柱、錐、臺(tái)和球的體積高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊(cè)

11.1.6

柱、錐、臺(tái)和球的體積1.掌握柱、錐、臺(tái)和球體的體積的求法.（重點(diǎn)）2.了解柱、錐、臺(tái)和球的體積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)和球的表面積公式及體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）青藏鐵路是西部大開發(fā)的標(biāo)志性工程，全長(zhǎng)1142公里，是世界上海拔最高、線路最長(zhǎng)、穿越凍土里程最長(zhǎng)的高原鐵路.青藏鐵路假設(shè)在青藏鐵路的某段路基需要用碎石鋪墊．路基的形狀尺寸如圖所示（單位：米），問(wèn)每修建1千米鐵路需要碎石多少立方米？想知道如何求嗎？讓我們一起來(lái)探索吧！

取一摞書放在桌面上，并改變它們的位置，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？高度、書中每頁(yè)紙的面積和順序不變作圖驗(yàn)證祖暅原理兩等高的幾何體,若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．

我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之在計(jì)算圓周率等問(wèn)題方面有著光輝的成就。祖沖之的兒子祖暅也在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)。祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了這個(gè)體積計(jì)算原理。祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲直到17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年--1647年）提出上述結(jié)論。（429年～500年）1.棱柱和圓柱的體積shSS底面積相等，高也相等的柱體的體積也相等柱體（棱柱和圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積.底面半徑是r，高為h的圓柱體的體積的計(jì)算公式：2.棱錐和圓錐的體積類似的,底面積相等,高也相等的兩個(gè)錐體的體積也相等.V錐體=S為底面積,h為高.ss等底面積、等高的錐體間的體積有何關(guān)系?3.棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積ss/ss/hxV臺(tái)體=上下底面積分別是S、S′,高是h，則推導(dǎo)過(guò)程V臺(tái)體=V柱體=shV錐體=ss/ss/sS′=0S=S′探究2柱、錐、臺(tái)的體積關(guān)系4.球的體積RR

一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以其上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等.RR例1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.解：已知長(zhǎng)方體可以看作是直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.設(shè)底面ADD′A′的面積是S，高為h，則它的體積為V=Sh.因?yàn)槔忮FC－A′DD′的底面面積是S，高是h，所以棱錐C－A′DD′的體積是VC－A′DD′=余下的體積是所以棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比是1：5.例2.有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯如圖，共重5.8kg.已知螺帽的底面六邊形邊長(zhǎng)是12mm,高是10mm,內(nèi)孔直徑是10mm,這一堆螺帽約有多少個(gè)?(鐵的密度是7.8g/cm3，π取3.14)分析：六角螺帽毛坯的體積是一個(gè)正六棱柱的體積與一個(gè)圓柱的體積的差，再由比重算出一個(gè)六角螺帽毛坯的體積即可．V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103（mm3）=2.96(cm3)一個(gè)螺帽毛坯的體積為約有毛坯5.8×103÷（2.96×7.8)≈250(個(gè))答．這堆螺帽約有250個(gè).解答：V正六棱柱=

V圓柱=

1．設(shè)六正棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，那么它的體積為（

）（A）6（B）（C）2（D）2B2.直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，已知點(diǎn)P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，而且滿足AP=C1Q，則四棱錐B－APQC的體積是（）（A）（B）（C）（D）B4．把一個(gè)大金屬球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把這個(gè)金屬球熔化，制成64個(gè)半徑相等的小金屬球（設(shè)損耗為零），將這些小金屬球表面涂漆，需用油漆

kg.9.63.正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來(lái)的，則它的體積是原來(lái)的（）（A）（B）（C）（D）B5．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面周長(zhǎng)為6π，則它的體積是

.6．一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在球面上，若這個(gè)球的體積