四川省成都市2024屆高三下學(xué)期三診文科數(shù)學(xué)試題 含答案

成都市2021級高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。第Ⅰ卷（選擇題）1至2頁，第Ⅱ卷（非選擇題）3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b是兩條不同的直線，是平面，若，，則a，b不可能（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．異面4．“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來．如圖，以溫江國家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023~2024年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位：℃），下列說法正確的是（）A．“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升B．“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1℃C．“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差D．“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差5．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A．－2 B．2 C． D．6．設(shè)，雙曲線C的方程為，則“C的離心率為”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，由觀測數(shù)據(jù)的散點圖可知，y與x的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸方程．已知，，則（）A． B． C．1 D．8．已知，則（）A． B． C．2 D．－29．已知直線l：與：相交于A，B兩點，若是直角三角形，則實數(shù)a的值為（）A．1或1 B．或 C．或－1 D．或10．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A．9 B．6 C．3 D．211．已知函數(shù)，若實數(shù)m，n滿足，則（）A．1 B．2 C．e D．412．在棱長為5的正方體中，Q是中點，點P在正方體的內(nèi)切球的球面上運動，且，則點P的軌跡長度為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡上．13．已知函數(shù)，則的值為______．14．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為______．15．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的最大值為______．16．設(shè)F為拋物線C：的焦點，過F的直線與C相交于A，B兩點，過點A作C的切線，與x軸交于點D，與y軸交于點E，則（其中O為坐標(biāo)原點）的值為______．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）課外閱讀對于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能力具有重要作用，某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長t（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘，時長t學(xué)生人數(shù)5010020012525（Ⅰ）估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（Ⅱ）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在和的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時長在的概率．18．（本小題滿分12分）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前n項和．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，，．（Ⅰ）證明：平面平面ABCD；（Ⅱ）若，，F(xiàn)為CE中點，求三棱錐的體積．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，當(dāng)l過坐標(biāo)原點O時，．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)l斜率存在時，線段OP上是否存在定點Q，使得直線QA與直線QB的斜率之和為定值．若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若有兩個零點，求a的取值范圍．請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑．22．（本小題滿分12分）選修4－4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且為線段AB的三等分點，求實數(shù)m的值．23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知函數(shù)．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的最小值n，若非零實數(shù)a，b，c滿足，證明：．

成都市2021級高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分意見第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題：(每小題５分，共60分)1．D；2．B；3．C；4．D；5．A；6．B；7．C；8．A；9．A；10．C；11．B；12．B．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題：(每小題５分，共20分)13．4；14．；15．3；16．．三、解答題：(共70分)17．解：(Ⅰ)由題意，樣本中500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)．所以估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)為49．(Ⅱ)抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時長在內(nèi)有：人，在內(nèi)有：人，設(shè)內(nèi)的2人記為：A，B；內(nèi)的4人記為：．從這6人中隨機(jī)選2人的基本事件有：共15種，其中至少有一人每天課外閱讀平均時長在的基本事件有共9種，設(shè)“選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時長在”，則．18．解：(Ⅰ)當(dāng)時，，得，由，①當(dāng)時，②，①－②得：，整理得：，所以，且，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，∴，．∴．19．解：(Ⅰ)在中，由余弦定理．∵，∴．∵，，∴，∵，，∴平面EDB．又平面ABCD，∴平面平面ABCD．(Ⅱ)∵F是EC中點，∴．由(Ⅰ)得平面EDB，平面EDB，∴．∵，，∴平面ABCD，∴．∴．故三棱錐的體積為．20．解：(Ⅰ)直線l過坐標(biāo)原點O時，，∴．又∵，∴．∴．∴橢圓C的方程為．(Ⅱ)假設(shè)存在定點，，設(shè)直線l：，，，由消去y，得．其中，，．．∴當(dāng)時，為定值．∴存在定點，使得直線QA與直線QB的斜率之和恒為0．21．解：(Ⅰ)當(dāng)時，，，注意到函數(shù)與均在單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增．由，，，在上單調(diào)遞減；，，在上單調(diào)遞增．綜上，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為．(Ⅱ)令，設(shè)函數(shù)，．函數(shù)有兩個零點等價于函數(shù)有兩個零點．①當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴在上只有一個零點，故不合題意．②當(dāng)時，，令，，令得，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴．∵，時，，時，．由零點存在定理得存在，使得，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．由時，，時，，且，故當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，不合題意；當(dāng)時，，此時在，上各有一個零點．滿足題意．由在上單調(diào)遞增，且．故當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，，滿足題意．綜上，a的取值范圍為．22．解：(Ⅰ)由曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得曲線C的普通方程為．由直線l的極坐標(biāo)方程得：．