中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型訓(xùn)練專題02 與圓有關(guān)的計(jì)算求陰影部分的面積（解析版）

專題02與圓有關(guān)的計(jì)算求陰影部分的面積選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了5次，其中2021年出題方向?yàn)榍蠡￠L(zhǎng)，其余年份均為求陰影部分面積。該題位于填空題的第14題，分值3分。本題計(jì)算量大，難度系數(shù)中等偏上，得分率較低。本題屬于幾何范疇，一般涉及三角形、四邊形、扇形的面積，多以平移、對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)為背景，對(duì)組合圖形所形成陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算。若所求陰影部分的圖形是規(guī)則圖形，則直接用公式法計(jì)算。若所求陰影部分的圖形是不規(guī)則圖形，則采用轉(zhuǎn)化思想將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。常用的方法有和差法、割補(bǔ)法等積交換法。主要解題思路1、確定弧所對(duì)的圓心（找圓心）；連接圓心與弧上的點(diǎn)（找扇形）；3、利用規(guī)則圖形的面積進(jìn)行加減。真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第14題如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O'處，得到扇形A'O'B'，若∠O=90°，OA=2，則陰影部分的面積為.【答案】π3+【解析】本題主要考察了如何利用扇形的面積公式求陰影部分的面積。本題的關(guān)鍵在于如何利用規(guī)則圖形的面積進(jìn)行加減，求不規(guī)則圖形的面積。對(duì)于該題，連接用扇形的OT'，構(gòu)建出扇形，即得陰影部分的面積?！驹斀狻拷猓喝鐖D，設(shè)O'A'交AB于點(diǎn)T，連接OT，∵OT=OB，OO'=O'B,∴OT=2OO'.∵∠OO'T=90°，∴∠O'TO=30°，∠TOO'=60°，O'T=OT?cos30°∴S陰影=S扇形O'A'B'-（S扇形OTB-S△OO'T）=90?π?4360—（60?π?4360?1【總結(jié)】本題的關(guān)鍵在于如何利用規(guī)則圖形的面積進(jìn)行加減，求不規(guī)則圖形的面積。2021年河南中招填空題第15題15.如圖,在扇形中,平分交弧于點(diǎn).點(diǎn)為半徑上一動(dòng)點(diǎn)若,則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為．【答案】22+【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，動(dòng)點(diǎn)中的最短距離問題，如何判斷E點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵，可以利用找對(duì)稱點(diǎn)的方法確定最短距離的點(diǎn)位置，然后用弧長(zhǎng)加上兩線段的最短距離即為所求圖形的周長(zhǎng)?！驹斀狻拷猓喝鐖D作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'C交OB于點(diǎn)E，連接E'D、OD'，此時(shí)E'C+E'D最小，即：E'C+E'D=D'C由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°∴∠COD'=90°∴CD'=OC2+OD'2CD的長(zhǎng)l=30?π?2∴陰影部分的周長(zhǎng)最小值為22+故答案為22+【總結(jié)】本題考查了弧長(zhǎng)公式，動(dòng)點(diǎn)中的最短距離問題，如何判斷E點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵，可以利用找對(duì)稱點(diǎn)的方法確定最短距離的點(diǎn)位置。2019年河南中招填空題第14題120，半徑D，且OA．若

則陰影部分的面積為 ．【答案】π+【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決．【解答】解：作OE⊥AB于點(diǎn)F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案為：π+【總結(jié)】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2018年河南中招填空題第15題14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B′C'，其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為BB'，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】【解析】連接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根據(jù)S陰=S扇形BDB′－S△DBC－S△DB′C，計(jì)算即可．【詳解】△ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B′C'，此時(shí)點(diǎn)A′在斜邊AB上，CA′⊥AB，連接DB、DB′，則DB′=，A′B′=，∴S陰=．故答案為．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．模擬演練1．如圖，在等腰中，，，斜邊的中點(diǎn)為，分別以點(diǎn)，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與、相交，則圖中的陰影部分的面積為（結(jié)果保留【答案】【解析】本題主要考察求三角形的面積和扇形的面積公式，利用三角形的面積減去扇形的面積即得陰影部分的面積。【詳解】解：在等腰中，，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，陰影部分面積為：．故答案為：．【總結(jié)】正確運(yùn)用扇形的面積公式是解本題的關(guān)鍵。2.如圖，△ABC為等腰直角三角形，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的對(duì)稱軸上，若，則線段掃過(guò)的陰影面積為________．【答案】【解析】如圖，根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接BD，點(diǎn)D在等腰直角三角形ABC的對(duì)稱軸上，∴DB=DC，在中，，，由旋轉(zhuǎn)可得，DC=BC，∴，，=，故答案為：．【總結(jié)】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，扇形的面積，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積和扇形的面積問題是解本題的關(guān)鍵．3.如圖，點(diǎn)B，C在上，連接AD，AB，AC，BC．若，所在的圓的半徑為3，則陰影部分的面積為_________．【答案】【解析】求弓形面積，利用所在的扇形的面積，再減去三角形的面積，因此構(gòu)造弓形所屬扇形，用求出問題．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)O為所在圓的圓心，連接OB，OC，如圖所示，則，∵，∴是等邊三角形，∴．∴．故答案為：．【總結(jié)】本題考查弓形面積，利用所在的扇形的面積，再減去三角形的面積，解題關(guān)鍵熟記公式、．4.如圖，，，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，∴由勾股定理得，，陰影部分面積，故答案為：【總結(jié)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，含角的直角三角形的性質(zhì)，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5.如圖，一只羊被4米長(zhǎng)的繩子拴在長(zhǎng)為3米，寬為2米的長(zhǎng)方形封閉圍墻的一個(gè)頂點(diǎn)上，則這頭羊活動(dòng)范圍的最大面積是______米．【答案】【解析】根據(jù)題意可知，該羊活動(dòng)的范圍有三部分構(gòu)成：一是半徑為4、圓心角為270°的扇形區(qū)域，二是半徑為2、圓心角為90°的扇形區(qū)域，三是半徑為1、圓心角為90°的扇形區(qū)域，由扇形的面積公式即可作答．【詳解】根據(jù)繩子的長(zhǎng)度以及矩形的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，可知羊活動(dòng)的區(qū)域，如圖所示，則羊活動(dòng)的范圍為：（平方米），故答案為：．【總結(jié)】本題考查了扇形面積的計(jì)算公式，解題時(shí)關(guān)鍵是要根據(jù)繩子的長(zhǎng)度以及矩形的形狀找到羊可以活動(dòng)的范圍．6.有一張矩形紙片，其中，以為直徑的半圓，正好與對(duì)邊相切，如圖（甲），將它沿折疊，使點(diǎn)落在上，如圖（乙），這時(shí)，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是_______．【答案】【解析】如圖，露在外面部分的面積可用扇形ODK與△ODK的面積差來(lái)求得．在Rt△ADC中，可根據(jù)AD即圓的直徑和CD的關(guān)系，求出∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ODA和∠ODK的度數(shù)，即可求得△ODK和扇形DOK的面積，由此可求得陰影部分的面積．【詳解】如圖，點(diǎn)O為半圓的圓心，過(guò)點(diǎn)O作作OH⊥DK于H，∵以AD為直徑的半圓，正好與對(duì)邊BC相切，∴AD=2CD，∵∠C=90o，∴∠DAC=30o，∴∠ODK=30o，∵OD=OK，∴∠DOK=120o，∠ODK=∠OKD=30o∴扇形ODK的面積為，∵∠ODK=∠OKD=30o，OD=2，∴OH=1，DH=KH=，∴DK=∴△ODK的面積為∴半圓還露在外面的部分(陰影部分)的面積是，故答案為：．

【總結(jié)】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊問題、扇形面積的計(jì)算、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．7.如圖，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA=6cm，且OA與地面垂直.在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至OB與地面垂直為止，則O點(diǎn)移動(dòng)的距離為__________．【答案】10πcm．【解析】會(huì)利用扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算；牢記弧長(zhǎng)的計(jì)算公式．【詳解】試題分析：設(shè)優(yōu)弧AB的長(zhǎng)是．根據(jù)扇形的面積公式，得：（cm）．故答案為10πcm．【總結(jié)】考點(diǎn)：1．扇形面積的計(jì)算；2．弧長(zhǎng)的計(jì)算．8.如圖所示，在矩形ABCD中，如圖AB＜BC，以點(diǎn)C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑的圓分別交AD邊于點(diǎn)E，交CD邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AE＝DF，弧EF的長(zhǎng)為π，則DE的長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】連接CE，則CB=CE=CF設(shè)CB=R，則CE=CF=DA，推出∠DCE=45°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出R，然后利用等腰直角三角形求出DE．【詳解】解：連接CE，則CB＝CE＝CF，設(shè)CB＝R，∵四邊形ABCD是矩形，∴CE＝CF＝DA，∵AE＝DF，∴DE＝DC，∴∠DCE＝45°，∵的長(zhǎng)為π，∴π，解得R＝4，在Rt△DCE中，DE＝CE?sin45°＝4＝2．故答案為：2．【總結(jié)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出BM的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．9.如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，D，點(diǎn)C為弧BD上一點(diǎn)．若，則弧CD的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，可得：，，∴弧CD的長(zhǎng)為：．故答案為：【總結(jié)】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半；弧長(zhǎng)公式：（為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；為半徑）10.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，以AB為直徑作一個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積為___________.【答案】π﹣24【解析】首先根據(jù)菱