2025屆遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟高三上學期12月月度質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025屆高三上學期12月月度質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題本試卷滿分150分考試時間120分鐘第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)集合，可得：，且，故.故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，，若是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A. B.2 C.0 D.【答案】A【解析】因為，因為是實數(shù)，則，解得.故選：A.3.不等式成立的一個充分不必要條件是()．A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式化為，即，解得不等式成立的充要條件是所以不等式成立的一個充分不必要條件是，故選A.4.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計一百零八座，則該塔共有（）A.八層 B.十層 C.十一層 D.十二層【答案】D【解析】設(shè)該塔共有層，則，即，解得或（舍），即該塔共有層.故選：D5.已知某圓錐的母線長為2，記其側(cè)面積為S，體積為V，則當取得最大值時，母線與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，為圓錐底面的中心，則底面圓，則即為圓錐母線與底面所成的角，設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的高為，所以，當且僅當即，則母線與底面所成角的正弦值為.故選：A.6.已知函數(shù)，將圖象上所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】依題意，為奇函數(shù)，則，即，由于，所以，，因為，則，由于在上單調(diào)遞增，可得，解得，所以的最大值為.故選：C.7.已知圓的圓心為，且直線與圓相切，則圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為直線與圓相切，設(shè)圓的半徑為r，則，所以圓的標準方程為.故選：A.8.如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（）A.對于任意點，平面B.直線被球截得的弦長為C.過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D.當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】C【解析】對于A，根據(jù)已知條件圓為以為圓心，半徑的圓；在棱上移動，當與點重合時，平面即為平面，因為在直線上，所以平面，所以與平面相交，A錯誤；對于B，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，則，，，設(shè)直線與直線夾角為，則，由此可知，連結(jié)，過作直線的垂線，垂足為，則在中，有，解得，設(shè)直線被球O截得的弦長為，則，B錯誤；對于C，過直線的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時，有垂直于過的平面，此時圓的半徑為，圓的面積為，C正確；對于D，根據(jù)題意當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積為，D錯誤.故選：C二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列通項公式中，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；對于B，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；對于C，由于，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列；對于D，由于，當時，，，即，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．故選：ABD.10.已知，.若，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為9C.的最大值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】由題意知，.A.，當，即時，等號成立，所以的最小值是4，故A不正確；B.，當，時，等號成立，所以的最小值為9，故B正確；C.由于，，故，當時等號成立，即時等號成立，所以的最大值為，故C正確；D.，當且僅當時，即時，等號成立，但，所以等號不能成立，故D不正確.故選：BC.11.已知內(nèi)角對邊分別為a,b,c，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為銳角三角形D.若的三角形有兩解【答案】ABD【解析】對于A，因為，則由正弦定理可得，，所以，即，故A正確；對于B，由余弦定理得，化簡得，故為等腰三角形，故B正確；對于C，由余弦定理，因為，所以，故只能判斷為銳角，無法判斷，故C錯誤；對于D，若，則由正弦定理得，因為，所以三角形有兩解，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若函數(shù)是奇函數(shù)，則________.【答案】【解析】若，則，故，而，所以.故答案為：13.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的正視圖的面積是_____，體積是_____．【答案】①.②.【解析】由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示：該幾何體為直三棱柱，正視圖為等腰直角三角形，且斜邊長上的高為，斜邊長為，故該“塹堵”的正視圖的面積是，體積為.故答案為：；.14.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點，，若點，且，則直線的斜率為________.【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，，則直線，，聯(lián)立方程，消去得，，則，，故，，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故，令，解得．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）函數(shù)取得最大值或最小值時的x組成集合A，將集合A中的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為，求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，所以且時，最小值為，且時，最大值為，結(jié)合題意知，，故（2）由，所以.16.某學習小組在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù)，；；.（1）求出這個常數(shù)；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解：（1）因為，故常數(shù)為；（2）推廣：當時，．證明：因為，則，．17.在如圖所示的五面體中，四邊形為直角梯形，，平面平面，，是邊長為2的正三角形.（1）證明：平面；（2）證明：平面．

證明：（1）因為四邊形為直角梯形，所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又平面BAEF，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中點，連接，依題意易知，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以，因為平面平面，平面平面，，所以平面，，由（1）有：，所以，在和中，，，又，所以，所以.因為，平面，所以平面.18.已知雙曲線的焦點為，且過點．（1）求雙曲線的方程；（2）過點作斜率分別為直線，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，點分別是的中點，若，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標；若不是，請說明理由．解：（1）由題意知，解得，所以雙曲線的方程是；（2）直線的方程為，設(shè)．由，得，所以，所以，所以，所以，同理可得，因為，所以，即，當且時，，所以直線的方程為，，，，，所以，所以直線過定點；當或時，直線的方程為，所以直線過定點．綜上，直線過定點．19.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求在處的切線方程；（2）當時，，求實數(shù)的最大值；（3）證明：當時，在處取極小值.解：（1），且，則所以在處的切線方程為（2）當時，，即當時，，當時，，即，令，則，因為，所以當時，，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，所以，所以所以實數(shù)的最大值為.（3）證明：令，若，當，和都單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，①當，即時，則，則在上單調(diào)遞增，而，所以當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；所以在處取極小值；②當，即時，，，單調(diào)遞增，所以存在，使得，當時，，則在上單調(diào)遞增，而，所以當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；所以在處取極小值.綜上，當時，在處取極小值.遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025屆高三上學期12月月度質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題本試卷滿分150分考試時間120分鐘第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)集合，可得：，且，故.故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，，若是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A. B.2 C.0 D.【答案】A【解析】因為，因為是實數(shù)，則，解得.故選：A.3.不等式成立的一個充分不必要條件是()．A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式化為，即，解得不等式成立的充要條件是所以不等式成立的一個充分不必要條件是，故選A.4.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計一百零八座，則該塔共有（）A.八層 B.十層 C.十一層 D.十二層【答案】D【解析】設(shè)該塔共有層，則，即，解得或（舍），即該塔共有層.故選：D5.已知某圓錐的母線長為2，記其側(cè)面積為S，體積為V，則當取得最大值時，母線與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，為圓錐底面的中心，則底面圓，則即為圓錐母線與底面所成的角，設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的高為，所以，當且僅當即，則母線與底面所成角的正弦值為.故選：A.6.已知函數(shù)，將圖象上所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】依題意，為奇函數(shù)，則，即，由于，所以，，因為，則，由于在上單調(diào)遞增，可得，解得，所以的最大值為.故選：C.7.已知圓的圓心為，且直線與圓相切，則圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為直線與圓相切，設(shè)圓的半徑為r，則，所以圓的標準方程為.故選：A.8.如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（）A.對于任意點，平面B.直線被球截得的弦長為C.過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D.當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】C【解析】對于A，根據(jù)已知條件圓為以為圓心，半徑的圓；在棱上移動，當與點重合時，平面即為平面，因為在直線上，所以平面，所以與平面相交，A錯誤；對于B，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，則，，，設(shè)直線與直線夾角為，則，由此可知，連結(jié)，過作直線的垂線，垂足為，則在中，有，解得，設(shè)直線被球O截得的弦長為，則，B錯誤；對于C，過直線的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時，有垂直于過的平面，此時圓的半徑為，圓的面積為，C正確；對于D，根據(jù)題意當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積為，D錯誤.故選：C二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列通項公式中，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；對于B，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；對于C，由于，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列；對于D，由于，當時，，，即，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．故選：ABD.10.已知，.若，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為9C.的最大值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】由題意知，.A.，當，即時，等號成立，所以的最小值是4，故A不正確；B.，當，時，等號成立，所以的最小值為9，故B正確；C.由于，，故，當時等號成立，即時等號成立，所以的最大值為，故C正確；D.，當且僅當時，即時，等號成立，但，所以等號不能成立，故D不正確.故選：BC.11.已知內(nèi)角對邊分別為a,b,c，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為銳角三角形D.若的三角形有兩解【答案】ABD【解析】對于A，因為，則由正弦定理可得，，所以，即，故A正確；對于B，由余弦定理得，化簡得，故為等腰三角形，故B正確；對于C，由余弦定理，因為，所以，故只能判斷為銳角，無法判斷，故C錯誤；對于D，若，則由正弦定理得，因為，所以三角形有兩解，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若函數(shù)是奇函數(shù)，則________.【答案】【解析】若，則，故，而，所以.故答案為：13.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的正視圖的面積是_____，體積是_____．【答案】①.②.【解析】由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示：該幾何體為直三棱柱，正視圖為等腰直角三角形，且斜邊長上的高為，斜邊長為，故該“塹堵”的正視圖的面積是，體積為.故答案為：；.14.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點，，若點，且，則直線的斜率為________.【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，，則直線，，聯(lián)立方程，消去得，，則，，故，，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故，令，解得．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）函數(shù)取得最大值或最小值時的x組成集合A，將集合A中的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為，求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，所以且時，最小值為，且時，最大值為，結(jié)合題意知，，故（2）由，所以.16.某學習小組在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù)，；；.（1）求出這個常數(shù)；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解：（1）因為，故常數(shù)為；（2）推廣：當時，．證明：因為，則，．17.在如圖所示的五面體中，四邊形為直角梯形，，平面平面，，是邊長為2的正三角形.（1）證明：平面；（2）證明：平面．

證明：（1）因為四邊形為直角梯形，所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDE