2025屆云南省昆明市高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市2025屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榕c在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故選：B.3.蘇州荻溪倉(cāng)始建于明代，曾作為古代官方桹倉(cāng)，圓筒桹倉(cāng)簡(jiǎn)約美觀、儲(chǔ)存容量大，在糧食儲(chǔ)存方面優(yōu)勢(shì)明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設(shè)計(jì)圓筒糧倉(cāng)模型時(shí)，將糧倉(cāng)的屋頂近似看成一個(gè)圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，高為.由，得，，所以該圓錐的體積.故選：A.4.已知，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?又，所以，所以故選：C.5.已知向量，，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】設(shè)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng).作出直線與函數(shù)的圖象，函數(shù)，令，當(dāng)x=2時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)取最小值.故選：B.6.下列函數(shù)，滿足“對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，令，，則，，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，所以即，所以，滿足條件,故C正確；對(duì)于D，令，，則，不滿足條件，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且.將曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)最小正周期為，因?yàn)樵趨^(qū)間0,1上單調(diào)，在處取得最大值，且.所以，所以.又，所以，.又，所以，，所以.求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=gx與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)時(shí)，取，得，，所以曲線y=gx與曲線區(qū)間0,2上有2個(gè)交點(diǎn)，區(qū)間上無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取，得，結(jié)合圖象，知曲線y=gx與曲線在上有2所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：A.8.已知函數(shù)，，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減.又，，，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)是B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則C.張彩票中只有張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于，則的最小值為D.已知數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)加入和兩個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的方差【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，知數(shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，可得，解得，又因?yàn)?，所以，的最小值為，故C正確；對(duì)于D，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)仍為，由方差公式，得，解得，則新數(shù)據(jù)的方差，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)在處取得極值，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.有3個(gè)零點(diǎn)C.在上的最小值為D.在R上恒成立【答案】BC【解析】由，得.由，得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對(duì)于A，由或得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，，，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合的單調(diào)性及，，得當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由，得，，所以，不滿足在上恒成立，故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.如圖，已知圓，過原點(diǎn)作射線交圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)），交直線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），再以為圓心、線段的長(zhǎng)為半徑作圓與射線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.設(shè)，，則下列說法正確的是（）A.曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B.C.曲線的方程為D.過點(diǎn)且與垂直的直線必與拋物線相切【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)射線與軸非負(fù)半軸重合時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)，但A，B兩點(diǎn)不重合，所以等號(hào)取不到.當(dāng)射線的傾斜角從0逐漸趨近于時(shí)，點(diǎn)位于直線左側(cè)且無限趨近于該直線，即，故A正確；對(duì)于B，由題圖，知，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)Mx,y，則，，代入，得.又，代入整理，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，，則①，設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即，與聯(lián)立，得，結(jié)合①，得，所以過點(diǎn)且與垂直的直線必與拋物線相切，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為______.【答案】【解析】由，得，則.又，所以所求切線方程為.又切線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，所以所求的三角形面積.故答案為：.13.甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒有平局，各局比賽的結(jié)果互不影響.約定當(dāng)一方勝的局?jǐn)?shù)比另一方多兩局時(shí)即可獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)最終比賽局?jǐn)?shù)為，則______.【答案】【解析】由題意，得若比賽局?jǐn)?shù)為6，最終比分為4：2，則前兩局雙方各勝一局，第3，4局雙方各勝一局，最后兩局甲全勝或乙全勝，所以，所以.故答案為：.14.過雙曲線的左焦點(diǎn)作軸的垂線，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意及，得.由已知可得，.設(shè)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若的周長(zhǎng)為，求的面積.解：（1）由題意及余弦定理，得，所以.由，得.又B∈0,π（2）由（1），得，所以.又，所以，，，所以的面積.16.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為12.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.（1）解：由題意，得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由（1），知F1-1,0，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，由及對(duì)稱性，知，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，則.當(dāng)直線斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)其方程為，由得，，設(shè)Ax1,y1，B所以，，所以.綜上，為定值.17.已知函數(shù).（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值.（1）證明：的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以.（2）解：令，則在上恒成立.求導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，若，可得，所以在上單調(diào)遞增，若，可得，所以在上單調(diào)遞減，所以，只需即可.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以.又，所以的最大值為.18.如圖，在三棱錐中，平面，，分別是，的中點(diǎn)，，，.延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若點(diǎn)，分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.（1）證明：因?yàn)椋?，，是的中點(diǎn)，所以，兩邊平方，得，即，得，所以.又平面，所以，，兩兩垂直.,如圖，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，.所以，，所以，所以.（2）解：由題意，知平面的一個(gè)法向量是.易得，.設(shè)平面的法向量是n=x,y,令，得，所以平面的一個(gè)法向量是，所以，由圖，知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）解：因?yàn)辄c(diǎn)N，Q分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以.設(shè)，，則，所以，所以所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，為.19.設(shè)數(shù)列是一個(gè)無限數(shù)列，若對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)，不等式對(duì)每一個(gè)大于的正整數(shù)都成立，則稱是階友好數(shù)列.（1）若，證明：是2階友好數(shù)列，但不是1階友好數(shù)列.（2）若是1階友好數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)椋砸C是2階友好數(shù)列，只需證不等式對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，只需證對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，只需證，即對(duì)每一個(gè)大于2的正整數(shù)都成立，這是顯然成立的，所以是2階友好數(shù)列.又，，，所以，所以不是1階友好數(shù)列.（2）解：因?yàn)槭?階友好數(shù)列，所以對(duì)每一個(gè)大于1的正整數(shù)都成立，即對(duì)每一個(gè)大于1的正整數(shù)都成立.令.①由上述過程，知，所以，所以.②要證，只需證，只需證，即證（*）.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即證，由，得，，，，此時(shí)（*）式顯然成立.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即證，由，得，，，，此時(shí)（*）式也顯然成立，所以.云南省昆明市2025屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榕c在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故選：B.3.蘇州荻溪倉(cāng)始建于明代，曾作為古代官方桹倉(cāng)，圓筒桹倉(cāng)簡(jiǎn)約美觀、儲(chǔ)存容量大，在糧食儲(chǔ)存方面優(yōu)勢(shì)明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設(shè)計(jì)圓筒糧倉(cāng)模型時(shí)，將糧倉(cāng)的屋頂近似看成一個(gè)圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，高為.由，得，，所以該圓錐的體積.故選：A.4.已知，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?又，所以，所以故選：C.5.已知向量，，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】設(shè)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng).作出直線與函數(shù)的圖象，函數(shù)，令，當(dāng)x=2時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)取最小值.故選：B.6.下列函數(shù)，滿足“對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，令，，則，，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，所以即，所以，滿足條件,故C正確；對(duì)于D，令，，則，不滿足條件，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且.將曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)最小正周期為，因?yàn)樵趨^(qū)間0,1上單調(diào)，在處取得最大值，且.所以，所以.又，所以，.又，所以，，所以.求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=gx與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)時(shí)，取，得，，所以曲線y=gx與曲線區(qū)間0,2上有2個(gè)交點(diǎn)，區(qū)間上無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取，得，結(jié)合圖象，知曲線y=gx與曲線在上有2所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：A.8.已知函數(shù)，，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減.又，，，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)是B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則C.張彩票中只有張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于，則的最小值為D.已知數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)加入和兩個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的方差【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，知數(shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，可得，解得，又因?yàn)?，所以，的最小值為，故C正確；對(duì)于D，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)仍為，由方差公式，得，解得，則新數(shù)據(jù)的方差，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)在處取得極值，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.有3個(gè)零點(diǎn)C.在上的最小值為D.在R上恒成立【答案】BC【解析】由，得.由，得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對(duì)于A，由或得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，，，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合的單調(diào)性及，，得當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由，得，，所以，不滿足在上恒成立，故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.如圖，已知圓，過原點(diǎn)作射線交圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)），交直線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），再以為圓心、線段的長(zhǎng)為半徑作圓與射線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.設(shè)，，則下列說法正確的是（）A.曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B.C.曲線的方程為D.過點(diǎn)且與垂直的直線必與拋物線相切【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)射線與軸非負(fù)半軸重合時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)，但A，B兩點(diǎn)不重合，所以等號(hào)取不到.當(dāng)射線的傾斜角從0逐漸趨近于時(shí)，點(diǎn)位于直線左側(cè)且無限趨近于該直線，即，故A正確；對(duì)于B，由題圖，知，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)Mx,y，則，，代入，得.又，代入整理，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，，則①，設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即，與聯(lián)立，得，結(jié)合①，得，所以過點(diǎn)且與垂直的直線必與拋物線相切，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為______.【答案】【解析】由，得，則.又，所以所求切線方程為.又切線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，所以所求的三角形面積.故答案為：.13.甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒有平局，各局比賽的結(jié)果互不影響.約定當(dāng)一方勝的局?jǐn)?shù)比另一方多兩局時(shí)即可獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)最終比賽局?jǐn)?shù)為，則______.【答案】【解析】由題意，得若比賽局?jǐn)?shù)為6，最終比分為4：2，則前兩局雙方各勝一局，第3，4局雙方各勝一局，最后兩局甲全勝或乙全勝，所以，所以.故答案為：.14.過雙曲線的左焦點(diǎn)作軸的垂線，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意及，得.由已知可得，.設(shè)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若的周長(zhǎng)為，求的面積.解：（1）由題意及余弦定理，得，所以.由，得.又B∈0,π（2）由（1），得，所以.又，所以，，，所以的面積.16.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為12.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.（1）解：由題意，得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由（1），知F1-1,0，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，由及對(duì)稱性，知，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，則.當(dāng)直線斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)其方程為，由得，，設(shè)Ax1,y1，B所以，，所以.綜上，為定值.17.已知函數(shù).（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值.（1）證明：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以.（2）解：令，則在上恒成立.求導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，若