2024年高中數(shù)學第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第二課時數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式練習含解析新人教A版必修5

PAGE1-其次課時數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式1.已知數(shù)列{an}滿意a1=,an=2an-1+1(n>1),那么a4等于(B)(A)5 (B)11 (C)23 (D)8解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故選B.2.已知數(shù)列{an}滿意a1>0且an+1=an,則數(shù)列{an}是(B)(A)遞增數(shù)列 (B)遞減數(shù)列 (C)常數(shù)列 (D)搖擺數(shù)列解析:因為a1>0,an+1=an,所以an>0.又因為an+1-an=an-an=-an<0,所以an+1<an.故數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.故選B.3.數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n2+21n,則該數(shù)列中最大的項為(B)(A)第4項 (B)第5項 (C)第6項 (D)第7項解析:因為f(n)=-2n2+21n=-2(n-)2+(n∈N*),所以n=5時,an最大.a5=55,所以最大項為第5項.故選B.4.已知數(shù)列{an},an=-2n2+λn,若該數(shù)列是遞減數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是(A)(A)(-∞,6) (B)(-∞,4](C)(-∞,5) (D)(-∞,3]解析:數(shù)列{an}的通項公式是關于n(n∈N*)的二次函數(shù),若數(shù)列是遞減數(shù)列,則-<,即λ<6.故選A.5.已知數(shù)列{an}對隨意的p,q∈N*滿意ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于(C)(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21解析:a10=a8+a2,a8=2a4,a4=2a2,故a10=4a2+a2=5a2=-30.故選C.6.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式是(D)(A)2n-1 (B)()n-1 (C)n2 (D)n解析:因為an=n(an+1-an),所以=,所以an=×××…×××a1=×××…×××1=n.故選D.7.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an=an-1+n(n≥2,n∈N*),則a5等于(C)(A)6 (B)10 (C)15 (D)21解析:an-an-1=n,a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)=1+2+3+4+5=15,選C.8.已知數(shù)列{an}滿意:an+1=an-an-1(n≥2),Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2018等于(C)(A)217a2-a1 (B)217a1-a2(C)a1+a2 (D)a2-a1解析:因為an+1=an-an-1(n≥2),所以a3=a2-a1,a4=-a1,a5=-a2,a6=a1-a2,a7=a1,a8=a2,所以數(shù)列{an}的周期為6,S2018=S336×6+2=S2=a1+a2.故選C.9.數(shù)列{an}中,a1=1,an=+1,則a4=.

解析:由a1=1,an=+1得,a2=1+1=2,a3=+1=,a4=+1=.答案:10.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),則a2018=.

解析:因為a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),所以a3=a2-a1=5-1=4,同理得a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…,所以an+6=an.則a2018=a6×336+2=a2=5.答案:511.設數(shù)列{an}滿意:a1=2,an+1=1-,記數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則T2018的值為.

解析:由a1=2,an+1=1-,得a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列.又因為a1a2a3=2××(-1)=-1,且2018=672×3+2,所以T2018=(-1)672×1=1.答案:112.若數(shù)列[n(n+4)()n]中的最大項是第k項,則k=.

解析:設數(shù)列的通項為an,則an+1-an=(n+1)(n+5)()n+1-n(n+4)()n=()n[(n2+6n+5)-n2-4n]=(10-n2).所以當n≤3時,an+1>an;當n≥4時,an+1<an.因此,a1<a2<a3<a4,a4>a5>a6>…,故a4最大,所以k=4.答案:413.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)?n為何值時,an有最小值?并求出最小值;(2)對于n∈N*,都有an+1>an,求實數(shù)k的取值范圍.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因為n∈N*,所以n=2,3,所以數(shù)列中有兩項是負數(shù),即為a2,a3.因為an=n2-5n+4=(n-)2-,由二次函數(shù)性質(zhì),得當n=2或n=3時,an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.(2)由an+1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列,因為通項公式an=n2+kn+4,可以看作是關于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以-<,k>-3.14.數(shù)列{an}中,an=(a2-1)(n3-2n)(a≠±1)且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.試確定實數(shù)a的取值范圍.解:因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以an+1>an.所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)>0.因為n∈N*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-≥5>0,所以a2-1>0,所以a>1或a<-1.故a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).15.已知數(shù)列{an}滿意a1=,a1+a2+…+an=n2an,求其通項an.解:因為a1+a2+…+an=n2an,①所以a1+a2+…+an-1=(n-1)2an-1(n≥2).②①-②得an=n2an-(n-1)2an-1,即=(n≥2).故···…·=××××…××,即=.又a1=,所以an=(n∈N+).16.大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中太極衍生原理.數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)驗過的兩儀數(shù)量總和.是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數(shù)列第20項為(B)(A)180 (B)200 (C)128 (D)162解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶數(shù)項的通項公式a2n=2n2.則此數(shù)列第20項為2×102=200.故選B.17.已知數(shù)列{an},{bn}滿意a1=,an+bn=1,bn+1=,則b2017等于(A)(A) (B)(C) (D)解析:因為數(shù)列{an},{bn}滿意a1=,an+bn=1,bn+1=,所以b1=1-=,b2==,a2=1-=,b3==,a3=1-=,b4==,a4=1-=,由此猜想bn=,所以b2017=,故選A.18.數(shù)列{an}滿意an+1=,a8=2,則a1=.

解析:因為an+1=,所以an=1-,又a8=2,所以a7=1-=,a6=1-=-1,a5=1-=2,故數(shù)列{an}的周期為3,所以a1=a7=.答案:19.設{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n∈N*),則它的通項公式為.

解析:對原關系式進行等價變形得(n+1)-n+an+1·an=0(n∈N*)?[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,因為{an}是正項數(shù)列,所以(n+1)an+1-nan=0,從而(n+1)an+1=nan,即nan=(n-1)an-1=…=2a2=a1=1,即an=.答案:an=20.已知數(shù)列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值;(2)若對隨意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.解:(1)因為an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0