高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修一同步講義2.2.3一元二次不等式的解法(4知識(shí)點(diǎn)+6題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.2.3一元二次不等式的解法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握用因式分解法解決一元二次不等式.2、掌握用配方法解決一元二次不等式.一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法.掌握一元二次不等式的的運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算方法。一般一元二次不等式有兩個(gè)解，需要驗(yàn)證其有效性。知識(shí)點(diǎn)01一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0和a<0兩種，注意a≠0.當(dāng)a<0時(shí)，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號(hào)要改變方向，這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式．【即學(xué)即練1】下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a(chǎn)2x2＋2≥0B．1xC．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0知識(shí)點(diǎn)02一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時(shí)才能使用，簡(jiǎn)記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．②因式分解法就是將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組來求解．依據(jù)是：ab>0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0))；ab<0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識(shí)，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項(xiàng)式的配方技巧．【即學(xué)即練2】（2024·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．【即學(xué)即練3】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系Δ＞0Δ0Δ＜0yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??【即學(xué)即練4】【多選】（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為知識(shí)點(diǎn)04分式不等式分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式．注：當(dāng)分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，其分母不為零最容易被忽略，這一點(diǎn)一定要注意．【即學(xué)即練5】（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，則．難點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次不等式的解法示例：解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.【題型1：解不含參數(shù)的一元二次不等式】例1．（2024·安徽合肥·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A．或B． C．D．或變式1.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．變式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為A． B． C． D．變式3．（2024·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解下列不等式：（1）；

（2）；

（3）變式4．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）變式5.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）；變式6.【多選】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列不等式的解集是空集的是（）A．B．C．D．變式7．【多選】（2024·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】一元二次不等式的解法：(1)圖像法：一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c0的解；②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2＋bx＋c的圖像簡(jiǎn)圖；③由圖像得出不等式的解集．對(duì)于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p＜q時(shí)，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．【題型2：含參數(shù)的一元二次不等式的解法】例2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若，解不等式．變式1．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.變式2．（2024·北京·高一北京市第五十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式.變式3.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．變式4．（2024·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．變式5．（2024·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考期中）已知，，求關(guān)于的不等式的解集.變式6.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：（）；【方法技巧與總結(jié)】含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大小；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．【題型3：利用不等式的解集求參數(shù)】例3.（2024·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）若不等式的解集是，則，．變式1．（2024·福建福州·高一福州三中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．-10 B．-6 C．0 D．2變式2．（2024·福建泉州·高一校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．變式3.（2024·上海徐匯·高一?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集為，則.變式4.（2024·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式5.【多選】（2024·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．變式6．（2024·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．變式7．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求的值.(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.變式8．（2024·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式的解集為，則.變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]變式10.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中，恰有2個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或變式11．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2變式12.（2024·福建福州·高一?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次不等式的解中有且僅有4個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【方法技巧與總結(jié)】三個(gè)“二次”之間的關(guān)系一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒不成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．【題型4：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法】例4．（2024·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．變式1．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．變式2．（2024·河南商丘·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是．變式3．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式：(1)；(2)；(3).【方法技巧與總結(jié)】簡(jiǎn)單的分式不等式的解法對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．注：設(shè)A、B均為含x的多項(xiàng)式（1）（2）（3）（4）【題型5：一元二次不等式的恒不成立有解問題】例5.（2024·全國(guó)·高一期中）已知不等式，對(duì)任意實(shí)數(shù)都不成立，則的取值范圍（）A．B．C．D．變式1.（2024·江西南昌·高一校考階段練習(xí)）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．變式2．（2024·高一單元測(cè)試）設(shè).(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.變式3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．變式4.（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．變式5.（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．變式6.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式有解，求m的取值范圍．變式7.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求實(shí)數(shù)，的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】1、不等式恒不成立問題：不等式恒不成立時(shí)對(duì)未知量來說，因此也稱不等式解集為R（1）恒不成立（2）恒不成立（3）恒不成立（4）恒不成立2、不等式有解問題（1）有解或（2）有解或（3）有解或（4）有解或【題型6：一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】例6．（2024·高一?？紗卧獪y(cè)試）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價(jià)（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤(rùn)（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．變式1.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（

）.A． B．C． D．變式2.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某商品在最近天內(nèi)的價(jià)格與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是；銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，則使這種商品日銷售金額不小于元的的范圍為（）A．B．C．D．變式3.（2023春·河南安陽·高二林州一中?？茧A段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價(jià)480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，t的取值范圍是（

）A． B．C． D．35．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某種襯衫進(jìn)貨價(jià)為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價(jià)元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價(jià)的取值范圍是．(假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m)變式4.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)減少10件．若把提價(jià)后的商品售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？【方法技巧與總結(jié)】解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實(shí)際問題．特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．一、單選題1．（2024高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．B．C．D．不等式的解集是4．（24-25高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2024高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知p：，那么命題p的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在上定義運(yùn)算“”：，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．8．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒不成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．（m為任意實(shí)數(shù)）D．10．（24-25高一上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知不等式，則下列說法正確的是（

）A．若，則不等式的解集為B．若不等式的解集為，則C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，11．（24-25高一上·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”三、填空題12．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若，則不等式的解集為．13．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值.14．（2024高一下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測(cè)得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為．15．（2024高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）若存在，使得不成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.四、解答題16．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）夏秋交替時(shí)節(jié)，某商家為了盡快清倉(cāng)銷貨，決定對(duì)短袖襯衫A進(jìn)行打折處理．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)月A的銷量（單位:件）與折扣（單位:折）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)．已知的成本價(jià)為70元/件，原售價(jià)為100元/件，設(shè)A每月的總利潤(rùn)為（單位:元）．(1)求的最大值;(2)該商家將與A相同成本價(jià)的短袖恤按80元/件銷售，若每銷售1件可銷售1件，要求A與的總利潤(rùn)不低于3000元，求A售價(jià)的最小值．17．（2024高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集．18．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知命題:“實(shí)數(shù)滿足”命題:“都有意義”.(1)已知為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）（1）若關(guān)于的不等式的解集為R，求的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．20．（2024高二下·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)．(1)若對(duì)于任意，不等式恒不成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．21．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)（）只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①y＜0的解集為；②；③y的最小值為．(1)請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件的序號(hào)，求y的解析式；(2)求關(guān)于x的不等式（）的解集．22．（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：(1)已知，集合、集合、集合，則同時(shí)滿足A且的實(shí)數(shù)、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)已知，命題：和是方程的兩個(gè)實(shí)根，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒不成立；命題：不等式有解；若命題是真命題，命題是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23．（2024高一·上?！ふn堂例題）方程的三個(gè)根1、2、3將數(shù)軸劃分為四個(gè)區(qū)間，即，，，．試在這四個(gè)區(qū)間上分別考察的符號(hào)，從而得出不等式與的解集．一般地，對(duì)、、，且，試分別求不等式與的解集．（提示：、、相互之間可能相等，需要分情況討論）2.2.3一元二次不等式的解法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握用因式分解法解決一元二次不等式.2、掌握用配方法解決一元二次不等式.一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法.掌握一元二次不等式的的運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算方法。一般一元二次不等式有兩個(gè)解，需要驗(yàn)證其有效性。知識(shí)點(diǎn)01一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0和a<0兩種，注意a≠0.當(dāng)a<0時(shí)，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號(hào)要改變方向，這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式．【即學(xué)即練1】下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a(chǎn)2x2＋2≥0B．1xC．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0【解析】選項(xiàng)A中，a20時(shí)不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為三次；只有選項(xiàng)C符合．答案：C知識(shí)點(diǎn)02一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時(shí)才能使用，簡(jiǎn)記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．②因式分解法就是將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組來求解．依據(jù)是：ab>0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0))；ab<0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識(shí)，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項(xiàng)式的配方技巧．【即學(xué)即練2】（2024·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)無解(3)【分析】根據(jù)十字相乘法、配方法，可得答案.【詳解】（1），，，.（2），，，無解.（3），，，解得.【即學(xué)即練3】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式【答案】答案見解析【分析】原不等式可化為，分、、三種情況求解即可.【詳解】原不等式可化為.當(dāng)，即時(shí)，或；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，或.綜上，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系Δ＞0Δ0Δ＜0yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??【即學(xué)即練4】【多選】（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】CD【分析】根據(jù)給定的解集，用表示出，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】不等式的解集為，則是方程的根，且，則，即，A錯(cuò)誤；不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；，C錯(cuò)誤；不等式化為，即，解得或，所以不等式的解集為，D正確.D知識(shí)點(diǎn)04分式不等式分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式．注：當(dāng)分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，其分母不為零最容易被忽略，這一點(diǎn)一定要注意．【即學(xué)即練5】（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，則．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】解：原不等式等價(jià)于，化簡(jiǎn)得，所以，又等價(jià)于，解得：所以，故答案為：．難點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次不等式的解法示例：解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.【解析】對(duì)于方程2x2＋ax＋20，其判別式Δa2－16(a＋4)(a－4)．①當(dāng)a>4或a<－4時(shí)，Δ>0，方程2x2＋ax＋20的兩根為x114(－a－a2?16)，x214(－∴原不等式的解集為{x|x<1②當(dāng)a4時(shí)，Δ0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1x2－1，∴原不等式的解集為{x|x≠－1}．③當(dāng)a－4時(shí)，Δ0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1x21，∴原不等式的解集為{x|x≠1}．④當(dāng)－4<a<4時(shí)，Δ<0，方程無實(shí)根，∴原不等式的解集為R.注：二次項(xiàng)系數(shù)為2，Δa2－16不是一個(gè)完全平方式，故不能確定根的個(gè)數(shù)，因此需對(duì)判別式Δ的符號(hào)進(jìn)行討論，確定根的個(gè)數(shù)．方法小結(jié)：含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大??；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．【題型1：解不含參數(shù)的一元二次不等式】例1．（2024·安徽合肥·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A．或B． C．D．或【答案】A【分析】利用“三個(gè)二次”的關(guān)系解二次不等式.【詳解】不等式的解集為或..【點(diǎn)睛】二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．變式1.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，解得，所以不等式的解集為.變式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為A． B． C． D．【答案】A【解析】直接根據(jù)一元二次不等式的解法求解．【詳解】解：∵，∴，無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，注意三個(gè)二次——二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題．變式3．（2024·上海·高一專題練習(xí)）解下列不等式：（1）；

（2）；

（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再因式分解，即可求得不等式解集.【詳解】（1）等價(jià)于等價(jià)于，解得：或，所以不等式的解集為；

（2）等價(jià)于，解得：或，所以不等式的解集為；

（3）等價(jià)于等價(jià)于，解得：，所以不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.變式4．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案；（2）根據(jù)配方法將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分析可得答案；（3）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案；（4）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案.【詳解】（1）原不等式變形可得則該不等式的解集為；（2）因?yàn)楹悴怀闪?，所以該不等式的解集為；?）原不等式變形可得則該不等式的解集為；（4）原不等式變形可得則該不等式的解集為.變式5.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為.（2）不等式，即，配方得，又，所以，解得，所以原不等式的解集為.（3）不等式，即，即，又，∴原不等式的解集是.（4）不等式，∵，又∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，∴原不等式的解集是變式6.【多選】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列不等式的解集是空集的是（）A．B．C．D．【答案】DD【解析】對(duì)于A：恒不成立，即不等式的解集為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：不等式，即，因?yàn)楹悴怀闪ⅲ圆坏仁降慕饧癁榭占?，故C正確；對(duì)于D：不等式，即，因?yàn)楹悴怀闪?，所以不等式的解集為空集，故D正確；D變式7．【多選】（2024·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由一元二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合各一元二次不等式的判別式、函數(shù)開口方向即可判斷各選項(xiàng)是否為空集.【詳解】A選項(xiàng)，，所以的解集不可能為空集；B選項(xiàng)，，而開口向上，所以解集為空集；C選項(xiàng)，的解集為，所以不為空集；D選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)不成立，而開口向下，所以為空集；D【方法技巧與總結(jié)】一元二次不等式的解法：(1)圖像法：一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c0的解；②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2＋bx＋c的圖像簡(jiǎn)圖；③由圖像得出不等式的解集．對(duì)于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p＜q時(shí)，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．【題型2：含參數(shù)的一元二次不等式的解法】例2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若，解不等式．【答案】【分析】根據(jù)題意，，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．【詳解】解：∵，∴，原不等式可化為，解得．故原不等式的解集為．變式1．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.【答案】答案見解析【分析】對(duì)，，進(jìn)行分類討論進(jìn)而解方程即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，此時(shí)不等式的解集為;②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得不等式的解集為:；③當(dāng)時(shí)，原不等式化為:，解得不等式的解集為:.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為變式2．（2024·北京·高一北京市第五十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式.【答案】當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【分析】需要分類討論，先討論，和，時(shí)，相應(yīng)方程的兩根大小易判斷，可直接得出不等式的解集，時(shí)，相應(yīng)方程的兩根的大小不確定，需按兩根大小分類．【詳解】當(dāng)，原不等式等價(jià)于，解得．當(dāng)時(shí)，原不等式1）當(dāng)時(shí)，原不等式，此時(shí)，原不等式解集為2）當(dāng)時(shí)，原不等式①當(dāng)，即時(shí)，原不等式解集為②當(dāng)，即時(shí)，易得原不等式解集為③當(dāng)，即時(shí)，易得原不等式解集為綜上所述得：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查解含參數(shù)的一元二次不等式，解題時(shí)要注意分類討論，分類討論有三個(gè)層次：第一層次是最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0，在最高次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，還應(yīng)分正負(fù)，第二層次是相應(yīng)的二次方程有無實(shí)根，在有實(shí)根的前提下，第三層次就是比較兩根的大?。兪?.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時(shí)，可知，對(duì)應(yīng)的方程的兩根為1，，所以不等式的解集為：..變式4．（2024·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】將所求不等式變形為，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【詳解】解：由可得.（1）當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；（2）當(dāng)時(shí)，解方程可得或.①當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得或②當(dāng)時(shí)，則，解原不等式可得；③當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；④當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.變式5．（2024·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】答案見解析【分析】討論，、、且三種大情況，解不等式得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式的解為.②當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為R；當(dāng)且時(shí)，由基本不等式得，解得或.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)且時(shí)，不等式的解集為或.變式6.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：（）；【答案】答案見解析【解析】，當(dāng)時(shí)，，無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，的無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，的解為，綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大??；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．【題型3：利用不等式的解集求參數(shù)】例3.（2024·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）若不等式的解集是，則，．【答案】；【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧牵允堑母?，所以，所以故答案為：變?．（2024·福建福州·高一福州三中校考階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．-10 B．-6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?所以的兩根為，則，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解集求解參數(shù)，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.變式2．（2024·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，是方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理便可求解．【詳解】關(guān)于的不等式的解集是，，是方程的兩根，，解得，，．變式3.（2024·上海徐匯·高一?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集為，則.【答案】16【解析】因關(guān)于x的不等式的解集為，則是方程的二根，則有，解得，所以.故答案為：16.變式4.（2024·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關(guān)系，列出根與系數(shù)的關(guān)系，得到的關(guān)系，代入不等式化簡(jiǎn)求解.【詳解】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.變式5.【多選】（2024·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】CCD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，故相?yīng)的二次函數(shù)的圖像開口向下，所以，故A錯(cuò)誤；易知2和是方程的兩個(gè)根，則有，，又，故，，故BC正確；因?yàn)?，所以，故D正確．CD變式6．（2024·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，，可化為，即，關(guān)于的不等式的解集是..變式7．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求的值.(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解集的區(qū)間端點(diǎn)值為二次方程的根可得，再求解二次不等式可得；（2）將二次不等式因式分解，再分情況討論二次方程的根的大小求解即可.【詳解】（1）由于不等式的解集是，則是的兩根，且，代入得，解得，于是原不等式可轉(zhuǎn)化為，此時(shí)解集為，所以.（2）由得，即.因?yàn)椋?，得或，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.變式8．（2024·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式的解集為，則.【答案】2【分析】根據(jù)不等式的解集為可知和是方程的兩根，從而求出c．【詳解】∵不等式的解集為，∴和是方程的兩根，∴，∴．故答案為：2．變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【答案】A【分析】原不等式可化為，后通過討論與1的大小解不等式，結(jié)合解集是的子集可得答案.【詳解】原不等式可化為.當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為[a，1]，此時(shí)只要即可，即；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解為x1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要即可，即.綜上可得：..變式10.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中，恰有2個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由不等式，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個(gè)整數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個(gè)整數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即不等式的解集為，顯然不不成立，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是..變式11．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2【答案】DD【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，分析的這3個(gè)正整數(shù)為,計(jì)算求解即可.【詳解】不等式化簡(jiǎn)為的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式化為，則解集中有無數(shù)個(gè)整數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式的解集中有無數(shù)個(gè)正整數(shù)，故A錯(cuò)誤；所以，，，所以所以不等式的解集為：，根據(jù)0一定屬于此集合，則由不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)中一定為：，則，解得故可取和2，故C,D正確，AB錯(cuò)誤；D.變式12.（2024·福建福州·高一?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次不等式的解中有且僅有4個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有4個(gè)正整數(shù)，所以，不等式的解為，且，．【方法技巧與總結(jié)】三個(gè)“二次”之間的關(guān)系一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒不成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．【題型4：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法】例4．（2024·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．【答案】或【分析】分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求出答案.【詳解】等價(jià)于，解得或，故解集為或.故答案為：或變式1．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，結(jié)合一元二次不等式的解法求解.【詳解】不等式等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.變式2．（2024·河南商丘·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是．【答案】【分析】分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，但要注意分母不為零.【詳解】不等式等價(jià)于，解得.故解集為：.故答案為：變式3．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解；（2）根據(jù)一元二次不等式的解法求解；（3）根據(jù)分式不等式的解法求解.【詳解】（1）可化為，即，解得，∴原不等式的解集為.（2），∴原不等式的解集為.（3）∴原不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】簡(jiǎn)單的分式不等式的解法對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．注：設(shè)A、B均為含x的多項(xiàng)式（1）（2）（3）（4）【題型5：一元二次不等式的恒不成立有解問題】例5.（2024·全國(guó)·高一期中）已知不等式，對(duì)任意實(shí)數(shù)都不成立，則的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①當(dāng)時(shí)，不等式不成立，∴；②當(dāng)時(shí)，則有，解得；綜上，．．變式1.（2024·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，不等式的解集為，即為不等式在上恒不成立，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式恒不成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則滿足，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是..變式2．（2024·高一單元測(cè)試）設(shè).(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意等價(jià)于對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒不成立，由可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為不等式，分、、討論解不等式可得答案.【詳解】（1）由題意，不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒不成立，等價(jià)于對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒不成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）不等式，即，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.變式3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒不成立求解作答.(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.【詳解】（1），恒不成立等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切實(shí)數(shù)不恒不成立，則，此時(shí)必有，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，可化為，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，又，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.變式4.（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）函數(shù)類型不定，需對(duì)的系數(shù)分類討論，結(jié)合圖象即得答案.（2）對(duì)應(yīng)函數(shù)類型不定，需對(duì)的系數(shù)分類討論，對(duì)應(yīng)方程有根大小不定，需分類討論，結(jié)合圖象即得答案.【詳解】（1）由已知得，在R上恒不成立.①當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意.②當(dāng)時(shí)，只需滿足，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不等式，即為，即，可化為.①當(dāng)，即時(shí)，，解集為；②當(dāng)，即時(shí)，，解集為或;③當(dāng)，即時(shí)，i當(dāng)，即時(shí)，解集為；ii當(dāng)，即時(shí)，解集為；iii當(dāng)，即時(shí)，解集為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.變式5.（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）對(duì)進(jìn)行分類討論來分析恒不成立問題.（2）解不等式時(shí)要對(duì)進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）不等式.當(dāng)時(shí)，，即不等式僅對(duì)不成立，不滿足題意，舍.當(dāng)時(shí)，要使對(duì)一切實(shí)數(shù)恒不成立.則解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，.①若，的解為；②若，當(dāng)即時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，，的解為或.當(dāng)時(shí)，，的解為或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.變式6.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式有解，求m的取值范圍．【答案】或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解集為空集，故不滿足題意；（2）當(dāng)時(shí)，一元二次不等式對(duì)應(yīng)二次函數(shù)開口向上，顯然滿足題意；（3）當(dāng)時(shí)，由題意可得：，因?yàn)椋獾?；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式有解.變式7.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求實(shí)數(shù)，的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系，即可求出，的值；（2）將不等式有解（能不成立）問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解決即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，討論的解集恰有個(gè)整數(shù)即可.【詳解】（1）∵關(guān)于的不等式的解集為或，∴方程的兩根為，，∴，∴解得，.（2）令，若關(guān)于的不等式在上有解，則在上有解，∴只需使在區(qū)間上的最小值.圖象是開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得，此時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得，此時(shí)，；③當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得或，此時(shí)，；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）令若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則的解集中恰有個(gè)整數(shù)，，①當(dāng)，即時(shí)，解集為，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，解集為，若解集中恰有個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)為，，，∴，解得，∴此時(shí)；③當(dāng)，即時(shí)，解集為，若解集中恰有個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)為，，，∴，解得，∴此時(shí)；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【方法技巧與總結(jié)】1、不等式恒不成立問題：不等式恒不成立時(shí)對(duì)未知量來說，因此也稱不等式解集為R（1）恒不成立（2）恒不成立（3）恒不成立（4）恒不成立2、不等式有解問題（1）有解或（2）有解或（3）有解或（4）有解或【題型6：一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】例6．（2024·高一?？紗卧獪y(cè)試）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價(jià)（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤(rùn)（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，建立利潤(rùn)函數(shù)，列出不等式，可得答案.【詳解】由題意，得，，令，得，，，..變式1.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定信息，求出利潤(rùn)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再列出不等式并求解作答.【詳解】設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為元，則，，，依題意，，解得，所以當(dāng)，且時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于1300元.變式2.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某商品在最近天內(nèi)的價(jià)格與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是；銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，則使這種商品日銷售金額不小于元的的范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由日銷售金額為，即，解得.變式3.（2023春·河南安陽·高二林州一中校考階段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價(jià)480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，每年消耗木材為萬立方米，所以每年稅金為，要保證稅金收入每年不少于萬元，可得且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為..35．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某種襯衫進(jìn)貨價(jià)為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價(jià)元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價(jià)的取值范圍是．(假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m)【答案】【分析】由每件襯衫的售價(jià)是元，可知每天的銷售量為件，那么可以得到每天出售襯衫的凈收入，令其大于等于，構(gòu)建不等式解不等即可.【詳解】假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是元，則每天的銷售量為件，每天出售襯衫的凈收入，令,，，解得,故答案為：.變式4.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)減少10件．若把提價(jià)后的商品售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？【答案】，【解析】若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，由于要賺取利潤(rùn)，故，則銷售量減少件，故每天可銷售，同樣由于要賺取利潤(rùn)，故，則，綜上：，因此，每天的利潤(rùn)為元，，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式，.【方法技巧與總結(jié)】解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實(shí)際問題．特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．一、單選題1．（2024高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與二次方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由于不等式的解集為，所以和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故且，解得，，2．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】，即，即，解得或..3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．B．C．D．不等式的解集是【答案】A【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題圖知拋物線開口向上，所以，拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為正，所以，因?yàn)?，所以，由韋達(dá)定理，即，，對(duì)稱軸，則.所以A錯(cuò)誤，B,C正確.不等式可化為，即，解得或.所以不等式的解集是.D正確..4．（24-25高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?所以..5．（2024高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知p：，那么命題p的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式，根據(jù)充分、必要條件判斷即可.【詳解】由解得，則A項(xiàng)是命題p的充要條件，故A錯(cuò)誤；由，則B項(xiàng)是命題p的充分條件，故B錯(cuò)誤；由，且，則C項(xiàng)是命題p的一個(gè)必要不充分條件，故C正確；由，且，則D項(xiàng)是命題p的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤；.6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在上定義運(yùn)算“”：，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)規(guī)定的新定義運(yùn)算法則化簡(jiǎn)不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正確答案【詳解】根據(jù)給出在R上定義運(yùn)算，由得，解之得，故該不等式的解集是．7．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式化為，即的兩個(gè)根為，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為，其解集為或，所以，且方程的兩個(gè)根為，，則或，解得或（舍去），即有，即，解得.所以不等式的解集為..8．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒不成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到的取值范圍.【詳解】時(shí)，原不等式化為，解得，不對(duì)所有的恒不成立，不符合題意；時(shí)，原不等式為一元二次不等式，要對(duì)所有實(shí)數(shù)恒不成立，則二次函數(shù)的圖象開口向下且與軸無交點(diǎn)，從而，解得，所以，的取值范圍為，.二、多選題9．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．（m為任意實(shí)數(shù)）D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題.【詳解】因?yàn)閽佄锞€開口向下，則，又因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，則，可得，且拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，則，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：拋物線的對(duì)稱軸為直線，可知當(dāng)時(shí)，y有最大值，則（m為任意實(shí)數(shù)），所有（m為任意實(shí)數(shù)），故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和1,0之間，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，可知當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤．BC.10．（24-25高一上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知不等式，則下列說法正確的是（

）A．若，則不等式的解集為B．若不等式的解集為，則C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，【答案】ABD【分析】對(duì)于A解一元二次不等式即可判斷，對(duì)于BC根據(jù)不等式的解集可知對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可判斷，對(duì)于D，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及絕對(duì)值不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，時(shí)，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，A正確；對(duì)于B，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，B正確；對(duì)于C，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)不成立，D正確.BD.11．（24-25高一上·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”【答案】CCD【分析】解含參的一元二次不等式判斷A,B,根據(jù)含參的一元二次不等式解集得出參數(shù)范圍判斷C,D.【詳解】對(duì)A，若不等式的解集是，則且，得，而當(dāng)，時(shí)，不等式，即，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，取，，此時(shí)不等式的解集為，故B正確；對(duì)C，取，，則由，得或3，故C正確；對(duì)D，若關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，得，若，則，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，且，關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根.因此“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”，故D正確.CD.三、填空題12．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若，則不等式的解集為．【答案】【分析】由題可知，對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向上，因此根據(jù)口訣“大于取兩邊，小于取中間”即可一元二次不等式.【詳解】因?yàn)椋?所以由，得,所以原不等式的解集為.故答案為：.13．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值.【答案】3【分析】對(duì)原不等式等價(jià)變形，分是否等于2進(jìn)行討論，根據(jù)一元二次不等式、方程之間的關(guān)系即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，故不符合題意，當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次不等式解集可得，解得，而當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于或，故符合題意；綜上所述，的值為3.故答案為：3.14．（2024高一下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測(cè)得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為．【答案】【分析】設(shè)這輛汽車剎車前的車速，利用題設(shè)中的的關(guān)系式和不等式關(guān)系可得的一元二次不等式，求的范圍可得．【詳解】設(shè)這輛汽車剎車前的車速為，根據(jù)題意，有，整理得，解得或（舍去），所以這輛汽車剎車前的速度至少為．故答案為：15．（2024高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）若存在，使得不成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】或【分析】借助一元二次函數(shù)圖像位置即可求解.【詳解】根據(jù)題意即不等式有解，由得或故答案為：或四、解答題16．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）夏秋交替時(shí)節(jié)，某商家為了盡快清倉(cāng)銷貨，決定對(duì)短袖襯衫A進(jìn)行打折處理．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)月A的銷量（單位:件）與折扣（單位:折）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)．已知的成本價(jià)為70元/件，原售價(jià)為100元/件，設(shè)A每月的總利潤(rùn)為（單位:元）．(1)求的最大值;(2)該商家將與A相同成本價(jià)的短袖恤按80元/件銷售，若每銷售1件可銷售1件，要求A與的總利潤(rùn)不低于3000元，求A售價(jià)的最小值．【答案】(1)2470元(2)元/件【分析】（1）表達(dá)出，配方后得到最大值；（2）表達(dá)出A與的總利潤(rùn)為，從而得到不等式，求出A售價(jià)的最小值.【詳解】（1）由題意得，每件短袖補(bǔ)衫A的利潤(rùn)為（元），所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為2470元．（2）設(shè)