高中數(shù)學(xué)四作業(yè)8兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)（二十八）1．已知點A(2，3），B(－2，6）,C(6，6）,D(10，3），則以A、B、C、D為頂點的四邊形是(）A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形C．菱形 D．兩組對邊均不平行的四邊形答案B解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,3)，eq\o（DC，\s\up6（→))＝(－4，3)，eq\o(AD,\s\up6（→))＝(8，0)，所以AB∥CD.又因為|eq\o（AB,\s\up6（→))｜≠|(zhì)eq\o（AD，\s\up6(→））｜，故選B。2．一船從某河的一岸駛向另一岸，船速為v1,水速為v2，已知船可垂直到達對岸，則（)A．｜v1｜〈｜v2｜ B．｜v1|〉|v2|C．｜v1｜≤|v2| D．｜v1|≥|v2｜答案B解析船速v1應(yīng)大于水速v2,即|v1|>｜v2｜.3．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→）)＝（k，1)，eq\o(AC,\s\up6(→）)＝(2,3），則k的值是（）A.eq\f(3，2） B．－eq\f(3,2）C．5 D．－5答案C解析eq\o（BC，\s\up6(→)）＝eq\o(AC，\s\up6(→)）－eq\o(AB,\s\up6(→)）＝(2，3)－(k，1)＝(2－k，2）．∵∠C＝90°，∴eq\o（AC，\s\up6（→)）⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o（AC，\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∴(2，3)·（2－k，2）＝0,即2（2－k)＋6＝0，∴k＝5。4．(高考真題·山東卷）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的a＝（m,n)，b＝(p，q），令a⊙b＝mq－np.下面說法錯誤的是()A．若a與b共線,則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙aC．對任意的λ∈R，有（λa)⊙b＝λ（a⊙b） D．（a⊙b)2＋(a·b)2＝｜a｜2|b|2答案B解析根據(jù)題意可知若a，b共線，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正確．因為a⊙b＝mq－np,則b⊙a＝np－mq，故二者不等，所以B錯誤．對于任意的λ∈R，(λa）⊙b＝λ(a⊙b）＝λmq－λnp,所以C正確．(a⊙b）2＋（a·b）2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2）(p2＋q2)＝|a｜2｜b｜2，所以D正確，故選B。5．點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3）（即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為｜v｜個單位）．設(shè)開始時點P坐標(biāo)為(－10，10)．則5s后點P坐標(biāo)為（)A．(－2，4） B．（－30，25)C．（10，－5) D．（5，－10)答案C6．已知作用在A點的三個力F1＝（3,4)，F(xiàn)2＝（2，－5），F(xiàn)3＝（3,1），且A(1，1），則合力F＝F1＋F2＋F3終點的坐標(biāo)為()A．（1，9） B．(9，1)C．（8,0) D．（0，8)答案B解析F＝（8，0),設(shè)終點坐標(biāo)為(x,y)，則eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－1＝8,，y－1＝0，)）解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝9，,y＝1，））故選B.7．點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足eq\o(OA，\s\up6（→)）·eq\o（OB，\s\up6(→））＝eq\o（OB,\s\up6(→））·eq\o(OC,\s\up6（→)）＝eq\o（OC，\s\up6(→）)·eq\o(OA,\s\up6(→）),則點O是△ABC的（)A．三個內(nèi)角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條高線的交點答案D8．在△ABC中,O為中線AM上的一個動點，若AM＝2，則eq\o（OA，\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6（→)）＋eq\o（OC，\s\up6（→)）)的最小值為________．答案－2解析如圖，設(shè)AO＝x,則OM＝2－x,所以eq\o（OA，\s\up6(→））·（eq\o(OB,\s\up6(→）)＋eq\o（OC,\s\up6（→))）＝eq\o（OA，\s\up6(→)）·2eq\o（OM，\s\up6(→)）＝－2·|eq\o(OA，\s\up6(→))｜·｜eq\o(OM,\s\up6（→))｜＝－2x(2－x）＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故當(dāng)x＝1時,eq\o（OA，\s\up6（→）)·（eq\o(OB,\s\up6(→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→)））取得最小值－2。9．設(shè)平面上有四個互異的點A、B、C、D,已知(eq\o（DB，\s\up6(→）)＋eq\o(DC,\s\up6（→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)））·（eq\o（AB,\s\up6（→）)－eq\o(AC，\s\up6(→）)）＝0，則△ABC的形狀一定是________．答案等腰三角形解析∵（eq\o(DB,\s\up6(→））＋eq\o(DC，\s\up6(→)）－2eq\o(DA，\s\up6（→)））·(eq\o（AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6（→）））＝［（eq\o（DB，\s\up6（→))－eq\o（DA，\s\up6（→)）)＋(eq\o（DC，\s\up6（→)）－eq\o(DA，\s\up6（→））)]·（eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AC,\s\up6(→）))＝（eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→)））·(eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o（AC,\s\up6（→)））＝eq\o(AB2,\s\up6（→)）－eq\o(AC2,\s\up6（→））＝｜eq\o(AB，\s\up6(→))|2－|eq\o（AC，\s\up6(→）)|2＝0，∴|eq\o（AB,\s\up6（→）)|＝｜eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC是等腰三角形．10．（高考真題·浙江卷)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3,BC＝10，則eq\o（AB,\s\up6(→)）·eq\o（AC，\s\up6(→）)＝________．答案－16解析∵2eq\o（AM，\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→))，eq\o(BC,\s\up6（→))＝eq\o（AC，\s\up6(→））－eq\o(AB,\s\up6（→))，∴（2eq\o(AM，\s\up6（→）））2＝（eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC,\s\up6(→)）)2,eq\o(BC，\s\up6(→））2＝(eq\o（AC,\s\up6（→））－eq\o（AB,\s\up6(→）)）2?！?eq\o(AB，\s\up6（→））·eq\o(AC，\s\up6(→））＝4eq\o（AM，\s\up6（→)）2－eq\o（BC，\s\up6（→））2＝－64.∴eq\o（AB,\s\up6（→)）·eq\o(AC,\s\up6（→))＝－16.11．（高考真題·北京卷)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6（→))·eq\o（CB，\s\up6（→))的值為________;eq\o(DE，\s\up6(→））·eq\o(DC,\s\up6(→））的最大值為________．答案11解析以D為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．則D（0，0),A(1，0）,B（1,1），C(0，1)，設(shè)E(1，a)（0≤a≤1)．所以eq\o(DE，\s\up6（→））·eq\o(CB，\s\up6(→））＝（1，a)·（1，0）＝1,eq\o（DE,\s\up6（→))·eq\o（DC,\s\up6（→)）＝（1,a）·(0，1)＝a≤1,故eq\o（DE，\s\up6(→））·eq\o(DC,\s\up6（→）)的最大值為1.12．如圖，在正方形ABCD中，已知|eq\o（AB,\s\up6（→））｜＝2,若N為正方形內(nèi)（含邊界)任意一點，則eq\o(AB，\s\up6(→）)·eq\o（AN，\s\up6（→)）的最大值是________．答案4解析∵eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o(AN,\s\up6(→)）＝｜eq\o（AB,\s\up6(→)）|｜eq\o(AN，\s\up6（→））｜·cos∠BAN，|eq\o（AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN表示eq\o(AN,\s\up6（→））在eq\o(AB，\s\up6（→))方向上的投影,又｜eq\o（AB，\s\up6(→)）|＝2，eq\o（AB,\s\up6（→)）·eq\o（AN,\s\up6（→）)的最大值是4。13．已知兩個單位向量e1,e2的夾角為eq\f（π，3），若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________．答案－6解析由題設(shè)知|e1｜＝|e2｜＝1，且e1·e2＝eq\f(1,2），所b1·b2＝（e1－2e2）·（3e1＋4e2）＝3e12－2e1·e2－8e22＝3－2×eq\f(1,2）－8＝－6。?重點班·選做題14.（2012·江蘇）如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2），BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→））·eq\o（AF，\s\up6（→））＝eq\r(2），則eq\o(AE,\s\up6(→））·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．答案eq\r（2)解析以A為坐標(biāo)原點，AB，AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(eq\r(2），0），E（eq\r（2)，1），D（0，2)，C(eq\r（2），2）．設(shè)F(x，2)（0≤x≤eq\r（2）），由eq\o(AB，\s\up6（→）)·eq\o(AF,\s\up6（→））＝eq\r（2）?eq\r（2）x＝eq\r（2）?x＝1,所以F(1，2),eq\o（AE，\s\up6(→))·eq\o(BF，\s\up6(→）)＝（eq\r(2），1）·(1－eq\r（2），2)＝eq\r（2）.15.如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求證：AD⊥BC.證明設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b,eq\o（DB，\s\up6（→）)＝c，eq\o（DC，\s\up6(→）)＝d,eq\o（AD，\s\up6（→))＝e，則a＝e＋c，b＝e＋d?！郺2－b2＝（e＋c）2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2。由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·（c－d）＝0.∵eq\o（BC，\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC，\s\up6（→)）＝d－c,∴eq\o(AD，\s\up6（→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝e·(d－c）＝0.∴eq\o（AD,\s\up6（→）)⊥eq\o（BC,\s\up6（→）).即AD⊥BC.1．(2014·福建）在下列向量組中,可以把向量a＝(3，2)表示出來的是（）A．e1＝（0，0），e2＝(1,2） B．e1＝（－1，2)，e2＝(5,－2)C．e1＝(3，5），e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3）答案B解析方法一:若e1＝(0，0），e2＝（1,2），則e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2）,e2＝（5,－2），因為eq\f（－1，5）≠eq\f（2，－2），所以e1,e2不共線，根據(jù)共面向量的基本定理，可以把向量a＝（3，2)表示出來，故選B.方法二:因為a＝(3,2)，若e1＝（0，0），e2＝（1，2),不存在實數(shù)λ，μ,使得a＝λe1＋μe2,排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝（5,－2)，設(shè)存在實數(shù)λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，則(3,2）＝（－λ＋5μ，2λ－2μ），所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3＝－λ＋5μ，，2＝2λ－2μ，))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1，）)所以a＝2e1＋e2，故選B.2．（2016·課標(biāo)全國Ⅲ)已知向量eq\o（BA,\s\up10（→））＝(eq\f(1,2),eq\f(\r（3）,2)），eq\o（BC,\s\up10（→）)＝（eq\f（\r（3）,2)，eq\f(1,2)），則∠ABC＝（）A．30° B．45°C．60° D．120°答案A解析由兩向量的夾角公式,可得cos∠ABC＝eq\f（\o（BA,\s\up10（→）)·\o（BC，\s\up10（→)）,|\o(BA，\s\up10(→）)|·｜\o（BC,\s\up10(→)）｜)＝eq\f（\f（1，2)×\f(\r(3），2)＋\f(\r(3),2)×\f（1，2），1×1)＝eq\f(\r(3），2），則∠ABC＝30°.3．（2017·課標(biāo)全國Ⅱ，文改編)已知兩個非零向量a，b滿足｜a＋b｜＝|a－b｜,則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．｜a｜＝|b｜ D．a(chǎn)＋b＝a－b答案B解析兩邊平方求解．由|a＋b|＝｜a－b｜,兩邊平方并化簡得a·b＝0，又a,b都是非零向量，所以a⊥b。4．(2016·天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D,E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則eq\o（AF,\s\up10(→））·eq\o（BC，\s\up10（→))的值為（)A．－eq\f（5,8) B.eq\f（1,8)C。eq\f(1,4) D.eq\f(11,8）答案B解析如圖以直線AC為x軸，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C（1，0），B（eq\f(1,2），eq\f（\r（3）,2）)，F(xiàn)(1，eq\f(\r(3),4）)，∴eq\o（AF，\s\up10(→))＝(1，eq\f（\r（3),4）），eq\o(BC，\s\up10（→）)＝(eq\f（1,2），－eq\f（\r（3）,2))．∴eq\o（AF，\s\up10（→）)·eq\o（BC，\s\up10(→))＝eq\f(1，2）－eq\f(3,8)＝eq\f(1，8），選B。5．（2014·新課標(biāo)全國Ⅰ，文）設(shè)D,E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o（EB，\s\up10(→))＋eq\o(FC,\s\up10（→)）＝(）A.eq\o（AD，\s\up10(→）） B。eq\f（1，2）eq\o（AD，\s\up10（→））C。eq\o(BC,\s\up10（→）) D。eq\f（1，2)eq\o（BC,\s\up10（→))答案A解析eq\o（EB,\s\up10（→）)＋eq\o（FC，\s\up10(→)）＝eq\f（1，2）（eq\o（AB，\s\up10（→））＋eq\o(CB,\s\up10(→)))＋eq\f(1，2)（eq\o(AC，\s\up10(→))＋eq\o（BC,\s\up10（→）))＝eq\f（1,2）(eq\o（AB，\s\up10(→））＋eq\o（AC，\s\up10(→）））＝eq\o（AD，\s\up10（→））,故選A.6．(2014·福建,文）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up10（→））＋eq\o（OB，\s\up10(→））＋eq\o(OC,\s\up10（→））＋eq\o(OD，\s\up10（→）)等于（）A。eq\o(OM,\s\up10(→）） B．2eq\o(OM，\s\up10(→)）C．3eq\o(OM,\s\up10（→)) D．4eq\o（OM，\s\up10(→))答案D解析利用平面向量的平行四邊形法則進行加法運算．因為點M為平行四邊形ABCD對角線的交點,所以點M是AC和BD的中點．由平行四邊形法則知eq\o(OA,\s\up10（→））＋eq\o（OC，\s\up10(→）)＝2eq\o（OM，\s\up10（→))，eq\o（OB，\s\up10（→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝2eq\o（OM,\s\up10(→）)，故eq\o（OA，\s\up10(→））＋eq\o（OC,\s\up10（→））＋eq\o(OB，\s\up10（→））＋eq\o（OD,\s\up10(→))＝4eq\o(OM，\s\up10（→)).7．（高考真題·湖北卷）設(shè)a，b，c是單位向量，且a＋b＝c，則a·c的值為（）A．2 B.eq\f（1，2）C．3 D。eq\f(1,3)答案B解析由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，b＝c－a，兩邊平方得b2＝（c－a)2，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝eq\f(1,2）.8．(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ）設(shè)向量a，b滿足｜a＋b|＝eq\r（10）,｜a－b｜＝eq\r（6)，則a·b＝（）A．1 B．2C．3 D．5答案A解析由條件可得（a＋b)2＝10，（a－b）2＝6,兩式相減，得4a·b＝4，所以a·b＝1.9．（高考真題·遼寧卷)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f（a,｜a｜）＝eq\f（b，|b|)成立的充分條件是（）A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a｜＝｜b|答案C解析因為eq\f（a,|a｜)＝eq\f(b,｜b｜）,則向量eq\f(a，｜a｜)與eq\f（b，|b｜)是方向相同的單位向量，所以a與b共線同向,即使eq\f(a,|a|）＝eq\f（b,|b｜)成立的充分條件為C項．10．（高考真題·四川卷)如圖，正六邊形ABCDEF中，eq\o（BA，\s\up10(→））＋eq\o（CD,\s\up10（→））＋eq\o(EF，\s\up10(→)）＝（）A．0 B。eq\o（AD,\s\up10（→）)C.eq\o(BE,\s\up10（→)) D。eq\o（CF，\s\up10(→)）答案D11．(高考真題·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a，b滿足|a|＝｜b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2），則|a＋2b|＝()A.eq\r(2） B.eq\r（3）C.eq\r（5） D.eq\r（7）答案B12．(高考真題·全國卷Ⅱ）若平面向量α，β滿足｜α｜＝1，｜β｜≤1，且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1，2)，則α與β的夾角θ的范圍是________．答案[eq\f（π，6）,eq\f（5,6）π]解析｜α｜·｜β｜sinθ＝eq\f(1,2），sinθ＝eq\f(1,2|β|)≥eq\f（1，2）,∴eq\f(π，6)≤θ≤eq\f(5，6）π。13．(高考真題·江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD＝eq\f（1，2）AB,BE＝eq\f(2，3）BC。若eq\o（DE,\s\up10(→））＝λ1eq\o（AB，\s\up10(→))＋λ2eq\o（AC,\s\up10(→))（λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．答案eq\f(1,2)解析eq\o(DE，\s\up10(→））＝eq\o（DB，\s\up10（→）)＋eq\o(BE,\s\up10（→))＝eq\f（1，2)eq\o(AB，\s\up10（→)）＋eq\f(2,3)eq\o（BC，\s\up10（→）)＝eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up10（→）)＋eq\f(2，3)(eq\o（AC，\s\up10（→)）－eq\o(AB,\s\up10(→）））＝－eq\f（1，6）eq\o（AB，\s\up10(→))＋eq\f（2，3)eq\o(AC，\s\up10(→))，∵eq\o（DE，\s\up10（→））＝λ1eq\o（AB,\s\up10(→）)＋λ2eq\o（AC,\s\up10(→)),∴λ1＝－eq\f（1，6），λ2＝eq\f（2，3)，故λ1＋λ2＝eq\f(1,2)。14．(高考真題·重慶卷）若向量eq\o(OA，\s\up10（→))＝（1，－3），｜eq\o（OA，\s\up10（→)）｜＝｜eq\o（OB，\s\up10(→))|，eq\o(OA，\s\up10（→）)·eq\o(OB,\s\up10(→)）＝0，則｜eq\o（AB,\s\up10(→）)｜＝________．答案2eq\r(5)解析方法一:設(shè)eq\o（OB,\s\up10(→))＝（x，y)，由|eq\o（OA,\s\up10（→））｜＝｜eq\o（OB,\s\up10(→））|,知eq\r(x2＋y2）＝eq\r(10）。又eq\o(OA，\s\up10（→)）·eq\o(OB，\s\up10（→））＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1，或x＝－3，y＝－1。當(dāng)x＝3，y＝1時,｜eq\o（AB,\s\up10（→））｜＝2eq\r(5）；當(dāng)x＝－3，y＝－1時，｜eq\o(AB，\s\up10(→））｜＝2eq\r(5)，則｜eq\o（AB，\s\up10(→））｜＝2eq\r（5）.方法二：由幾何意義知,|eq\o(AB，\s\up10（→）)|就是以eq\o(OA，\s\up10(→））,eq\o（OB，\s\up10（→))為鄰邊的正方形的對角線長，所以|eq\o（AB,\s\up10（→))｜＝2eq\r(5）.15．(高考真題·北京卷）向量a,b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ，μ）＝________．答案4解析以向量a和b的交點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，令每個小正方形的邊長為1個單位，則A(1，－1)，B(6，2),C（5，－1),所以a＝eq\o(AO，\s\up10(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up10（→））＝（6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up10(→））＝（－1,－3)．由c＝λa＋μb可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（－1＝－λ＋6μ,，－3＝λ＋2μ,））解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（λ＝－2，,μ＝－\f（1,2），))所以eq\f(λ，μ）＝4。16．（2017·課標(biāo)全國Ⅰ，文)已知向量a＝(－1,2），b＝（m，1）．若向量a＋b與a垂直，則m＝________．答案7解析∵(a＋b)⊥a，∴（a＋b)·a＝0.∵a＝（－1,2)，b＝（m，1），∴a＋b＝（m－1，3）．∴（a＋b)·a＝－（m－1）＋2×3＝0，解得m＝7.17．(2017·山東，理)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若eq\r（3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是________．答案eq\f(\r（3），3)解析∵e1，e2是互相垂直的單位向量，∴e1·e2＝0.設(shè)a＝eq\r(3)e1－e2，則a2＝(eq\r(3）e1－e2)2＝3e12－2eq\r（3）e1·e2＋e22＝4.∴｜a|＝2.設(shè)b＝e1＋λe2，則|b｜2＝e12＋2λe1·e2＋λ2e22＝λ2＋1?！啵黚|＝eq\r(1＋λ2）.∵a·b＝（eq\r（3)e1－e2)·（e1＋λe2)＝eq\r(3)－λ，a，b的夾角為60°，∴cos60°＝eq\f（a·b,｜a||b｜）＝eq\f（\r（3）－λ，\r（1＋λ2）×2)＝eq\f（1，2）.∴λ＝eq\f(\r（3),3）.18．(2017·課標(biāo)全國Ⅰ，理)已知向量a，b的夾角為60°,｜a｜＝2，｜b|＝1，則|a＋2b|＝________．答案2eq\r（3）解析|a＋2b｜2＝(a＋2b)2＝|a｜2＋2|a|·｜2b|·cos60°＋(2｜b｜)2＝22＋2×2×2×eq\f（1，2)＋22＝4＋4＋4＝12,∴｜a＋2b|＝eq\r（12）＝2eq\r(3）.1．（高考真題·福建卷）已知向量a＝(x－1，2）,b＝(2,1），則a⊥b的充要條件是（）A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0答案D解析a⊥b?2(x－1）＋2＝0,得x＝0，故選D。2．(高考真題·安徽卷)設(shè)向量a＝(1，0),b＝（eq\f(1,2），eq\f（1，2）），則下列結(jié)論中正確的是(）A．｜a|＝|b｜ B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2），2）C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直答案D解析由題意知|a|＝eq\r（12＋02)＝1，｜b｜＝eq\r（(\f（1，2））2＋(\f（1，2）)2）＝eq\f（\r（2）,2),a·b＝1×eq\f(1，2)＋0×eq\f(1，2）＝eq\f（1，2），（a－b)·b＝a·b－｜b|2＝eq\f（1，2)－eq\f（1,2)＝0，故a－b與b垂直．3．(高考真題·天津卷）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1,AC＝2。設(shè)點P，Q滿足eq\o（AP,\s\up10（→））＝λeq\o(AB，\s\up10（→))，eq\o（AQ,\s\up10（→）)＝(1－λ)eq\o（AC,\s\up10(→))，λ∈R。若eq\o(BQ,\s\up10(→)）·eq\o(CP，\s\up10（→))＝－2,則λ＝（）A。eq\f（1，3） B.eq\f(2,3)C.eq\f(4，3) D．2答案B解析設(shè)eq\o（AB,\s\up10(→）)＝a,eq\o（AC,\s\up10(→））＝b,則由已知得a·b＝0，｜a|＝1，｜b|＝2，并且eq\o（AP，\s\up10(→)）＝λa,eq\o（AQ，\s\up10(→))＝（1－λ)b，所以eq\o（BQ，\s\up10(→))＝eq\o(AQ，\s\up10（→))－eq\o(AB,\s\up10（→）)＝（1－λ）b－a,eq\o（CP，\s\up10(→））＝eq\o（AP，\s\up10(→))－eq\o（AC,\s\up10(→））＝λa－b，所以eq\o(BQ，\s\up10(→）)·eq\o（CP,\s\up10(→))＝［（1－λ）b－a]·（λa－b）＝［λ（1－λ)＋1］a·b－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ