2025屆浙江省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期新高考研究卷（三）（全國1卷）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期新高考研究卷（三）（全國1卷）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】C【解析】因為集合，，則聯(lián)立，解得或，故，集合中有2個元素.故選：C.2.已知z為復(fù)數(shù)，則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，又，所以，所以是的充要條件.故選：.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則周期，故選：B.4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，可知，，又，所以，所以.故選：D5.已知向量，滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,又,,即,,.故選：A.6.數(shù)列滿足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】對于A，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故D錯誤；故選：B.7.將100名學(xué)生隨機分為10個小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將名學(xué)生隨機分成個小組的分法有種分法，其中甲乙在同一組的分法有種分法，所以學(xué)生甲乙在同一組的概率為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故，同理得，故，又，令，，則，故在上單調(diào)遞減，且，故，即，故，則，而，故，故，，所以，其中，，故，經(jīng)過計算，，故，所以，綜上，.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)可能沒有零點 B.函數(shù)可能有一個零點C.函數(shù)一定是中心對稱圖形 D.函數(shù)可能是軸對稱圖形【答案】BC【解析】對于AB，函數(shù)是一個三次函數(shù)，其值域為，所以函數(shù)至少有一個零點，故A錯誤，B正確；對于C，，則為定值，所以函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形，故C正確；對于D，三次函數(shù)不可能時軸對稱圖形，故D錯誤.故選：BC.10.已知點M是拋物線與圓的交點，點F為拋物線C的焦點，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為2B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點，且，則【答案】ACD【解析】聯(lián)立方程組，消去可得，解得，因為，，所以，于是，則的最小值為2，故A正確；此時圓與拋物線只有一條公切線為軸，故B錯誤；若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，到準(zhǔn)線的距離為4，所以軸，故C正確；由可得，則為等邊三角形，又焦點到準(zhǔn)線的距離為4，則，故D正確；故選：ACD11.設(shè)點P為正方體的上底面上一點，下列說法正確的有（）A.存在點P，使得與平面所成角為B.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于C.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于D.存在點P，使得與平面所成角為【答案】ABC【解析】對于A選項，因為正方體中，平面，當(dāng)與重合時，平面就是平面.此時平面，則與平面所成角為，所以A選項正確.對于B選項，設(shè)正方體棱長為，，.由于，設(shè)，到平面的距離分別為，，為的面積.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），可得.當(dāng)為時，，所以B選項正確.對于C選項，當(dāng)為時,，到平面的距離之和最小，到平面距離為0,到平面距離為到平面距離,等于，所以C選項正確.對于D選項，當(dāng)為時,與平面所成角最小，,則.所以D選項錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在處取得最大值，則__________.【答案】【解析】因為，設(shè)，，則，，當(dāng)，時，即當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，所以.故答案為：.13.已知：當(dāng)無窮大時，的值為，記為.運用上述結(jié)論，可得______.【答案】.【解析】令，則，，則，因為，則.故答案為：.14.表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.【答案】①.②.【解析】因為，故；又為正整數(shù)，所以，而，故，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分數(shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分數(shù)不服從正態(tài)分布.（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；（2）根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點；參考數(shù)據(jù)：若，則，，.解：（1）由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，由，可得，則，所以分數(shù)在70分及以下的學(xué)生有，所以學(xué)生小A被抽到的概率（2）由，可得：所以甲校不低于130分的概率為，得分不高于58分的概率為，所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少16.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且.（1）求的長（用a，b表示）；（2）若雙曲線的離心率，求證：.（1）解：，故兩點都在雙曲線右支上，設(shè)，則，由雙曲線定義知，，因為，所以，由余弦定理得，化簡得，所以；（2）證明：在中，由正弦定理得，所以，由（1）知，，故，又，故，且，所以，所以為銳角，故.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.解：（1）由題意，所以切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）令，則，所以恒成立等價于恒成立，，當(dāng)，則在0,+∞上單調(diào)遞增，而，不符合題意.當(dāng)，由得，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，令，則h1=0，又由得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，，所以，所以m的最大值與最小值之差大于.18.在四棱錐中，，，底面，點O在上，且.（1）求證：；（2）若，，點在上，平面，求的值；（3）若，二面角的正切值為，求二面角的余弦值.（1）證明：連接，因為底面，平面，所以，即，又，，所以，所以，故又，所以，，又，所以，因為底面，平面，所以，又，所以；（2）解：連接交于點，連，因平面，平面平面，平面，所以，故，因為，，所以，故四邊形是圓內(nèi)接四邊形，又，所以，因，，點為的中點，所以，，故，設(shè)，則，，在中，由余弦定理可得，所以，于是；（3）解：以點為原點，，，為，，軸正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系，則,所以,設(shè)n1=x1所以，故，令，則，所以為平面的一個法向量，過點作于，因為底面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，故二面角的平面角為，由已知，所以，于是，，又，所以，又，所以，故，所以點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，所以，設(shè)平面的法向量，所以，兩式相減得，令，則，所以為平面的一個法向量，,所以，觀察可得二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19.在數(shù)列中，，，對滿足的任意正整數(shù)m，n，p，q，都有成立.（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求a，b滿足的條件；（2）若，，設(shè).①求數(shù)列的通項公式；②求證：.（1）解：因為數(shù)列an是等比數(shù)列，設(shè)其公比為t，且滿足，則，結(jié)合，可得，所以，故，即a，b滿足的條件為；（2）①解：由，得，結(jié)合，，故，即，故是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，故；②證明：由①知，故；先證，即證，即證，即證，而恒成立，故總成立，當(dāng)n為奇數(shù)時，，即；當(dāng)n偶數(shù)時，，而，即；綜合上述可知.浙江省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期新高考研究卷（三）（全國1卷）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】C【解析】因為集合，，則聯(lián)立，解得或，故，集合中有2個元素.故選：C.2.已知z為復(fù)數(shù)，則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，又，所以，所以是的充要條件.故選：.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則周期，故選：B.4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，可知，，又，所以，所以.故選：D5.已知向量，滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,又,,即,,.故選：A.6.數(shù)列滿足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】對于A，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故D錯誤；故選：B.7.將100名學(xué)生隨機分為10個小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將名學(xué)生隨機分成個小組的分法有種分法，其中甲乙在同一組的分法有種分法，所以學(xué)生甲乙在同一組的概率為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故，同理得，故，又，令，，則，故在上單調(diào)遞減，且，故，即，故，則，而，故，故，，所以，其中，，故，經(jīng)過計算，，故，所以，綜上，.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)可能沒有零點 B.函數(shù)可能有一個零點C.函數(shù)一定是中心對稱圖形 D.函數(shù)可能是軸對稱圖形【答案】BC【解析】對于AB，函數(shù)是一個三次函數(shù)，其值域為，所以函數(shù)至少有一個零點，故A錯誤，B正確；對于C，，則為定值，所以函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形，故C正確；對于D，三次函數(shù)不可能時軸對稱圖形，故D錯誤.故選：BC.10.已知點M是拋物線與圓的交點，點F為拋物線C的焦點，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為2B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點，且，則【答案】ACD【解析】聯(lián)立方程組，消去可得，解得，因為，，所以，于是，則的最小值為2，故A正確；此時圓與拋物線只有一條公切線為軸，故B錯誤；若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，到準(zhǔn)線的距離為4，所以軸，故C正確；由可得，則為等邊三角形，又焦點到準(zhǔn)線的距離為4，則，故D正確；故選：ACD11.設(shè)點P為正方體的上底面上一點，下列說法正確的有（）A.存在點P，使得與平面所成角為B.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于C.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于D.存在點P，使得與平面所成角為【答案】ABC【解析】對于A選項，因為正方體中，平面，當(dāng)與重合時，平面就是平面.此時平面，則與平面所成角為，所以A選項正確.對于B選項，設(shè)正方體棱長為，，.由于，設(shè)，到平面的距離分別為，，為的面積.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），可得.當(dāng)為時，，所以B選項正確.對于C選項，當(dāng)為時,，到平面的距離之和最小，到平面距離為0,到平面距離為到平面距離,等于，所以C選項正確.對于D選項，當(dāng)為時,與平面所成角最小，,則.所以D選項錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在處取得最大值，則__________.【答案】【解析】因為，設(shè)，，則，，當(dāng)，時，即當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，所以.故答案為：.13.已知：當(dāng)無窮大時，的值為，記為.運用上述結(jié)論，可得______.【答案】.【解析】令，則，，則，因為，則.故答案為：.14.表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.【答案】①.②.【解析】因為，故；又為正整數(shù)，所以，而，故，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分數(shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分數(shù)不服從正態(tài)分布.（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；（2）根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點；參考數(shù)據(jù)：若，則，，.解：（1）由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，由，可得，則，所以分數(shù)在70分及以下的學(xué)生有，所以學(xué)生小A被抽到的概率（2）由，可得：所以甲校不低于130分的概率為，得分不高于58分的概率為，所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少16.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且.（1）求的長（用a，b表示）；（2）若雙曲線的離心率，求證：.（1）解：，故兩點都在雙曲線右支上，設(shè)，則，由雙曲線定義知，，因為，所以，由余弦定理得，化簡得，所以；（2）證明：在中，由正弦定理得，所以，由（1）知，，故，又，故，且，所以，所以為銳角，故.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.解：（1）由題意，所以切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）令，則，所以恒成立等價于恒成立，，當(dāng)，則在0,+∞上單調(diào)遞增，而，不符合題意.當(dāng)，由得，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，令，則h1=0，又由得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，，