高中數(shù)學(人教B版)選擇性必修二同步講義第3章第三章排列、組合與二項式定理章末題型大總結(學生版+解析)

第三章排列、組合與二項式定理章末題型大總結題型01兩個計數(shù)原理的應用解題錦囊解題錦囊1.使用兩個計數(shù)原理解決問題的思路(1)選擇使用兩個計數(shù)原理解決問題時,要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式,確定是分類還是分步,要抓住兩個原理的本質.(2)分類加法計數(shù)原理的關鍵是“類”,分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準,然后在這個標準下進行分類;其次分類時要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.(3)分步乘法計數(shù)原理的關鍵是“步”,分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準;其次,分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這幾個步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計數(shù)原理.2.使用兩個原理解決問題時應注意的問題對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理,又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.【典例1】（24-25高三上·廣東汕頭·期中）一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c．三位數(shù)中，當且僅當有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”共個．【變式1】（23-24高二下·陜西西安·期中）5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（

）A．9 B．20 C． D．【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）汽車制造的專業(yè)化流程是：設計效果圖→制作油泥模型→生產(chǎn)樣車→對樣車檢驗→投入生產(chǎn).已知A市、B市、C市分別有3個、10個、7個能設計效果圖的設計院，A市有2個能制作油泥模型的制作中心，B市有6個能生產(chǎn)樣車的生產(chǎn)車間，C市有1處能對樣車檢驗的檢驗中心，A市、B市、C市、D市、E市分別有8，8，6，3，2家能實際投入生產(chǎn)的生產(chǎn)廠家，從設計到實際生產(chǎn)，有種選擇方法．【變式4】（24-25高三上·廣東·階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）題型02排列、組合數(shù)的計算問題解題錦囊解題錦囊應用排列、組合數(shù)公式時應注意的三個方面(1)準確展開．應用排列數(shù)、組合數(shù)公式展開時要注意展開式的項數(shù)要準確；(2)合理約分．若運算式是分式形式，則要先約分后計算；(3)合理組合．運算時要結合數(shù)據(jù)特點，應用乘法的交換律、結合律，進行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運算的速度和準確性．【典例2】（23-24高二下·貴州遵義·期中）（多選）下列選項中正確的有（

）A．B．C．D．【變式1】（23-24高二下·山東棗莊·期中）下列公式錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值；（2）若等式不成立，求正整數(shù)的值.【變式3】（23-24高二下·廣東清遠·期中）不等式的解集為.題型03隊列排序問題解題錦囊解題錦囊1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個整體內部各元素間的順序。2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進行“插空”。3、解有限制元素（位置）的排列問題的方法解有限制元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當以元素為主或以位置為主。定序問題定序通常指在排列組合問題中，某些元素的順序是固定的，而其他元素則可以自由排列。解決這類問題的基本方法是使用“除法”原則，即將所有元素一起排列，然后除以那些順序固定元素的全排列數(shù)。角度1限制元素問題【典例3】（23-24高二下·江蘇南通·期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，學生的節(jié)目有6個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．1580種 D．240種【變式2】（23-24高二下·北京豐臺·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次（無并列情況）．甲、乙、丙去詢問成績．老師對甲說：“你不是最差的．”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍．”對丙說：“你不是第2名．”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．52 D．54【變式3】（23-24高二下·山東濟寧·期中）某中學元旦晚會共由7個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.（用數(shù)字作答）角度2相鄰與不相鄰問題【典例4】（23-24高二下·廣西柳州·期中）某中學運動會期間，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相鄰，甲和丙不相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．180種 B．190種 C．192種 D．240種【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（

）種.A．120 B．240 C．480 D．720【變式2】（23-24高二下·云南大理·期中）在學校組織的一次活動結束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相鄰，則不同的站法有（

）A．120種 B．72種 C．48種 D．24種【變式3】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值.它具有紅黑兩種陣營，將?車?馬?炮?兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法不正確的是（

）A．共有120種排列方式B．若兩個“將”相鄰，則有24種排列方式C．若兩個“將”不相鄰，則有72種排列方式D．若同色棋子不相鄰，則有12種排列方式角度3定序問題【典例5】7人站成一排．（1）甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？（2）甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方法？【變式1】（23-24高二下·湖北·期中）14名同學合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．10 B．20 C．24 D．30題型04數(shù)字排列問題解題錦囊解題錦囊數(shù)字排列問題的常見類型及解決原則：（1）常見的數(shù)字排列問題：①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”；②在某一定范圍內的數(shù)的問題；③各位數(shù)字和為某一定值問題；④各位數(shù)字之間滿足某種關系問題等.（2）解決原則①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位【典例6】用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．【變式1】（23-24高二下·天津南開·期中）用這個數(shù)字，可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)（

）A．720 B．648 C．320 D．328【變式2】（23-24高二下·江蘇連云港·月考）從0，1，2，3，4五個數(shù)字中選出3個數(shù)字組成一個三位數(shù)．（1）可以組成多少個三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位偶數(shù)？【變式3】（23-24高二下·廣東東莞·月考）從1到7這7個數(shù)字中取2個偶數(shù)、3個奇數(shù)，排成一個無重復數(shù)字的五位數(shù).求：（1）共有多少個五位數(shù)？（2）其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個？（3）其中兩個偶數(shù)不相鄰的有多少個？題型05涂色問題解題錦囊解題錦囊涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可?！镜淅?】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）如圖，用四種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（四種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．72種 B．96種 C．170種 D．168種【變式1】春節(jié)期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種【變式2】（23-24高二下·江蘇連云港·月考）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（

）種．A．480 B．800 C．380 D．770【變式3】（23-24高二下·重慶·期中）給正六邊形的六條邊涂色，現(xiàn)有3種不同的顏色可以選擇，要求相鄰兩條邊顏色不同，則不同的涂法有（

）種A．99 B．96 C．66 D．80【變式4】（23-24高二下·山東泰安·期中）現(xiàn)有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個頂點，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個頂點掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有種.（用數(shù)字作答）題型06分組分配問題解題錦囊解題錦囊1、解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；2、分組方法：=1\*GB3①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；=2\*GB3②部分均勻分組，有組元素個數(shù)相同，則分組后除以；=3\*GB3③完全非均勻分組，只要分組即可；3、分配：=1\*GB3①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；=2\*GB3②不同元素的分配問題，分步乘法計數(shù)原理，先分組后分配；=3\*GB3③有限制條件的分配問題，采用分類求解；【典例8】（24-25高三上·重慶·開學考試）第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有（

）種A．108 B．114 C．170 D．240【變式1】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）第33屆夏季奧運會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A．170種B．300種C．720種D．1008種【變式2】（23-24高二下·上?！て谥校?男4女中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館1人，且至少有1位男生入選，不同的安排方法有種.【變式3】（24-25高三上·山東煙臺·開學考試）安排4名大學生到兩家公司實習，每名大學生只去一家公司，每家公司至少安排1名大學生，則大學生甲?乙到同一家公司實習的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二下·福建泉州·月考）2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人．為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為．【變式5】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）某校將12名優(yōu)秀團員名額分配給4個不同的班級，要求每個班級至少一個，則不同的分配方案有種．題型07求二項展開式的特定項解題錦囊解題錦囊二項展開式中的特定項，是指展開式中的某一項，如第n項、常數(shù)項、有理項等，求解二項展開式中的特定項的關鍵點如下：（1）求通項，利用(a＋b)n的展開式的通項公式Tr＋1Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r0，1，2，…，n)求通項．（2）列方程(組)或不等式(組)，利用二項展開式的通項及特定項的特征，列出方程(組)或不等式(組)．（3）求特定項，先由方程(組)或不等式(組)求得相關參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項．【典例9】（23-24高二下·上海黃浦·期中）在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有項．【變式1】（23-24高二下·浙江麗水·期中）的展開式中常數(shù)項是（

）A．－225 B．－252 C．252 D．225【變式2】（2024·湖南長沙·長郡中學?？家荒＃┑恼归_式中含項的系數(shù)為（）A．20B．-20C．30D．-30【變式3】（23-24高二下·四川內江·期中）的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C． D．題型08三項式展開問題解題錦囊解題錦囊這類問題主要有以下解題方法：（1）通過變形先把三項式轉化為二項式，再用二項式定理求解．（2）兩次利用二項式定理的通項公式求解．（3）由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量．【典例10】（23-24高二下·重慶巴南·期中）的展開式中常數(shù)項為（

）A．544 B．559 C．495 D．79【變式1】23-24高二下·江蘇無錫·期中）展開式中的系數(shù)為（

）A．80 B． C．30 D．【變式2】（23-24高二下·廣東茂名·期中）的展開式中的系數(shù)為．【變式3】（23-24高二下·河南·月考）在的展開式中，項的系數(shù)是．題型09二項式系數(shù)與系數(shù)最值問題解題錦囊解題錦囊1、二項式系數(shù)先增后減中間項最大（1）如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；（2）如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．【典例11】（23-24高二下·重慶·期中）（多選）在的展開式中，含項的系數(shù)為，則下列選項正確的有（

）A．B．展開式的各項系數(shù)和為0C．展開式中系數(shù)最大項是第6項D．展開式中系數(shù)最大項是第7項【變式1】若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）A．9B．10C．11D．12【變式2】的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.【變式3】（23-24高二下·福建福州·期中）在的展開式中，（1）求展開式中所有項的系數(shù)和；（2）求二項式系數(shù)最大的項；（3）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?題型10二項式系數(shù)和問題解題錦囊解題錦囊系數(shù)和問題常用“賦值法”求解：賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數(shù)和的方法．求解有關系數(shù)和題的關鍵點如下：①賦值，觀察已知等式與所求式子的結構特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關方程，解方程，可得參數(shù)值．③求值，根據(jù)題意，得出指定項的系數(shù)和．【典例12】（23-24高二下·貴州·階段練習）在的展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．二項式系數(shù)之和為64 B．各項系數(shù)之和為C．二項式系數(shù)最大的項為 D．常數(shù)項為【變式1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）設，則.【變式2】（23-24高二下·四川內江·期中）若，則.【變式3】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設.（1）求的值；（2）求的值.【變式4】（23-24高二下·河南·期中）已知，則（

）A．722 B．729 C．-7 D．-729【變式5】（23-24高二下·安徽滁州·期末）若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，各項系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)是（

）A．32 B．64 C．80 D．180題型11整除和余數(shù)問題【典例12】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）若，且能被17整除，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．15 D．16【變式1】已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【變式2】中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設，，為整數(shù)，若和同時除以所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024題型13楊輝三角及應用解題錦囊解題錦囊1、在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；2、在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)字之和.由此可知，當二項式次數(shù)不大時，可借助“楊輝三角”直接寫出各項的二項式系數(shù).【典例15】（23-24高二下·云南·期中）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結論錯誤的是（

）A．B．第6行?第7行?第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)C．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為D．第2020行的第1010個數(shù)最大【變式1】（23-24高二下·湖北·期中）如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構成一個數(shù)列：，則該數(shù)列前10項的和為（

）A．66 B．120 C．165 D．220【變式2】如圖，在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按箭頭所指的數(shù)依次構成一個數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，，則此數(shù)列的前項的和為（）A．680B．679C．816D．815【變式3】“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論錯誤的是（）A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為第三章排列、組合與二項式定理章末題型大總結題型01兩個計數(shù)原理的應用解題錦囊解題錦囊1.使用兩個計數(shù)原理解決問題的思路(1)選擇使用兩個計數(shù)原理解決問題時,要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式,確定是分類還是分步,要抓住兩個原理的本質.(2)分類加法計數(shù)原理的關鍵是“類”,分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準,然后在這個標準下進行分類;其次分類時要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.(3)分步乘法計數(shù)原理的關鍵是“步”,分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準;其次,分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這幾個步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計數(shù)原理.2.使用兩個原理解決問題時應注意的問題對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理,又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.【典例1】3．（24-25高三上·廣東汕頭·期中）一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c．三位數(shù)中，當且僅當有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”共個．【答案】【分析】利用“有緣數(shù)”的定義，利用分類討論的思想，求出所有的三位數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意知在中，能組成有緣數(shù)的組合有；；；；；由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，“有緣數(shù)”共6個；同理：由1，3，4組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個；由1，4，5組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個；由2，3，5組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個；所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的個數(shù)為：個．故答案為：．【變式1】（23-24高二下·陜西西安·期中）5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（

）A．9 B．20 C． D．【答案】A【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可計算．【詳解】因為每名同學都有4種選擇，所以由分步乘法計數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：．.【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】利用分步乘法計數(shù)原理可得.【詳解】第一步，從，，，，，，這個數(shù)中任選個共有種方法，第二步，選出的個數(shù)中，最小的為，從剩下的4個數(shù)中選出個分給，由題意可知，選出后就確定了，共有種方法，故滿足條件的“五位凹數(shù)”個，【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）汽車制造的專業(yè)化流程是：設計效果圖→制作油泥模型→生產(chǎn)樣車→對樣車檢驗→投入生產(chǎn).已知A市、B市、C市分別有3個、10個、7個能設計效果圖的設計院，A市有2個能制作油泥模型的制作中心，B市有6個能生產(chǎn)樣車的生產(chǎn)車間，C市有1處能對樣車檢驗的檢驗中心，A市、B市、C市、D市、E市分別有8，8，6，3，2家能實際投入生產(chǎn)的生產(chǎn)廠家，從設計到實際生產(chǎn)，有種選擇方法．【答案】6480【分析】利用分步計數(shù)原理可求得總的方法數(shù).【詳解】共分五步：第一步，設計效果圖，共計種方法；第二步，制作油泥模型，有2種方法；第三步，生產(chǎn)樣車，有6種方法；第四步，對樣車檢驗，有1種方法；第五步，投入生產(chǎn)，共計種方法．所以從設計到實際生產(chǎn)有種選擇方法．【變式4】（24-25高三上·廣東·階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】70【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理及組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】依題意，兩種飲料都至少買1種的買法種數(shù)為.故答案為：70題型02排列數(shù)與組合數(shù)的計算問題解題錦囊解題錦囊應用排列、組合數(shù)公式時應注意的三個方面(1)準確展開．應用排列數(shù)、組合數(shù)公式展開時要注意展開式的項數(shù)要準確；(2)合理約分．若運算式是分式形式，則要先約分后計算；(3)合理組合．運算時要結合數(shù)據(jù)特點，應用乘法的交換律、結合律，進行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運算的速度和準確性．【典例2】（23-24高二下·貴州遵義·期中）（多選）下列選項中正確的有（

）A．B．C．D．【答案】CCD【解析】A選項，因為，所以A錯誤；B選項，因為，所以，故B正確；C選項，因為，所以C正確；D選項，因為，所以，故D正確．CD【變式1】（23-24高二下·山東棗莊·期中）下列公式錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：因為，，，所以，即，故C正確；對于D：，，所以，故D錯誤.【變式2】（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值；（2）若等式不成立，求正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；（2）利用給定式子建立方程，求解即可.【解析】（1）原式（2）由展開得，因，故可化簡得：，解得或（舍），故.【變式3】（23-24高二下·廣東清遠·期中）不等式的解集為.【答案】【解析】由題意得，解得且，又，即，即，解得，綜上可知，故解集為.題型03隊列排序問題解題錦囊解題錦囊1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個整體內部各元素間的順序。2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進行“插空”。3、解有限制元素（位置）的排列問題的方法解有限制元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當以元素為主或以位置為主。定序問題定序通常指在排列組合問題中，某些元素的順序是固定的，而其他元素則可以自由排列。解決這類問題的基本方法是使用“除法”原則，即將所有元素一起排列，然后除以那些順序固定元素的全排列數(shù)。角度1限制元素問題【典例3】（23-24高二下·江蘇南通·期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，學生的節(jié)目有6個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先排兩個學生節(jié)目在最前最后，在中間六個位置排剩下節(jié)目即可.【詳解】先排兩個學生節(jié)目在最前最后位置，然后排在中間六個位置排剩下節(jié)目，運用分步乘法原理，總排法數(shù)為.．【變式1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．1580種 D．240種【答案】D【分析】先應用捆綁解決相鄰，再分海鵬站位置分類，最后應用分步解決問題.【詳解】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有種排法；第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.

.【變式2】（23-24高二下·北京豐臺·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次（無并列情況）．甲、乙、丙去詢問成績．老師對甲說：“你不是最差的．”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍．”對丙說：“你不是第2名．”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．52 D．54【答案】C【分析】甲、乙不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3種情況；再排乙，也有3種情況；余下的問題是三個元素在三個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到結果，但丙不是第2名，以上所有結果還要排除丙是第2名的所有情況，最后間接法得解.【詳解】由題意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3種情況；再排乙，也有3種情況；余下3人有種排法，故共有種不同的情況，假如丙是第2名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況，由間接法得：滿足題意的，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為種，.【變式3】（23-24高二下·山東濟寧·期中）某中學元旦晚會共由7個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.（用數(shù)字作答）【答案】2180【解析】因為丙不能排在最后一位，則編排方案共有種，又因為甲、乙處于對稱位置，即節(jié)目甲排在乙的前面與節(jié)目乙排在甲的前面數(shù)量相等，所以該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.角度2相鄰與不相鄰問題【典例4】（23-24高二下·廣西柳州·期中）某中學運動會期間，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相鄰，甲和丙不相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．180種 B．190種 C．192種 D．240種【答案】D【解析】若甲位于兩端時，乙與之相鄰只有一個位置可選，丙與甲不相鄰有余下四個位置可選，故有種方法；若甲不位于兩端時，乙與之相鄰有兩個位置可選，丙與甲不相鄰有三個位置可選，故有種方法；綜上不同的排列方式有192種.【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（

）種.A．120 B．240 C．480 D．720【答案】C【分析】根據(jù)米一同學想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，將米、佳艷、劉西捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列求解.【詳解】解：因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列有種，又因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，【變式2】（23-24高二下·云南大理·期中）在學校組織的一次活動結束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相鄰，則不同的站法有（

）A．120種 B．72種 C．48種 D．24種【答案】C【解析】先排三名男生，共有種排法，此時三名男生會產(chǎn)生四個空位，則女生共有種，故共有種..【變式3】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值.它具有紅黑兩種陣營，將?車?馬?炮?兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法不正確的是（

）A．共有120種排列方式B．若兩個“將”相鄰，則有24種排列方式C．若兩個“將”不相鄰，則有72種排列方式D．若同色棋子不相鄰，則有12種排列方式【答案】C【分析】A選項，由全排列知識進行求解，B選項，相鄰問題進行捆綁，再由排列知識求出答案；C選項，不相鄰問題插空法進行求解；D選項，先將2個黑色的棋子進行全排列，再插空即可.【詳解】A選項，由排列知識可得共有種排列方式，A正確；B選項，兩個“將”捆綁，有種情況，再和剩余的4個棋子進行全排列，故共有種情況，B錯誤；C選項，兩個“將”不相鄰，先將剩余3個棋子進行全排列，共有4個空，再將兩個“將”插空，故共有種情況，C正確；D選項，將2個黑色的棋子進行全排列，共有3個空，再將3個紅色的棋子進行插空，則有種排列方式，D正確..角度3定序問題【典例5】7人站成一排．（1）甲必須在乙的前面（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？（2）甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰），則有多少不同的排列方法？【答案】（1）2520；（2）840【解析】（1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體排列種數(shù)的一半，故有（種）不同的排法．（2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的，故有（種）不同的排法．【變式1】（23-24高二下·湖北·期中）14名同學合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，從后排9人中抽2人調整到前排，有中不同的取法，將前排5人和后來兩人看成七個位置，把兩個人在七個位置中選兩個位置進行排列，完成調整，有中不同的排法，所以不同調整方法的總數(shù)是種..【變式2】某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．10 B．20 C．24 D．30【答案】A【解析】6位同學排成一排準備照相時，共有種排法，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則有種排法，故A，B，C錯誤..題型04數(shù)字排列問題解題錦囊解題錦囊數(shù)字排列問題的常見類型及解決原則：（1）常見的數(shù)字排列問題：①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”；②在某一定范圍內的數(shù)的問題；③各位數(shù)字和為某一定值問題；④各位數(shù)字之間滿足某種關系問題等.（2）解決原則①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位【典例6】用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．【分析】排數(shù)問題中，當個位數(shù)字是奇數(shù)時，則該數(shù)即為奇數(shù)，當個位數(shù)字為偶數(shù)時，該數(shù)即為偶數(shù)，注意0不能作首位．【詳解】(1)第一步，排個位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法；第二步，排十萬位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))288個六位奇數(shù)．(2)方法一：(直接法)十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類．第一類，當個位排0時，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))個；第二類，當個位不排0時，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))個．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))704(個).方法二：(排除法)0在十萬位和5在個位的排列都不對應符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))704(個).(3)分三種情況，具體如下：①當千位上排1，3時，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個．②當千位上排2時，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個．③當千位上排4時，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個；形如41××的有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個；形如43××的只有4310和4302這兩個數(shù)．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋2110(個).【變式1】（23-24高二下·天津南開·期中）用這個數(shù)字，可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)（

）A．720 B．648 C．320 D．328【答案】A【解析】若個位數(shù)字為，十位和百位的排法種數(shù)為；若個位數(shù)字不為，則確定個位數(shù)字有種方法，確定百位數(shù)字有種方法，確定十位數(shù)字有種方法，所以排法種數(shù)為.所以可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).【變式2】（23-24高二下·江蘇連云港·月考）從0，1，2，3，4五個數(shù)字中選出3個數(shù)字組成一個三位數(shù)．（1）可以組成多少個三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位偶數(shù)？【答案】（1）100；（2）48；（3）30【解析】（1）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有（個）．（2）三位數(shù)的首位不能為0，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二位可以排0，除首位排的數(shù)字共有4種方法，第三位除前兩位排的數(shù)字共有3種方法，因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有（個）．（3）偶數(shù)末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類：一類是末位數(shù)字是0，則有（種）排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有（種）排法．因此有（種）排法．即可以排成30個無重復數(shù)字的三位偶數(shù).【變式3】（23-24高二下·廣東東莞·月考）從1到7這7個數(shù)字中取2個偶數(shù)、3個奇數(shù)，排成一個無重復數(shù)字的五位數(shù).求：（1）共有多少個五位數(shù)？（2）其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個？（3）其中兩個偶數(shù)不相鄰的有多少個？【答案】（1）1440；（2）288；（3）864【解析】（1）依題意，從1到7這7個數(shù)字中取2個偶數(shù)、3個奇數(shù)，共有（種）情況，共有（個）五位數(shù)；（2）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，把選出的奇數(shù)也捆綁在一起，再全排列，故其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有（個）；（3）先排3個奇數(shù)，2個偶數(shù)插空，故其中兩個偶數(shù)不相鄰的共有（個）.題型05涂色問題解題錦囊解題錦囊涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可。【典例7】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）如圖，用四種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（四種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．72種 B．96種 C．170種 D．168種【答案】C【分析】按照分步、分類計數(shù)原理計算可得.【詳解】第一步：涂區(qū)域，有種方法；第二步：涂區(qū)域，有種方法；第三步：涂區(qū)域，有種方法；第四步（此前三步已經(jīng)用去三種顏色）：涂區(qū)域，分兩類：第一類，區(qū)域與同色，則區(qū)域涂第四種顏色；第二類，區(qū)域與不同色，則區(qū)域涂第四種顏色，此時區(qū)域就可以涂區(qū)域或區(qū)域或區(qū)域中的任意一種顏色，有種方法．所以，不同的涂色種數(shù)有..【變式1】春節(jié)期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種【答案】D【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，再運用分步計數(shù)和分類計數(shù)的方法從中央開始計數(shù)即可.【詳解】如圖，先在A中種植，有5種不同的選擇，再在B中種植，有4種不同的選擇，再在C中種植，有3種不同的選擇，再在D中種植，若D與B種植同一種花卉，則E有3種不同的選擇，若D與B種植不同花卉，則D有2種不同的選擇，E有2種不同的選擇，不同的布置方案有種；.【變式2】（23-24高二下·江蘇連云港·月考）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（

）種．A．480 B．800 C．380 D．770【答案】A【解析】首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理得，共有（種）涂色方法．.【變式3】（23-24高二下·重慶·期中）給正六邊形的六條邊涂色，現(xiàn)有3種不同的顏色可以選擇，要求相鄰兩條邊顏色不同，則不同的涂法有（

）種A．99 B．96 C．66 D．80【答案】D【分析】對三條邊所涂顏色的種數(shù)進行分類討論，確定另外三條邊所涂顏色的方法種數(shù)，利用分步乘法和分類加法計數(shù)原理可得結果.【詳解】第一類，三條邊用同一種顏色，先涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，共有方法數(shù)為種；第二類，三條邊用種顏色，由三條邊用種顏色，可得必有條邊涂同一種顏色，先涂有種方法，再涂，，有種方法，共有方法數(shù)為種；第三類三條邊用種顏色，先涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，共有方法數(shù)為種；由分類加法計數(shù)原理可得，共有方法數(shù)種．．【變式4】（23-24高二下·山東泰安·期中）現(xiàn)有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個頂點，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個頂點掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】首先給，兩個頂點掛彩燈，有種方法，再給頂點掛彩燈，有種方法，①若、掛同一種顏色的彩燈，則有種方法，最后掛點有種方法，故有種；②若、掛不同種顏色的彩燈，此時掛點有種方法，掛點有種方法，最后掛點有種方法，故有種；綜上可得一共有種不同的方法.題型06分組分配問題解題錦囊解題錦囊1、解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；2、分組方法：=1\*GB3①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；=2\*GB3②部分均勻分組，有組元素個數(shù)相同，則分組后除以；=3\*GB3③完全非均勻分組，只要分組即可；3、分配：=1\*GB3①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；=2\*GB3②不同元素的分配問題，分步乘法計數(shù)原理，先分組后分配；=3\*GB3③有限制條件的分配問題，采用分類求解；【典例8】（24-25高三上·重慶·開學考試）第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有（

）種A．108 B．114 C．170 D．240【答案】C【分析】把5名新教師分成3組，利用分組分配及排除法列式計算即得.【詳解】5名新教師按分組有種方法，按分組有種分法，因此5名新教師的安排方案有種，當甲乙在同一組時，甲乙可視為1個人，即相當于4名教師的安排方案，有種，所以所求不同的安排方案有（種）.【變式1】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）第33屆夏季奧運會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A．170種B．300種C．720種D．1008種【答案】A【解析】若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.【變式2】（23-24高二下·上?！て谥校?男4女中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館1人，且至少有1位男生入選，不同的安排方法有種.【答案】96【解析】若選一男兩女：種；若選兩男一女：種；所以一共種.【變式3】（24-25高三上·山東煙臺·開學考試）安排4名大學生到兩家公司實習，每名大學生只去一家公司，每家公司至少安排1名大學生，則大學生甲?乙到同一家公司實習的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】4名大學生分兩組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3，1人或2，2人；共有種實習方案，其中甲，乙到同一家實習的情況有種，則可得到甲?乙到同一家實習的概率.【詳解】4名大學生分兩組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3，1人或2，2人,即共有種實習方案，其中甲，乙到同一家實習的情況有種，故大學生甲?乙到同一家實習的概率為..【變式4】（23-24高二下·福建泉州·月考）2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人．為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為．【答案】70【解析】按照2，2，1分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，按照3，1，1分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種．【變式5】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）某校將12名優(yōu)秀團員名額分配給4個不同的班級，要求每個班級至少一個，則不同的分配方案有種．【答案】165【解析】將12名優(yōu)秀團員名額分配給4個不同的班級，要求每個班級至少一個，應用隔板法，12名團員成排的11個空用3個隔板分成四組（非空），則不同的分配方案有.題型07求二項展開式的特定項解題錦囊解題錦囊二項展開式中的特定項，是指展開式中的某一項，如第n項、常數(shù)項、有理項等，求解二項展開式中的特定項的關鍵點如下：（1）求通項，利用(a＋b)n的展開式的通項公式Tr＋1Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r0，1，2，…，n)求通項．（2）列方程(組)或不等式(組)，利用二項展開式的通項及特定項的特征，列出方程(組)或不等式(組)．（3）求特定項，先由方程(組)或不等式(組)求得相關參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項．【典例9】（23-24高二下·上海黃浦·期中）在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有項．【答案】6【解析】由題意知，展開式的通項公式為，當（）為整數(shù)時，的系數(shù)為有理數(shù)，所以，即展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有6個.【變式1】（23-24高二下·浙江麗水·期中）的展開式中常數(shù)項是（

）A．－225 B．－252 C．252 D．225【答案】C【解析】二項式的展開式通項為：，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.【變式2】（2024·湖南長沙·長郡中學?？家荒＃┑恼归_式中含項的系數(shù)為（）A．20B．-20C．30D．-30【答案】D【解析】，又的二項展開式的通項公式為，故的二項展開式中、的系數(shù)為0，的系數(shù)為，故的展開式中含項的系數(shù)為，.【變式3】（23-24高二下·四川內江·期中）的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為二項式展開式的通項為，當時，可得的系數(shù)是..題型08三項式展開問題解題錦囊解題錦囊這類問題主要有以下解題方法：（1）通過變形先把三項式轉化為二項式，再用二項式定理求解．（2）兩次利用二項式定理的通項公式求解．（3）由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量．【典例10】（23-24高二下·重慶巴南·期中）的展開式中常數(shù)項為（

）A．544 B．559 C．495 D．79【答案】C【解析】展開式中的常數(shù)項分三種情況：第一種，六個括號都提供，此時得到；第二種，六個括號中一個括號提供，兩個括號提供，三個括號提供，此時得到；第三種，六個括號中兩個括號提供，四個括號提供，此時得到，所以展開式的常數(shù)項為，.【變式1】23-24高二下·江蘇無錫·期中）展開式中的系數(shù)為（

）A．80 B． C．30 D．【答案】C【解析】，要找到展開式中含有的項，需從中找到含有的項，即，故的系數(shù)為..【變式2】（23-24高二下·廣東茂名·期中）的展開式中的系數(shù)為．【答案】【解析】，通項為，所以，即，又通項為，當時，才能得到，所以展開式中的系數(shù)為.【變式3】（23-24高二下·河南·月考）在的展開式中，項的系數(shù)是．【答案】【解析】表示個因式的乘積，若要得到，則需個因式選，個因式選，其余的因式選，所以的項為，所以項的系數(shù)是.題型09二項式系數(shù)與系數(shù)最值問題解題錦囊解題錦囊1、二項式系數(shù)先增后減中間項最大（1）如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；（2）如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．【典例11】（23-24高二下·重慶·期中）（多選）在的展開式中，含項的系數(shù)為，則下列選項正確的有（

）A．B．展開式的各項系數(shù)和為0C．展開式中系數(shù)最大項是第6項D．展開式中系數(shù)最大項是第7項【答案】ABD【解析】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，所以，解得，故A正確；對，令，可得展開式的各項系數(shù)和為，故B正確；二項式展開式的通項為（且），展開式中中間兩項第項和第項的二項式系數(shù)相等且最大，而第項系數(shù)為負，第項系數(shù)為正，因此第項系數(shù)最小，第項系數(shù)最大，故C錯誤，D正確．BD【變式1】若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】因為的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有項，即.【變式2】的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.【答案】1792【解析】由得，所以的展開式的通項為，當展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，比較，，，，，所以當時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.【變式3】（23-24高二下·福建福州·期中）在的展開式中，（1）求展開式中所有項的系數(shù)和；（2）求二項式系數(shù)最大的項；（3）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?【答案】（1）1；（2）；（3）第6項和第7項【解析】（1）令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為；（2）二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，的展開式的通項為：，故；（3）由的展開式的通項為：，設第項系數(shù)的絕對值最大，顯然，則，整理得，即，解得，而，則或，所以系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項.題型10二項式系數(shù)和問題解題錦囊解題錦囊系數(shù)和問題常用“賦值法”求解：賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數(shù)和的方法．求解有關系數(shù)和題的關鍵點如下：①賦值，觀察已知等式與所求式子的結構特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關方程，