且作為壓軸題的可能性比較大，難度大?？键c(diǎn)04數(shù)列新定義問題2024Ⅰ北京卷2023北京卷考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問題2024Ⅱ卷2023北京天津乙Ⅱ卷2022北京浙江ⅠⅡ卷2021甲浙江2020浙江Ⅱ卷知識(shí)的綜合是未來高考的一個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合等，屬于中等難度?？键c(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用一選擇題1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，．故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為．故選：B．2．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為 ()A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C解析：由題意可得：當(dāng)時(shí)，，即，①當(dāng)時(shí)，，即，②聯(lián)立①②可得，則．故選：C．3．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 ()．A．120 B．85 C． D．【答案】C解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．4．(2023年全國(guó)甲卷理科·第5題)設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則 ()A． B． C．15 D．40【答案】C解析：由題知,即,即,即．由題知,所以．所以．故選:C．5．(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則 ()A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以．故選：D．二、填空題3．(2023年全國(guó)乙卷理科·第15題)已知為等比數(shù)列，，，則______．【答案】解析：設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：．考點(diǎn)02數(shù)列求和一選擇題1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2．（2024·全國(guó)·甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.3．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解析：在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題4．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第11題)已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．【答案】10解析：因?yàn)?，所以．即?．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第15題)將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】解析：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：．三解答題：6．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析．解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(2)方法1：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．方法2：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和．【答案】；．【解析】(1)由題設(shè)可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故．(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)椋裕?．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2)．解析：(1)由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴．9．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·第20題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)解析：(1)，，解得，，又，，即，解得或(舍去)，．(2)為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或(舍去)當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，．10．(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)解：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．11．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．【答案】【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為．12（2023年全國(guó)乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.13．(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷（山東）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)．所以．14．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項(xiàng)公式；(2)求．【答案】(1)；(2)解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由于：，故：．15．(2023年全國(guó)甲卷理科·第17題)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)解析：(1)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．(2)因?yàn)椋?，，兩式相減得，，，即，．16.(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記的前項(xiàng)和為，求證：；(Ⅲ)對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得．從而的通項(xiàng)公式為．由，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以．(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：．因此，．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．17（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.考點(diǎn)03數(shù)列情景類題目一、選擇題1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C解析：設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以．故選：C2．(2022新高考全國(guó)II卷·第3題)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則 () ()A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9【答案】D解析：設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故．故選D．3．(2021高考北京·第6題)《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C解析：由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，，可得，可得，又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以．故選：C．二、填空題4．(2023年北京卷·第14題)我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．【答案】①．48②．384解析：方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以．故答案為：48；384．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______．【答案】5【解析】(1)對(duì)折次可得到如下規(guī)格：，，，，，共種；(2)由題意可得，，，，，，設(shè)，則，兩式作差得，因此，,故答案為；．6（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.考點(diǎn)04數(shù)列新定義問題1（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危玫叫聰?shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院?，將取遍中除開五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對(duì)，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先，由于，和各有個(gè)元素，故滿足命題1的總共有個(gè)；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對(duì)應(yīng)的分別是，總共個(gè).所以這個(gè)滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.2（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因?yàn)?，即序列共?項(xiàng)，由題意可知：，檢驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項(xiàng)都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對(duì)于序列也是無序的，（?。┤?，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當(dāng)中有且僅有三個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列可得，即，因?yàn)闉榕紨?shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個(gè)序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，因?yàn)椋傻?，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當(dāng)中有且僅有兩個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，即轉(zhuǎn)為③，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件“”.3(2023年北京卷·第21題)已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳解解析：(1)由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：，，，．(2)由題意可知：，且，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又因?yàn)?，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，則，又因?yàn)?，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．(3)(ⅰ)若，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)?，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得?ⅱ)若，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有．①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)椋?，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得；綜上所述：存在使得．考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問題一、選擇題1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則 ()A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B解析：法1：因?yàn)?，故，?duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立．對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏希裕瑒t為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．2．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是 ()A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D解析：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D3．(2022高考北京卷·第6題)設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù)．若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列．所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”．所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件．故選,C．4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期．對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是 ()A． B． C． D．【答案】C解析：由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題．5．(2023年全國(guó)乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則 ()A．－1 B． C．0 D．【答案】B解析：依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，．故選：B二解答題6（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時(shí)，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無關(guān)的定值，所以.方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項(xiàng)得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.7．(2023年天津卷·第19題)已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為．解析：(1)由題意可得，解得，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求和得．(2)(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，取，則，即，當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，據(jù)此可得，綜上可得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，據(jù)此猜測(cè)，否則，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無法保證，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無法保證，綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為：．8．(2022新高考全國(guó)I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴