中考數(shù)學二輪復習講練測題型九 二次函數(shù)綜合題 類型三 二次函數(shù)與面積有關的問題（專題訓練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型三二次函數(shù)與面積有關的問題（專題訓練）1.已知二次函數(shù)，其中．(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標；(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為，然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0即可；（3）設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為，然后求出點B的坐標，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出，過點作，垂足為，可以推出,由此即可求解．(1)解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．(2)解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．(3)解：設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為當時，，∴．將代入，解得．∵在軸的負半軸上，∴．∴．過點作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當時，此時，面積有最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵2.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點．、，與y軸交于點C．（1）________，________；（2）若點D在該二次函數(shù)的圖像上，且，求點D的坐標；（3）若點P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點，且，直接寫出點P的坐標．【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出△ABC的面積，設點D（m，），再根據(jù)，得到方程求出m值，即可求出點D的坐標；（3）分點P在點A左側(cè)和點P在點A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．【詳解】解：（1）∵點A和點B在二次函數(shù)圖像上，則，解得：，故答案為：-2，-3；（2）連接BC，由題意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），，∴S△ABC==6，∵S△ABD=2S△ABC，設點D（m，），∴，即，解得：x=或，代入，可得：y值都為6，∴D（，6）或（，6）；（3）設P（n，），∵點P在拋物線位于x軸上方的部分，∴n＜-1或n＞3，當點P在點A左側(cè)時，即n＜-1，可知點C到AP的距離小于點B到AP的距離，∴，不成立；當點P在點B右側(cè)時，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP為底，若要面積相等，則點B和點C到AP的距離相等，即BC∥AP，設直線BC的解析式為y=kx+p，則，解得：，則設直線AP的解析式為y=x+q，將點A（-1，0）代入，則-1+q=0，解得：q=1，則直線AP的解析式為y=x+1，將P（n，）代入，即，解得：n=4或n=-1（舍），，∴點P的坐標為（4，5）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行線之間的距離，一次函數(shù)，解題的難點在于將同底的三角形面積轉(zhuǎn)化為點到直線的距離．3.已知：直線與軸、軸分別交于、兩點，點為直線上一動點，連接，為銳角，在上方以為邊作正方形，連接，設．（1）如圖1，當點在線段上時，判斷與的位置關系，并說明理由；（2）真接寫出點的坐標（用含的式子表示）；（3）若，經(jīng)過點的拋物線頂點為，且有，的面積為．當時，求拋物線的解析式．【答案】（1）BE⊥AB，理由見解析；（2）（）；（3）【分析】（1）先求出點A、B的坐標，則可判斷△AOB是等腰直角三角形，然后結(jié)合正方形的旋轉(zhuǎn)可證明△AOC≌△BOE（SAS），可得∠OBE=∠OAC=45°，進而可得結(jié)論；（2）作輔助線如圖1（見解析），根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△MOC≌△NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的結(jié)論可得AC=BE=t，然后解等腰直角△ACM，可求出，進而可得答案；（3）由拋物線過點A結(jié)合已知條件可求出拋物線的對稱軸是直線x=2，然后由（2）可求出當時k=1，進一步即可求出點P的縱坐標，從而可得頂點P的坐標，于是問題可求解．【詳解】解：（1）BE⊥AB，理由如下：對于直線y=-x+1，當x=0時，y=1，當y=0時，x=1，∴B（0，1），A（1，0），∴OA=OB=1，∴∠OBA=∠OAB=45°，∵四邊形OCDE是正方形，∴OC=OE，∠COE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAC=45°，∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°，即BE⊥AB；（2）作CM⊥OA于點M，作EN⊥x軸于點N，如圖1，則∠CMO=∠ENO=90°，∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°，∴∠NEO=∠COM，又∵OC=OE，∴△MOC≌△NEO，∴CM=ON，OM=EN，在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t，∴，∴，∵點E在第二象限，∴點E的坐標是（）；（3）∵拋物線過點A（1，0），∴a+b+c=0，∵，∴消去c可得b=-4a，∴拋物線的對稱軸是直線x=2，如圖1，當時，由（2）可得，∴，∴，∴，即k=1，∴△POA的面積為，即，解得，∵a＞0，∴頂點P的縱坐標是-1，∴點P（2，-1），設，把點A（1，0）代入，可求得a=1，∴拋物線的解析式是．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有一定的難度，熟練掌握相關知識、靈活應用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于、、三點，其中點坐標為，點坐標為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運動的過程中，當為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點M的坐標，再代入二次函數(shù)表達式，求出t值，即可算出M的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（-1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點P的運動可知：AP=，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴當t==2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；（3）∵點M是線段AC上方的拋物線上的點，如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點M的坐標為（3-2t，4-t），∵點M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點的坐標為（，）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應點，點F為的對稱軸上任意一點，在上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過程見解析【分析】（1）將，的坐標代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；

（3）通過平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關系式和E的坐標，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進行討論即可．【詳解】解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為

∵點D與點C關于直線l對稱，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），設直線AD的解析式為y=kx+b；

∴，解得：，∴直線AD的函數(shù)關系式為：y=-x-1，

設P（m，m2-3m-4），

作PE∥y軸交直線AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴，∴，∴當m=1時，的面積最大，最大值為：8（3）∵直線AD的函數(shù)關系式為：y=-x-1，∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，∴拋物線沿射線AD方向平移平移個單位，相當于將拋物線向右平移4個單位，再向下平移4個單位，∵，，平移后的坐標分別為（3，-4），（8，-4），

設平移后的拋物線的解析式為則，解得：，∴平移后y1=x2-11x+20，∴拋物線y1的對稱軸為：，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：設G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），①當DE為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴②當EF為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴③當EG為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴∴或或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學思想．5.如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知△BAC的面積是6．（1）求a的值；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請求出P坐標，若不存在請說明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐標結(jié)合三角形的面積，解出a＝﹣3；（2）根據(jù)題意P的縱坐標為±3，分別代入解析式即可求得橫坐標，從而求得P的坐標．【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，則y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由圖象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴12（1﹣a）（﹣解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P點的縱坐標為±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1?∴P點的坐標為（﹣2，3）或（﹣1+7，﹣3）或（﹣1?7，6.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB．點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．（1）求此拋物線的表達式；（2）若PC∥AB，求點P的坐標；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標．【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1（2）拋物線的對稱軸為x=?74，當PC（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH【解析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1故點A、B、C的坐標分別為（﹣4，0）、（12，0）、（0，﹣則y＝a（x+4）（x?12）＝a（x2+72x﹣2）＝ax故拋物線的表達式為：y＝x2+72x（2）拋物線的對稱軸為x=?7當PC∥AB時，點P、C的縱坐標相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點P（?74，（3）過點P作PH∥y軸交AC于點H，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=?12x則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（?12x﹣2﹣x∵﹣2＜0，∴S有最大值，當x＝﹣2時，S的最大值為8，此時點P（﹣2，﹣5）．8.若一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為（3，0），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過A，B，C三點，如圖（1）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖（1），過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達式；（3）如圖（2），若點P在拋物線上（點P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．①當m=1②求m的最大值．【分析】（1）函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）證明△BCD≌△BCM（AAS），則CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），即可求解；（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，則△PFN∽△AFB，則AFPF=ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，則【解析】（1）一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得0=a?b+c0=9a+3b+cc=?3，解得a=1b=?2c=?3，故拋物線的表達式為：y＝x2（2）設直線BE交y軸于點M，從拋物線表達式知，拋物線的對稱軸為x＝2，∵CD∥x軸交拋物線于點D，故點D（2，﹣3），由點B、C的坐標知，直線BC與AB的夾角為45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），設直線BE的表達式為：y＝kx+b，則b=?13k+b=0，解得k=故直線BE的表達式為：y=13x（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，則△PFN∽△AFB，則AFPF而S△BFP＝mS△BAF，則AFPF=1①當m=1設點P（t，t2﹣2t﹣3），由點B、C的坐標知，直線BC的表達式為：y＝x﹣3，當x＝t﹣2時，y＝t﹣5，故點N（t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故點P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m=14PN=14[t﹣（t2﹣2t）]=?14∵?14＜9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標為（?2，0），直線BC的解析式為y=?（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標，則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）直線BC的解析式為y=?23x+2，令y＝0，則x＝3故點B、C的坐標分別為（32，0）、（0，2）；則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22a﹣即﹣6a＝2，解得：a=1故拋物線的表達式為：y=?13x2+2（2）如圖，過點B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點H，交BC于點F，∵AD∥BC，則設直線AD的表達式為：y=?23（x+2聯(lián)立①②并解得：x＝42，故點D（42，?10由點C、D的坐標得，直線CD的表達式為：y=?2當x＝32時，yBC=?23x+2＝﹣2，即點H（32，設點E（x，?13x2+2則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（?13x2+223x+2+2∵?22＜0，故S有最大值，當x=322時，S的最大值為（3）存在，理由：y=?13x2+223x+2=?13（x?2）2則新拋物線的表達式為：y=?13x2點A、E的坐標分別為（?2，0）、（322，52）；設點M（2，m），點N（n，s），s=?①當AE是平行四邊形的邊時，點A向右平移522個單位向上平移52個單位得到E，同樣點M（N）向右平移5即2±52則s=?13n2+8故點N的坐標為（722，?112）或（②當AE是平行四邊形的對角線時，由中點公式得：?2+322s=?13n2故點N的坐標（?22，綜上點N的坐標為：（722，?112）或（?32210.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得?4=9?3b+cc=?1，解得b=4故拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣1；（2）設直線AB的表達式為：y＝kx+t，則?4=?3k+tt=?1，解得k=1故直線AB的表達式為：y＝x﹣1，過點P作y軸的平行線交AB于點H，設點P（x，x2+4x﹣1），則H（x，x﹣1），△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）∵?32＜0，故S有最大值，當x=?（3）拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，則平移后的拋物線表達式為：y＝x2﹣5，聯(lián)立上述兩式并解得：x=?1y=?4，故點C（﹣1，﹣設點D（﹣2，m）、點E（s，t），而點B、C的坐標分別為（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①當BC為菱形的邊時，點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B，同樣D（E）向右平移1個單位向上平移3個單位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，當點D在E的下方時，則BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，當點D在E的上方時，則BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，聯(lián)立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故點E（﹣1，3）；聯(lián)立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±6，故點E（1，﹣4+6）或（1，﹣4?②當BC為菱形的的對角線時，則由中點公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此時，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，故點E（1，﹣3），綜上，點E的坐標為：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4?6）或（1，11.已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求35【分析】（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點C坐標，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設P（2，t），可得點E（5?34t，t），點②根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PH【解析】（1）根據(jù)題意，可設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠CBD=4∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=?4∴二次函數(shù)的解析式為y=?49(x+1)(x?5)=?4（2）①設P（2，t），其中0＜t＜4，設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴0=5k+b，4=2k+b.解得k=?即直線BC的解析式為y=?4令y＝t，得：x=5?3∴點E（5?3把x=5?34t代入y=?即F(5?3∴EF=(2t?1∴△BCF的面積=12×EF×BD=32∴當t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠ACD=AD過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=3∴35過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PH≥BH，∴線段BH的長就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為12.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設△PBC的面積為S，求S關于m的函數(shù)表達式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標．【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標，根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設點P的坐標為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標為（m，﹣2m+6），進而可得出PF的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；（3）分兩種不同情況，當點M位于點C上方或下方時，畫出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點M，點N的坐標即可．【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：a?b+6=09a+3b+6=0，解得：a=?2∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，如圖1所示．當x＝0時，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴點C的坐標為（0，6）．設直線BC的解析式為y＝kx+c，將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：3k+c=0c=6，解得：k=?2∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．∵點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，∴點P的坐標為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標為（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S△PBC=12PF?OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m?32∴當m=32時，△PBC面積取最大值，最大值為∵點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，∴0＜m＜3．（3）存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．如圖2，∠CMN＝90°，當點M位于點C上方，過點M作MD⊥y軸于點D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△OBC相似，設M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，當DMCD=OBOC=36∴a?2解得，a＝1，∴M（1，8），此時ND=12DM∴N（0，172當CDDM=OBOC=12∴?2a解得a=7∴M（74，55此時N（0，838如圖3，當點M位于點C的下方，過點M作ME⊥y軸于點E，設M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：2a2?4aa=12解得a=9∴M（94，39此時N點坐標為（0，38）或（0，?綜合以上得，M（1，8），N（0，172）或M（74，558），N（0，838）或M