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助學培優(yōu)6活用“龍鳳不等式”求解導數(shù)問題第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用人教A版數(shù)學選擇性必修第二冊P94練習T2

證明不等式：x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)，P99習題5.3T12(1)利用函數(shù)單調性，證明不等式ex>1＋x，x≠0，并通過函數(shù)圖象直觀驗證．下面就一般情況研究一下這兩個不等式：(1)ex≥x＋1，當且僅當x＝0時等號成立．其幾何意義是曲線y＝ex總是在點(0，1)處的切線y＝x＋1的上方．(如圖①)這個不等式有一個同胞的孿生不等式：(2)lnx≤x－1，當且僅當x＝1時等號成立．其幾何意義是曲線y＝lnx總是在點(1，0)處的切線y＝x－1的下方．(如圖②)

設函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調性；【解】

(1)由題設知，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝

－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)上單調遞增；當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)上單調遞減．【解】

(2)證明：由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0，所以當x≠1時，lnx＜x－1.

已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；當x∈(0，a)時，f′(x)<0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值點．因為f(1)＝0，所以當且僅當a＝1時，f(x)≥0，故a＝1.【解】

(2)由(1)知當x∈(1，＋∞)時，x－1－lnx>0，即lnx<x－1.ex≥1＋x與x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)這兩個不等式是堪稱經(jīng)典的函數(shù)不等式，其中l(wèi)nx≤x－1的ln像龍頭，ex≥x＋1的e像

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