高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修二同步講義第4章第02講隨機(jī)變量及其分布列(學(xué)生版+解析)

第02講隨機(jī)變量及其分布列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解隨機(jī)現(xiàn)象以及隨機(jī)變量的概念；2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的分布列．1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義，會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．2.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念與性質(zhì).3.會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.4.理解兩點(diǎn)分布，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)01隨機(jī)變量1．定義：一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對(duì)于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對(duì)應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值，就稱X為隨機(jī)變量．2．表示：隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ…表示．【解讀】在引入了隨機(jī)變量之后，可以利用隨機(jī)變量來(lái)表示事件．一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)，那么Xa，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當(dāng)a≠b時(shí)，事件Xa與Xb互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對(duì)立，因此P(X≤a)＋P(X>a)1.在用隨機(jī)變量表示事件及事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間．【即學(xué)即練1】(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè)B．在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量D．在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)隨機(jī)變量，它有6個(gè)取值知識(shí)點(diǎn)02離散型隨機(jī)變量1．定義：取值為有限個(gè)或可以一一列舉出來(lái)的隨機(jī)變量．【解讀】（1）離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，例如取值為1，2，…，n；也可以是無(wú)限個(gè)，如取值為1，2，…，n，…（2）離散型隨機(jī)變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③試驗(yàn)之前不能確定取何值；=4\*GB3④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．連續(xù)型隨機(jī)變量：與離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的是連續(xù)型隨機(jī)變量，一般來(lái)說(shuō)，連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值.【即學(xué)即練2】(多選)下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的是()A．某賓館每天入住的旅客數(shù)量是XB．某人在車站等出租車的時(shí)間C．一個(gè)沿直線yx進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量D．某網(wǎng)站未來(lái)1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量知識(shí)點(diǎn)03隨機(jī)變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則YaX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量．由于Xt的充要條件是Yat＋b，因此P(Xt)P(Yat＋b).知識(shí)點(diǎn)04離散型隨機(jī)變量的分布列1．定義：一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1，2，…，n}，概率P(Xxk)pk都是已知的，則稱隨機(jī)變量X的概率分布是已知的．離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列．Xx1x2…xnPp1p2…pn2．分布列的圖形直觀表示：【解讀】(1)離散型隨機(jī)變量的分布列類似于函數(shù)，也有三種表示形式，即解析式、表格和圖象，但離散型隨機(jī)變量的分布列多是表格表示；(2)由離散型隨機(jī)變量的分布列能一目了然地看出隨機(jī)變量X的取值范圍及取這些值的概率，可以全面了解隨機(jī)變量X在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的概率分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的基礎(chǔ)．3．性質(zhì)：(1)pi≥0，i1，2，…，n(2)p1＋p2＋…＋pn1【解讀】(1)pi表示的是事件Xxi發(fā)生的概率，因此每一個(gè)pi都是非負(fù)數(shù)；(2)因?yàn)榉植剂薪o出了隨機(jī)變量能取的每一個(gè)值，而且隨機(jī)變量取不同的值時(shí)的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn應(yīng)該等于1；另一方面，由此可以得出隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．【即學(xué)即練3】下列表中能成為隨機(jī)變量X的分布列的是()知識(shí)點(diǎn)05兩點(diǎn)分布定義：一般地，如果隨機(jī)變量的分布列能寫成如下形式(其中0<p<1)：W10Pp1－p則稱這個(gè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(或0－1分布).【解讀】(1)兩點(diǎn)分布中，隨機(jī)試驗(yàn)X的取值只有兩個(gè)可能性：0或1，且其概率之和為1；(2)由于一個(gè)所有可能結(jié)果只有兩種的隨機(jī)試驗(yàn)，通常稱為伯努利試驗(yàn)，所以兩點(diǎn)分布也常稱為伯努利分布，兩點(diǎn)分布中的p也常被稱為成功概率．【即學(xué)即練4】下列問(wèn)題中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量B．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量C．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中取1個(gè)球，令隨機(jī)變量Xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1取出白球，,0取出紅球))D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量題型01隨機(jī)變量的概念【典例1】判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．(1)北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中2023年5月1日的旅客數(shù)量；(2)2023年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2023年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．【變式1】下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰時(shí)的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之差D．某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)【變式2】10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率題型02離散型隨機(jī)變量的判定【典例2】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某食堂在中午半小時(shí)內(nèi)進(jìn)的人數(shù)；

②某元件的測(cè)量誤差；③小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁(yè)的時(shí)間；

④高一2班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【變式1】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）給出下列四個(gè)命題正確的是（

）A．某次數(shù)學(xué)期中考試前，其中一個(gè)考場(chǎng)30名考生中做對(duì)選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量B．黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量C．某體育館共有6個(gè)出口，散場(chǎng)后從某一出口退場(chǎng)的人數(shù)是隨機(jī)變量D．方程根的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量【變式3】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）（多選）下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)B．某林場(chǎng)的樹木最高達(dá)30m，則此林場(chǎng)中樹木的高度C．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差D．某高中每年參加高考的人數(shù)題型03對(duì)離散型隨機(jī)變量的理解【典例3】拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為ξ，那么ξ4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是()A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B．兩顆都是2點(diǎn)C．兩顆都是4點(diǎn)D．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)【變式1】某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則{ξ5}表示的試驗(yàn)結(jié)果是()A．第5次擊中目標(biāo)B．第5次未擊中目標(biāo)C．前4次均未擊中目標(biāo)D．第4次擊中目標(biāo)【變式2】拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚擲出的點(diǎn)數(shù)之差，則X的所有可能的取值為()A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z5．袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)黑球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)球，若取到黑球，則另?yè)Q一個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為X，則表示“放回5個(gè)紅球”的事件為()A．X4 B．X5C．X6 D．X≤4【變式3】在一次比賽中，需回答三個(gè)問(wèn)題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得2分，回答不正確倒扣1分，記選手甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分為ξ，則ξ的所有可能取值構(gòu)成的集合是________．題型04分布列的性質(zhì)的應(yīng)用【典例4】（23-24高二下·河北石家莊·期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（

）X12PA． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·吉林·期末）下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式2】（23-24高二下·陜西西安·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，，則（

）A．3 B． C．2 D．【變式3】（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）隨機(jī)變量的分布列如下（為常數(shù)）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【變式4】（23-24高二下·貴州遵義·期末）某一射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：45678910P0.020.050.060.08mm0.21則（

）．A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21題型05求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例5】（23-24高二下·重慶渝北·期中）已知袋中有個(gè)不同的小球，紅球、黃球、藍(lán)球各個(gè)（除顏色外完全相同），現(xiàn)從中任取個(gè)球（1）求取出的球中紅球數(shù)多于黃球數(shù)的概率；（2）設(shè)表示取出的個(gè)球中紅色球的個(gè)數(shù)，求的分布列．【變式1】（23-24高二下·重慶·月考）某考試分為筆試和面試兩個(gè)部分，每個(gè)部分的成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其中A等級(jí)得3分、B等級(jí)得2分、C等級(jí)得1分.甲在筆試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，在面試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，甲筆試的結(jié)果和面試的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級(jí)的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望.【變式2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，且每次輸入問(wèn)題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取個(gè)作答，已知在這個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的個(gè).（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰(zhàn)中，求小張答對(duì)的題數(shù)的分布列；（2）給ChatGPT輸入一個(gè)問(wèn)題，求該問(wèn)題能被ChatGPT回答正確的概率；【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動(dòng)中就被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；（3）求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型06兩點(diǎn)分布【典例6】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【變式1】（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球?3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)【變式2】一個(gè)袋子中裝有7個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個(gè)，編號(hào)為1，2，3；黑球3個(gè)，編號(hào)為1，2，3；白球1個(gè)，編號(hào)為1.從袋子中隨機(jī)取出3個(gè)球，記其中白球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．解析：由題意知，ξ的取值范圍是{0，1}，故ξ服從兩點(diǎn)分布．且P(ξ0)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))eq\f(4,7)，P(ξ1)1－P(ξ0)1－eq\f(4,7)eq\f(3,7).故ξ的分布列為ξ01Peq\f(4,7)eq\f(3,7)【變式3】（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的口袋中任取個(gè)球，用表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．題型07兩個(gè)相關(guān)離散型隨機(jī)變量的分布列【典例7】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【變式1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【變式3】已知X的分布列如下表：X12345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,12)試求：(1)|2X－3|的分布列；(2)X2－1的分布列．一、單選題1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．高速公路上某收費(fèi)站在一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)C．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間D．測(cè)量某零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)袋中有4個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，則隨機(jī)變量可能為（

）A．所取球的個(gè)數(shù)B．其中含紅球的個(gè)數(shù)C．所取白球與紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)3．（23-24高二下·黑龍江綏化·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在一次比賽中，需回答三個(gè)問(wèn)題，比賽規(guī)定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24高二下·浙江·期中）隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列246則（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·期末）隨機(jī)變量的分布列如下：其中，則等于（

）01A． B． C． D．7．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·浙江臺(tái)州·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）水果籃中有8個(gè)水果，其中有2個(gè)是石榴，現(xiàn)從水果籃中隨機(jī)地抽取3個(gè)，那么概率是的事件為（

）A．恰有1個(gè)不是石榴 B．3個(gè)全不是石榴C．恰有2個(gè)石榴 D．至少2個(gè)不是石榴10．（23-24高二下·廣西河池·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表：-1012若，則（

）A． B． C． D．11．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列為，其中是常數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（23-24高二下·安徽安慶·期中）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為.ξ123P13．（23-24高二下·江蘇無(wú)錫·期中）若隨機(jī)變量的分布列為01230.10.20.20.30.10.1則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）某旅游品生產(chǎn)廠家要對(duì)生產(chǎn)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，后續(xù)進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)化．產(chǎn)品分為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)，設(shè)其級(jí)別為隨機(jī)變量，且優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)的值為1、2、3、4，其中優(yōu)秀產(chǎn)品的數(shù)量是良好產(chǎn)品的數(shù)量的兩倍，合格產(chǎn)品的數(shù)量是良好產(chǎn)品的數(shù)量的一半，不合格產(chǎn)品的數(shù)量與合格產(chǎn)品的數(shù)量相等，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量，則．四、解答題15．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求隨機(jī)變量的分布列．16．（23-24高二下·山東棗莊·期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，1個(gè)白球，從中任意取出2個(gè)球，然后再放入1個(gè)紅球和1個(gè)白球．(1)求取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2的概率；(2)設(shè)取球放球結(jié)束后袋子里紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列．17．（2024·寧夏銀川·二模）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為70%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率;(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元)，求X的分布列．18．（23-24高二下·河南·期中）在一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)淺色球，其中一個(gè)球的標(biāo)號(hào)為1，另一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)深色球，其中兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)為2，3.(1)若在兩個(gè)箱子中各抽取兩個(gè)球，求抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率;(2)若在兩個(gè)箱子中共隨機(jī)抽取四個(gè)球，記其中淺色球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.19．（23-24高二下·北京大興·期末）某同學(xué)參加闖關(guān)游戲，需要回答三個(gè)問(wèn)題，其中前兩個(gè)問(wèn)題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，回答不正確得分．已知這位同學(xué)回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，若回答這三個(gè)問(wèn)題的總分不低于10分就算闖關(guān)成功．(1)求至少回答正確一個(gè)問(wèn)題的概率；(2)求這位同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列．第02講隨機(jī)變量及其分布列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解隨機(jī)現(xiàn)象以及隨機(jī)變量的概念；2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的分布列．1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義，會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．2.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念與性質(zhì).3.會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.4.理解兩點(diǎn)分布，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)01隨機(jī)變量1．定義：一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對(duì)于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對(duì)應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值，就稱X為隨機(jī)變量．2．表示：隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ…表示．【解讀】在引入了隨機(jī)變量之后，可以利用隨機(jī)變量來(lái)表示事件．一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)，那么Xa，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當(dāng)a≠b時(shí)，事件Xa與Xb互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對(duì)立，因此P(X≤a)＋P(X>a)1.在用隨機(jī)變量表示事件及事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間．【即學(xué)即練1】(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè)B．在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量D．在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)隨機(jī)變量，它有6個(gè)取值【答案】ABCD【解析】A.因?yàn)殡S機(jī)變量的每一個(gè)取值，均代表一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有有限個(gè)，試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有無(wú)限個(gè)．B.因?yàn)閿S一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來(lái)描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ，ξ的取值是0，1.C.因?yàn)橛呻S機(jī)變量的定義可知，該說(shuō)法正確．D.因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確并且不只一個(gè)，只不過(guò)在試驗(yàn)之前不能確定試驗(yàn)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)，故該說(shuō)法正確．知識(shí)點(diǎn)02離散型隨機(jī)變量1．定義：取值為有限個(gè)或可以一一列舉出來(lái)的隨機(jī)變量．【解讀】（1）離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，例如取值為1，2，…，n；也可以是無(wú)限個(gè)，如取值為1，2，…，n，…（2）離散型隨機(jī)變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③試驗(yàn)之前不能確定取何值；=4\*GB3④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．連續(xù)型隨機(jī)變量：與離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的是連續(xù)型隨機(jī)變量，一般來(lái)說(shuō)，連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值.【即學(xué)即練2】(多選)下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的是()A．某賓館每天入住的旅客數(shù)量是XB．某人在車站等出租車的時(shí)間C．一個(gè)沿直線yx進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量D．某網(wǎng)站未來(lái)1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量【答案】AD【解析】對(duì)于A，隨機(jī)變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于B，無(wú)法按一定次序一一列出；對(duì)于C，一個(gè)沿直線yx進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是隨機(jī)變量，但所有可能取值在直線上連續(xù)，故不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于D，某網(wǎng)站未來(lái)1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X為自然數(shù)，故X是離散型隨機(jī)變量．知識(shí)點(diǎn)03隨機(jī)變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則YaX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量．由于Xt的充要條件是Yat＋b，因此P(Xt)P(Yat＋b).知識(shí)點(diǎn)04離散型隨機(jī)變量的分布列1．定義：一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1，2，…，n}，概率P(Xxk)pk都是已知的，則稱隨機(jī)變量X的概率分布是已知的．離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列．Xx1x2…xnPp1p2…pn2．分布列的圖形直觀表示：【解讀】(1)離散型隨機(jī)變量的分布列類似于函數(shù)，也有三種表示形式，即解析式、表格和圖象，但離散型隨機(jī)變量的分布列多是表格表示；(2)由離散型隨機(jī)變量的分布列能一目了然地看出隨機(jī)變量X的取值范圍及取這些值的概率，可以全面了解隨機(jī)變量X在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的概率分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的基礎(chǔ)．3．性質(zhì)：(1)pi≥0，i1，2，…，n(2)p1＋p2＋…＋pn1【解讀】(1)pi表示的是事件Xxi發(fā)生的概率，因此每一個(gè)pi都是非負(fù)數(shù)；(2)因?yàn)榉植剂薪o出了隨機(jī)變量能取的每一個(gè)值，而且隨機(jī)變量取不同的值時(shí)的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn應(yīng)該等于1；另一方面，由此可以得出隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．【即學(xué)即練3】下列表中能成為隨機(jī)變量X的分布列的是()【答案】D【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負(fù)且和為1.知識(shí)點(diǎn)05兩點(diǎn)分布定義：一般地，如果隨機(jī)變量的分布列能寫成如下形式(其中0<p<1)：W10Pp1－p則稱這個(gè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(或0－1分布).【解讀】(1)兩點(diǎn)分布中，隨機(jī)試驗(yàn)X的取值只有兩個(gè)可能性：0或1，且其概率之和為1；(2)由于一個(gè)所有可能結(jié)果只有兩種的隨機(jī)試驗(yàn)，通常稱為伯努利試驗(yàn)，所以兩點(diǎn)分布也常稱為伯努利分布，兩點(diǎn)分布中的p也常被稱為成功概率．【即學(xué)即練4】下列問(wèn)題中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量B．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量C．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中取1個(gè)球，令隨機(jī)變量Xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1取出白球，,0取出紅球))D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量【答案】A【解析】選項(xiàng)A中隨機(jī)變量X的取值有6個(gè)，不服從兩點(diǎn)分布．題型01隨機(jī)變量的概念【典例1】判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．(1)北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中2023年5月1日的旅客數(shù)量；(2)2023年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2023年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．【解析】(1)旅客人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(3)動(dòng)車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(4)球的體積為1000cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量．【變式1】下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰時(shí)的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之差D．某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)【答案】C【解析】B項(xiàng)中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定值．【變式2】10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】D【解析】A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B，D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機(jī)變量．題型02離散型隨機(jī)變量的判定【典例2】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某食堂在中午半小時(shí)內(nèi)進(jìn)的人數(shù)；

②某元件的測(cè)量誤差；③小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁(yè)的時(shí)間；

④高一2班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】A【解析】對(duì)于①，某食堂在中午半小時(shí)內(nèi)進(jìn)的人數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，某元件的測(cè)量誤差不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁(yè)的時(shí)間不能一一列舉出來(lái)，故③不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，高一2班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故④是離散型隨機(jī)變量；.【變式1】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．．【變式2】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）給出下列四個(gè)命題正確的是（

）A．某次數(shù)學(xué)期中考試前，其中一個(gè)考場(chǎng)30名考生中做對(duì)選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量B．黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量C．某體育館共有6個(gè)出口，散場(chǎng)后從某一出口退場(chǎng)的人數(shù)是隨機(jī)變量D．方程根的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量【答案】ABC【解析】選項(xiàng)ABC對(duì)應(yīng)的量都是隨機(jī)的實(shí)數(shù)，故正確；選項(xiàng)D中方程的根有2個(gè)是確定的，不是隨機(jī)變量．BC.【變式3】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）（多選）下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)B．某林場(chǎng)的樹木最高達(dá)30m，則此林場(chǎng)中樹木的高度C．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差D．某高中每年參加高考的人數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于A，從10個(gè)球中取3個(gè)球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個(gè)白球；2個(gè)白球和1個(gè)黑球；1個(gè)白球和2個(gè)黑球；3個(gè)黑球，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義；對(duì)于B，林場(chǎng)樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取（0，30]內(nèi)的一切值，是連續(xù)型隨機(jī)變量；對(duì)于C，實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出，是連續(xù)型隨機(jī)變量；對(duì)于D，每年參加高考的人數(shù)可一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義．D題型03對(duì)離散型隨機(jī)變量的理解【典例3】拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為ξ，那么ξ4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是()A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B．兩顆都是2點(diǎn)C．兩顆都是4點(diǎn)D．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)【答案】A【解析】拋擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5，6，而ξ表示拋擲兩顆骰子所得到的點(diǎn)數(shù)之和，ξ41＋33＋12＋2，所以ξ4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是一顆是1點(diǎn)、另一顆是3點(diǎn)或者兩顆都是2點(diǎn)，即若將兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，那么ξ4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是(1，3)，(3，1)，(2，2).【變式1】某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則{ξ5}表示的試驗(yàn)結(jié)果是()A．第5次擊中目標(biāo)B．第5次未擊中目標(biāo)C．前4次均未擊中目標(biāo)D．第4次擊中目標(biāo)【答案】D【解析】{ξ5}表示前4次均未擊中，而第5次可能擊中，也可能未擊中，故選C.【變式2】拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚擲出的點(diǎn)數(shù)之差，則X的所有可能的取值為()A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z【答案】A【解析】?jī)纱螖S出的點(diǎn)數(shù)均可能為1～6的整數(shù)，所以X∈[－5，5](X∈Z).5．袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)黑球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)球，若取到黑球，則另?yè)Q一個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?，若抽取的次?shù)為X，則表示“放回5個(gè)紅球”的事件為()A．X4 B．X5C．X6 D．X≤4【答案】D【解析】第一次取到黑球，則放回1個(gè)紅球；第二次取到黑球，則放回2個(gè)紅球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗(yàn)終止，故X6.【變式3】在一次比賽中，需回答三個(gè)問(wèn)題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得2分，回答不正確倒扣1分，記選手甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分為ξ，則ξ的所有可能取值構(gòu)成的集合是________．【答案】{6，3，0，－3}【解析】三個(gè)問(wèn)題回答完，其回答可能結(jié)果有：三個(gè)全對(duì)，兩對(duì)一錯(cuò)，兩錯(cuò)一對(duì)，三個(gè)全錯(cuò)，故得分可能情況是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值構(gòu)成的集合為{6，3，0，－3}題型04分布列的性質(zhì)的應(yīng)用【典例4】（23-24高二下·河北石家莊·期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（

）X12PA． B． C． D．【答案】C【分析】由分布列的性質(zhì)可得，求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,即，解得.又，解得，故.故選:B.【變式1】（23-24高二下·吉林·期末）下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】直接根據(jù)分布列的概率和為1列方程計(jì)算即可.【詳解】由已知得，解得或（舍去）..【變式2】（23-24高二下·陜西西安·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)概率和為1列式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，，則有，解可得..【變式3】（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）隨機(jī)變量的分布列如下（為常數(shù)）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【答案】D【分析】根據(jù)給定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，解得，所以.【變式4】（23-24高二下·貴州遵義·期末）某一射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：45678910P0.020.050.060.08mm0.21則（

）．A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21【答案】C【分析】根據(jù)分布列中的概率和為1可得的方程，求得的值，進(jìn)而結(jié)合對(duì)立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，..題型05求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例5】（23-24高二下·重慶渝北·期中）已知袋中有個(gè)不同的小球，紅球、黃球、藍(lán)球各個(gè)（除顏色外完全相同），現(xiàn)從中任取個(gè)球（1）求取出的球中紅球數(shù)多于黃球數(shù)的概率；（2）設(shè)表示取出的個(gè)球中紅色球的個(gè)數(shù)，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）記取出的球中紅球數(shù)多于黃球數(shù)為事件，若取出一個(gè)紅球則只需另取出兩個(gè)籃球，有種取法；若取出兩個(gè)紅球則從剩下的四個(gè)球中再取出一個(gè)球即可，故有種取法；所以.（2）依題意的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：【變式1】（23-24高二下·重慶·月考）某考試分為筆試和面試兩個(gè)部分，每個(gè)部分的成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其中A等級(jí)得3分、B等級(jí)得2分、C等級(jí)得1分.甲在筆試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，在面試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，甲筆試的結(jié)果和面試的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級(jí)的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）甲在筆試和面試中恰有一次獲得等級(jí)的概率為.（2）由題意得的可能取值為2，3，4，5，6，，，，，，則的分布列為23456所以.【變式2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，且每次輸入問(wèn)題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取個(gè)作答，已知在這個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的個(gè).（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰(zhàn)中，求小張答對(duì)的題數(shù)的分布列；（2）給ChatGPT輸入一個(gè)問(wèn)題，求該問(wèn)題能被ChatGPT回答正確的概率；【答案】（1）分布列見解析；（2）【解析】（1）由題知的可能取值為，，，所以小張答對(duì)的題數(shù)的分布列為（2）設(shè)事件表示“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問(wèn)題能被ChatGPT回答正確”，由題知，，，，則.【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動(dòng)中就被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；（3）求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）分布列見解析；（3）1，理由見解析【解析】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在第一批次支教活動(dòng)中就被抽選到的概率：．（2）表示第一次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：0120.10.60.3（3）設(shè)表示第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，可能的取值有，則有：因?yàn)?，故第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是1人．題型06兩點(diǎn)分布【典例6】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則..【變式1】（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球?3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)【答案】CCD【解析】由題意可知B，C，D中的隨機(jī)事件只有兩種結(jié)果，隨機(jī)變量均服從兩點(diǎn)分布，而拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)的取值為1，2，3，4，5，6，所以A中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布.故選:BCD【變式2】一個(gè)袋子中裝有7個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個(gè)，編號(hào)為1，2，3；黑球3個(gè)，編號(hào)為1，2，3；白球1個(gè)，編號(hào)為1.從袋子中隨機(jī)取出3個(gè)球，記其中白球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．解析：由題意知，ξ的取值范圍是{0，1}，故ξ服從兩點(diǎn)分布．且P(ξ0)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))eq\f(4,7)，P(ξ1)1－P(ξ0)1－eq\f(4,7)eq\f(3,7).故ξ的分布列為ξ01Peq\f(4,7)eq\f(3,7)【變式3】（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的口袋中任取個(gè)球，用表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．【答案】分布列見解析【解析】由題意知，，故隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：01題型07兩個(gè)相關(guān)離散型隨機(jī)變量的分布列【典例7】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【分析】先由分布列的性質(zhì)求出m的值，然后求出X取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的2X＋1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－1))的值，再分別把2X＋1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－1))取相同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率相加，列出分布列．【解析】由分布列的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m1，解得m0.3.由題意列表如下X012342X＋113579|X－1|10123P0.20.10.10.30.3(1)易得2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)易得|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3【變式1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，即，解得，又因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以..【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，所以解得，所以離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列為：Y-1135P所以..【變式3】已知X的分布列如下表：X12345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,12)試求：(1)|2X－3|的分布列；(2)X2－1的分布列．【解析】由分布列的性質(zhì)知eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)1，解得meq\f(1,6).由題意列表如下X12345|2X－3|11357X2－10381524Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)(1)易得|2X－3|的分布列為|2X－3|1357Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)(2)易得X2－1的分布列為X2－10381524Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)一、單選題1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．高速公路上某收費(fèi)站在一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)C．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間D．測(cè)量某零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義直接求解.【詳解】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，不是離散型隨機(jī)變量；一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量；等出租車的時(shí)間是隨機(jī)變量，但無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；測(cè)量誤差不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量．．2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)袋中有4個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，則隨機(jī)變量可能為（

）A．所取球的個(gè)數(shù)B．其中含紅球的個(gè)數(shù)C．所取白球與紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：所取球的個(gè)數(shù)為2個(gè)，是定值，故不是隨機(jī)變量，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：從中任取2個(gè)其中含紅球的個(gè)數(shù)為是隨機(jī)變量，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：所取白球與紅球的總數(shù)為2個(gè)，是定值，故不是隨機(jī)變量，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：袋中球的總數(shù)為7個(gè)，是定值，故不是隨機(jī)變量，故選項(xiàng)D不正確；.3．（23-24高二下·黑龍江綏化·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分布列性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，解得．故選:D.4．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在一次比賽中，需回答三個(gè)問(wèn)題，比賽規(guī)定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】列出的可能取值即可判斷.【詳解】依題意每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的可能取值為，，，共種情況.5．（23-24高二下·浙江·期中）隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列246則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列得到等差中項(xiàng)，由分布列知概率之和為，從而解出的值，得到.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，由分布列知，所以，解得，所以，.6．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·期末）隨機(jī)變量的分布列如下：其中，則等于（

）01A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列性質(zhì)結(jié)合已知條件求得，再求解概率；【詳解】根據(jù)分布列可得，解得，則..7．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特征計(jì)算即可.【詳解】由題意得，則．故選：.8．（23-24高二下·浙江臺(tái)州·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列結(jié)合互斥事件概率和公式計(jì)算即可.【詳解】..二、多選題9．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）水果籃中有8個(gè)水果，其中有2個(gè)是石榴，現(xiàn)從水果籃中隨機(jī)地抽取3個(gè)，那么概率是的事件為（

）A．恰有1個(gè)不是石榴 B．3個(gè)全不是石榴C．恰有2個(gè)石榴 D．至少2個(gè)不是石榴【答案】AC【分析】利用組合公式計(jì)算總事件數(shù)，進(jìn)一步進(jìn)算出恰有0個(gè)石榴，恰有1個(gè)石榴，恰有2個(gè)石榴的方法數(shù)，再利用古典概型進(jìn)行計(jì)算概率．【詳解】水果籃中隨機(jī)地抽取3個(gè)的總事件數(shù)為，因?yàn)槠渲杏?個(gè)石榴，所以可能出現(xiàn)的事件有：恰有0個(gè)石榴，恰有1個(gè)石榴，恰有2個(gè)石榴，取法數(shù)分別為；所以恰有1個(gè)不是石榴的概率為，3個(gè)全不是石榴的概率為，恰有2個(gè)石榴的概率為，至少2個(gè)不是石榴的概率為，C．10．（23-24高二下·廣西河池·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表：-1012若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】依題意，，所以.D11．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列為，其中是常數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，列出方程求得，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，則有，解得，則，．BC.三、填空題12．（23-24高二下·安徽安慶·期中）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為.ξ123P【答案】或【分析】由求解.【詳解】解：由題可得，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故答案為：或.13．（23-24高二下·江蘇無(wú)錫·期中）若隨機(jī)變量的分布列為01230.10.20.20.30.10.1則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定的分布列，求出即可求出的取值范圍.【詳解】由分布列知，，，而，所以.故答案為：14．（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）某旅游品生產(chǎn)廠家要對(duì)生產(chǎn)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，后續(xù)進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)化．產(chǎn)品分為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)，設(shè)其級(jí)別為隨機(jī)變量，且優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)的值為1、2、3、4，其中優(yōu)秀產(chǎn)品的數(shù)量是良好產(chǎn)品的數(shù)量的兩倍，合格產(chǎn)品的數(shù)量是良好產(chǎn)品的數(shù)量的一半，不合格產(chǎn)品的數(shù)量與合格產(chǎn)品的數(shù)量相等，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量，則．【答案】0.5/【分析】根據(jù)取得不同值概率之間的關(guān)系式和概率之和為一的性質(zhì)，可