課時(shí)作業(yè)-第4節(jié)-余弦定理和正弦定理及其應(yīng)用

第4節(jié)余弦定理和正弦定理及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練利用正弦、余弦定理解三角形1,3,4與面積有關(guān)的解三角形問題2,7,8解三角形的實(shí)際應(yīng)用5,91016綜合611,12,13,14151.(2021·安徽安慶模擬)若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,則abA.32 B.4C.2 D.3解析:由bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,得cosA=12又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2·12=3b2得ab=32.(2021·河北唐山模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設(shè)AB邊上的高為h,則h等于(D)A.152 B.112 C.315解析:由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=9+16-42×3×4=2124=783.(多選題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,則B等于(BC)A.30° B.45° C.135° D.150°解析:根據(jù)正弦定理asinA=bsinB得,sinB=bsinAa=2×14.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bA.6 B.5 C.4 D.3解析:因?yàn)閍sinA-bsinB=4csinC,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc5.(多選題)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好3km,那么x的值是(AB)A.3 B.23 C.3 D.6解析:如圖,AB=x,BC=3,AC=3,∠ABC=30°.由余弦定理得3=x2+9-2×3·x·cos30°.解得x=23或x=3.故選AB.6.(多選題)對(duì)于△ABC,有如下判斷,其中正確的是(ABD)A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形B.若△ABC為銳角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的△ABC有兩個(gè)D.若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC是鈍角三角形解析:對(duì)于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形,故正確;對(duì)于B,若A+B>π2,則π2>A>對(duì)于C,由余弦定理可得b=82+10對(duì)于D,若sin2A+sin2B<sin2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a27.在△ABC中,C=60°,且asinA=2,則△ABC的面積S的最大值為解析:由C=60°及csinC=asin由余弦定理得3=b2+a2-ab≥ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào)),所以S=12absinC≤12×3×32所以△ABC的面積S的最大值為33答案:38.(2021·陜西西安質(zhì)檢)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若cosB=13,b=4,S△ABC=42,則△ABC的周長(zhǎng)為解析:由cosB=13,得sinB=223,由三角形的面積公式可得12acsinB=12ac則ac=12,①由b2=a2+c2-2accosB,可得16=a2+c2-2×12×13,則a2+c2聯(lián)立①②可得a=c=23,所以△ABC的周長(zhǎng)為43+4.答案:43+49.如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔CD的高度,小王在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為30°,塔底C與A的連線同河岸成15°角,小王沿河岸向前走了1200m到達(dá)M處,測(cè)得塔底C與M的連線同河岸成60°角,求電視塔CD的高度.解:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即120022=所以CD=6006×33=6002即電視塔CD的高度為6002m.10.(多選題)(2021·重慶高三第三次質(zhì)量調(diào)研)一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°,距離126海里,燈塔C在A的北偏西30°,距離為123海里,該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向.下列選項(xiàng)正確的有(ABD)A.AD=24B.CD=12C.∠CDA=60°或120°D.∠CDA=60°解析:如圖,在△ABD中,∠B=45°,由ADsin45°=ABsin60°=12632=242,AD=24,A正確;在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos30°=(123)2+242-2×123×24×32=144,所以CD=12,B正確;在△ACD中,由正弦定理得CDsin30°=11.(多選題)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,C為鈍角,且c-b=2bcosA,則下列結(jié)論中正確的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<12 D.0<sinB<解析:因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A選項(xiàng)正確;因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是鈍角,所以A-B=B,即A=2B,故B選項(xiàng)正確;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°12.如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,則BD的長(zhǎng)為解析:因?yàn)閟in∠BAC=22所以sin(π2+∠BAD)=2所以cos∠BAD=22得BD=AB(32)答案:313.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC的面積為12已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.

(1)求C;(2)若D為AB的中點(diǎn),且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)選擇①,根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3選擇②,根據(jù)正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC≠0,從而有cosC=12,故C=π選擇③,因?yàn)?2casinB=1所以asinB=asinA+bsinB-csinC,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC=a2+b2-又因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3(2)在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即b2=1+3-23cos∠ADC.在△BCD中,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,即a2=1+3-23cos∠BDC.因?yàn)椤螦DC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=-cos∠BDC,所以a2+b2=8.由C=π3及c=2,得a2+b2從而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA+(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+因?yàn)閟inA≠0,所以sinA+由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因?yàn)閏osB2≠0,所以sinB2=12(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積為S△ABC=34由(1)知A+C=120°,由正弦定理得a=csinAsinC=sin(由于△ABC為銳角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.結(jié)合A+C=120°,得30°<C<90°,所以12<a<2,從而38<S△ABC<因此,△ABC面積的取值范圍是(38,315.已知△ABC中,AC=2,BC=6,△ABC的面積為32,若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=π4,則CD=解析:因?yàn)锳C=2,BC=6,△ABC的面積為32=12AC·BC·sin∠ACB=12×2×6·所以∠ACB=π6或5π若∠ACB=5π6,則∠BDC=π可得∠BAC+∠ACB>π4+5π6>π,與三角形內(nèi)角和定理矛盾,所以∠ACB=所以在△ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2所以AB=AC,所以B=π6所以在△BDC中,由正弦定理可得CD=BC·sinBsin∠BDC答案:316.如圖所示,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計(jì),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解:設(shè)∠AMN=θ,在△AMN中,MNsin60°=因?yàn)镸N=2,所以AM=433sin(120在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=163sin2(120°-θ)+4-2×2×4