2025屆陜西省寶雞市高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省寶雞市2025屆高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個選項正確.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，,故，故選；C2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為復數(shù)滿足，則，因此，復數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】.而，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，，因為，則①，等式①的兩邊同時除以可得，解得，故選：D.6.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.設，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，所以，因為，可得，所以，所以，所以，，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因此.故選：B.7.已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線于、兩點.若的中點坐標為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，因為線段的中點坐標為，則，則，兩式相減得，則，因為，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：D.8.某農(nóng)村合作社引進先進技術提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術，以此達到10年內每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.3937萬元 B.3837萬元 C.3737萬元 D.3637萬元【答案】A【解析】設該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則.C.若，則D.若，則.【答案】AC【解析】對于A：因為，可知在平面內存在直線，使得，如圖所示，又因為，且，則，所以，因此A正確；對于B：如圖所示：，但，故B錯誤；對于C：若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確.對于D：，如圖所示，，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.6個零點之和是6【答案】BD【解析】由函數(shù)的圖像，經(jīng)過軸翻折變換，可得函數(shù)的圖像，再向右平移1個單位，可得的圖像，最終經(jīng)過軸翻折變換，可得的圖像，如圖所示，則函數(shù)的圖像關于直線對稱，令，因為函數(shù)最小的零點為，且，故當時，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則或，由，可得或，設的四個根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱，可得所以的所有零點之和是6，故D正確；關于的方程的兩個實數(shù)根為和，由韋達定理，得，所以B正確，A，C錯誤.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為3D.若在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，當時，若，則，由于在上單調遞增，故在上單調遞增；故A正確；對于B，若，且，則當且僅當，故B正確；對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象所對應的函數(shù)表達式為：，若的圖象關于軸對稱，則，注意到，所以當且僅當時，的最小值為4，故C錯誤；對于D，，，得到，若在上恰有4個零點，則當且僅當，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為__________.【答案】【解析】設弦長為，過原點且傾斜角為60°的直線方程為整理圓的方程為：，圓心為，半徑圓心到直線的距離為：則：故答案為：13.已知數(shù)列前項和為，且，若存在兩項使得，當時，則最小值是__________.【答案】4【解析】由，得，兩式相減得，而，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即，因為，則，即，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以最小值是，故答案為：.14.已知曲線在點處的切線與曲線相切，則__________.【答案】【解析】因為的導數(shù)為，則，所以曲線在處的切線方程為，即，又切線與曲線相切，設切點為，因為，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為；.四?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，已知的半徑是1，點在直徑的延長線上，，點是上半圓上的動點，以為邊作等邊三角形，且點與圓心分別在的兩側.（1）若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù).（2）求四邊形的面積的最大值.解：（1）由已知：，在中，，由余弦定理知：，所以，，，即；（2）由（1）知，則，所以，當，即時取到最大值.即四邊形的面積的最大值為.16.統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為年—年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對應的代碼依次為—.年份代碼市場規(guī)模，，，其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關系，請估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結果精確到）；（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學期望和方差.解：（1）設，則，因為，，，所以，，所以，與的擬合函數(shù)關系式為當時，，則估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.（2）由題意知，所以，，，由，可得，因為，解得，所以，，.17.如圖，在正四棱柱中，.點分別在棱上，.（1）證明：；（2）是在棱上否存在點，使得二面角為，若存在，求出點位置，若不存在，請說明理由.（1）證明：以坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，又不在同一條直線上，.（2）解：假設在棱上存在點，使得二面角為，則，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，，化簡可得，，解得或，或，所以在棱上存在點，使得二面角為，點是線段靠近兩端點的兩個四等分點.18.已知拋物線的準線與橢圓相交所得線段長為.（1）求拋物線的方程；（2）設圓過，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當在拋物線上運動時，弦的長是否有定值？說明理由；（3）過作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.（1）解：由已知，拋物線準線與橢圓相交線段的一個端點坐標是，把代入橢圓方程化簡得，解得.所以拋物線的方程為.（2）解：假設在拋物線上運動時弦的長為定值，理由如下：設在拋物線上，可知到軸距離為，根據(jù)圓的弦長公式可知：，由已知，，所以，則在拋物線上運動時弦的長的定值為.（3）解：若過點且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設過的的兩條直線的方程分別為、，其中，設直線交拋物線于點、，由得，，由韋達定理可得，則，同理可得，所以，四邊形的面積，當且僅當時，即當時，等號成立，即四邊形的面積的最小值為.19.已知函數(shù)．（1）當時，則過點的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；（2）討論的單調性；（3）若有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，，，設切點為，因為切線過點0,2，所以切線斜率存在，故可設切線方程為，則，化簡可得，即，由的判別式知方程有2個不等實根且不為1，故有3個不等的實根，所以切線有3條，其中一條切點橫坐標為1，故，所以切線方程為.（2），當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；當時，，所以或時，f'x>0，單調遞增，當時，f'x<0，當時，，所以或時，f'x>0，單調遞增，當時，f'x<0，綜上，時，在上單調遞增，無遞減區(qū)間；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.（3）當時，，函數(shù)僅有1個零點1；當時，由（2）知，的極大值為，且當時，，若有唯一零點，則，解得，故，當時，由（2）知，的極大值為，同理，若有唯一零點，則，解得，故，綜上，實數(shù)a的取值范圍陜西省寶雞市2025屆高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個選項正確.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，,故，故選；C2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為復數(shù)滿足，則，因此，復數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】.而，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，，因為，則①，等式①的兩邊同時除以可得，解得，故選：D.6.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.設，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，所以，因為，可得，所以，所以，所以，，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因此.故選：B.7.已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線于、兩點.若的中點坐標為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，因為線段的中點坐標為，則，則，兩式相減得，則，因為，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：D.8.某農(nóng)村合作社引進先進技術提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術，以此達到10年內每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.3937萬元 B.3837萬元 C.3737萬元 D.3637萬元【答案】A【解析】設該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則.C.若，則D.若，則.【答案】AC【解析】對于A：因為，可知在平面內存在直線，使得，如圖所示，又因為，且，則，所以，因此A正確；對于B：如圖所示：，但，故B錯誤；對于C：若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確.對于D：，如圖所示，，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.6個零點之和是6【答案】BD【解析】由函數(shù)的圖像，經(jīng)過軸翻折變換，可得函數(shù)的圖像，再向右平移1個單位，可得的圖像，最終經(jīng)過軸翻折變換，可得的圖像，如圖所示，則函數(shù)的圖像關于直線對稱，令，因為函數(shù)最小的零點為，且，故當時，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則或，由，可得或，設的四個根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱，可得所以的所有零點之和是6，故D正確；關于的方程的兩個實數(shù)根為和，由韋達定理，得，所以B正確，A，C錯誤.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為3D.若在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，當時，若，則，由于在上單調遞增，故在上單調遞增；故A正確；對于B，若，且，則當且僅當，故B正確；對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象所對應的函數(shù)表達式為：，若的圖象關于軸對稱，則，注意到，所以當且僅當時，的最小值為4，故C錯誤；對于D，，，得到，若在上恰有4個零點，則當且僅當，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為__________.【答案】【解析】設弦長為，過原點且傾斜角為60°的直線方程為整理圓的方程為：，圓心為，半徑圓心到直線的距離為：則：故答案為：13.已知數(shù)列前項和為，且，若存在兩項使得，當時，則最小值是__________.【答案】4【解析】由，得，兩式相減得，而，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即，因為，則，即，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以最小值是，故答案為：.14.已知曲線在點處的切線與曲線相切，則__________.【答案】【解析】因為的導數(shù)為，則，所以曲線在處的切線方程為，即，又切線與曲線相切，設切點為，因為，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為；.四?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，已知的半徑是1，點在直徑的延長線上，，點是上半圓上的動點，以為邊作等邊三角形，且點與圓心分別在的兩側.（1）若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù).（2）求四邊形的面積的最大值.解：（1）由已知：，在中，，由余弦定理知：，所以，，，即；（2）由（1）知，則，所以，當，即時取到最大值.即四邊形的面積的最大值為.16.統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為年—年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對應的代碼依次為—.年份代碼市場規(guī)模，，，其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關系，請估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結果精確到）；（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學期望和方差.解：（1）設，則，因為，，，所以，，所以，與的擬合函數(shù)關系式為當時，，則估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.（2）由題意知，所以，，，由，可得，因為，解得，所以，，.17.如圖，在正四棱柱中，.點分別在棱上，.（1）證明：；（2）是在棱上否存在點，使得二面角為，若存在，求出點位置，若不存在，請說明理由.（1）證明：以坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，又不在同一條直線上，.（2）解：假設在棱上存在點，使得二面角為，則，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，，化簡可得，，解得或，或，所以在棱上存在點，使得二面角為，點是線段靠近兩端點的兩個四等分點.18.已知拋物線的準線與橢圓相交所得線段長