2017-2021北京重點校高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：冪函數(shù)

1/12017-2021北京重點校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編冪函數(shù)一、單選題1．（2017·北京八中高一期中）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．2．（2021·北京八十中高一期中）函數(shù)是（

）A．在定義內(nèi)是增函數(shù) B．奇函數(shù)C．偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)3．（2017·北京四中高一期中）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2x）=-2f（x），且f（-1）=，則f（2）的值為A．1 B．-2 C．2 D．-14．（2017·北京師大附中高一期中）“a=0”是“為奇函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2017·北京師大附中高一期中）已知為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且在[0，1]上單調(diào)遞減，則使不等式成立的x的取值范圍是A． B． C． D．6．（2019·北京師大附中高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．7．（2021·北京四中高一期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是A．，，B．，，C．，，D．，，二、填空題8．（2018·北京西城十三中·高一期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的解析式__________．9．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為__________．10．（2018·北京西城十三中·高一期中）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．若為偶函數(shù)，則__________．11．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）若是過點的冪函數(shù)，則__________.12．（2019·北京市第十一中學(xué)高一期中）設(shè)奇函數(shù)的定義域為[－5，5].若當(dāng)x∈[0，5]時，的圖象如圖，則不等式＜0的解集是________.13．（2018·北京東城匯文·高一期中）對于函數(shù)（為常數(shù)），給出下列命題：①對任意，都不是奇函數(shù)；②的圖像關(guān)于點對稱；③當(dāng)時，無單調(diào)遞增區(qū)間；④當(dāng)時，對于滿足條件的所有，總有．其中正確命題的序號為__________．三、解答題14．（2017·北京西城十三中·高一期中）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（Ⅰ）求實數(shù)，，并確定函數(shù)的解析式．（Ⅱ）用定義證明在上增函數(shù)．15．（2017·北京八中高一期中）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且時，．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式．（Ⅱ）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．16．（2017·北京·101中學(xué)高一期中）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（）確定函數(shù)的解析式．（）判斷并用定義證明在上的單調(diào)性．（）若，求實數(shù)的所有可能的取值．17．（2018·北京東城匯文·高一期中）已知函數(shù)．（）判斷函數(shù)的奇偶性．（）證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．18．（2018·北京東城匯文·高一期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，．（）求在上的解析式．（）解方程．（）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．19．（2018·北京市十一學(xué)校高一期中）已知為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．（）求當(dāng)時，的解析式．（）解不等式．20．（2017·北京師大附中高一期中）已知函數(shù).（1）函數(shù)是否具有奇偶性？若具有，則給出證明；若不具有，請說明理由；（2）試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在（1，+）上為增函數(shù).

參考答案1．C【解析】∵，∴是偶函數(shù)（定義域關(guān)于原點對稱）．故選C.2．B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：函數(shù)定義域為，且，故為奇函數(shù)，因為在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減；故選：B3．A【解析】由于函數(shù)為奇函數(shù)且，所以，又因為，所以，故選A.4．A【解析】直接根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義與性質(zhì)，結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】，的圖象關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)；若為奇函數(shù)，則，即不能推出，所以，是為奇函數(shù)充分非必要條件，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義與性質(zhì)、充分條件與必要條件的定義，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.5．B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將不等式再轉(zhuǎn)化為,結(jié)合函數(shù)的定義域，列不等式組求解即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減所以化為，,又因為的定義域是，所以，解得，使不等式成立的x的取值范圍是，故選B.【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式，屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤剑荒艿粢暂p心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.6．B【解析】本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準(zhǔn)確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點位置，精準(zhǔn)運算得到解決．【詳解】時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當(dāng)時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B．【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍，導(dǎo)致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達(dá)式的理解，平時應(yīng)加強這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力．7．C【解析】試題分析：函數(shù)在處無意義，由圖像看在軸右側(cè)，所以，，由即，即函數(shù)的零點，故選C．考點：函數(shù)的圖像8．【解析】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，設(shè)冪函數(shù)為：，有，解得.所以.9．3【解析】利用待定系數(shù)法求出的表達(dá)式即可．【詳解】設(shè)，則，解得，所以則，，故答案為：10．2【解析】函數(shù)，為開口向上的拋物線，對稱軸為：.有：，此時對稱軸為，即為偶函數(shù)，所以.11．【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)得出，再將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得出的值，從而計算出的值.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，則，，由已知條件得，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用冪函數(shù)的解析式和函數(shù)值求參數(shù)，同時也考查了指數(shù)冪的運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】利用函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.的解集為.故答案為：13．①②④【解析】①定義域為，∴不可能為奇函數(shù)，正確；②，圖像關(guān)于對稱，正確；③當(dāng)時，在和上為增，錯誤；④時，在上為減函數(shù)，，正確，故答案為①②④.14．（），，．（）見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),,及.及構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,解方程可求出實數(shù)a,b的值,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)(1)中函數(shù)的解析式,任取區(qū)間上兩個任意的實數(shù),然后分析它們所對應(yīng)的函數(shù)值的大小,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,即可得到結(jié)論.試題解析：（）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，．又∵，∴，解得，故，，．（）證明，任取，，，則：．∵，∴，，，，∴，即，故在上是增函數(shù)．點晴:證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.15．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，，且為奇函數(shù)，即得，又奇函數(shù)，即可得解析式；（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性的定義取，且化簡整理，與0比較大小即得單調(diào)性.試題解析：（Ⅰ）∵是上的奇函數(shù)，∴，∵當(dāng)時，，且為奇函數(shù)，∴，∴．（Ⅱ）證明：，取，且，∵，，∴．∴，，，∴，∴在上是增函數(shù)．點睛：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.16．（1）；（2）增函數(shù)；（3）0【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得代入解出方程組即可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義取值、作差、化簡、下結(jié)論等步驟即可判斷并證明的單調(diào)性；（3）根據(jù)單調(diào)性與奇偶性可得不等式組，解出不等式組即可.試題解析：（1）根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則即解得所以.（2）任取，不妨設(shè)，y-=，因為，，，，，所以，即，所以在上是增函數(shù)；（3）為上的奇函數(shù)，且由（2）知為增函數(shù)，則，所以解得.17．（）奇函數(shù)；（）詳細(xì)見解析【解析】試題分析：（1）首先求出函數(shù)的定義域為，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）利用取值，作差，化簡，得其與0的關(guān)系，從而可得單調(diào)性.試題解析：（）定義域：，即，，∴為奇函數(shù)．（2）證明：在內(nèi)任取，，使，，，∴，∴為單調(diào)增函數(shù)．18．（）；（）；（）．【解析】試題分析：（1）令，則，求出，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得最后結(jié)果；（2）由題意可得，得，其余情形不合題意；（3）利用分離參數(shù)的思想將題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出不等號右邊的最大值即可.試題解析：（）令，∴，，∵奇函數(shù)，∴，∴，．（），，，得，當(dāng)時，，，∴（舍），∴的解為．（），當(dāng)時，，，∴在上恒成立，令，即，，當(dāng)上時，為增函數(shù)，∴，∴．點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及恒成立問題在函數(shù)中的應(yīng)用，屬于中檔題；判斷奇偶性首先應(yīng)求出定義域，然后判斷與的關(guān)系，對于恒成立問題利用分離參數(shù)的思想得恒成立，其等價于，利用單調(diào)性求出函數(shù)最大值即可.19．（1）時，．（2）．【解析】分析：(1)根據(jù)偶函數(shù)得，再根據(jù)當(dāng)時，得當(dāng)時，，(2)先求時不等式解集：；再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，解集為，兩者得并集為結(jié)果.詳解：解：（）∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，，又為定義在上的偶函數(shù)，∴，綜上，故時，．（）當(dāng)時，等價于，∴，即，∴，解得，∴；當(dāng)時，等價于，∴，即，∴，解得，∴，綜上所述，不等式的解集為．點睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.20．（1）函數(shù)不具有奇偶性，理由見解析；（2）證明見解析.【解