高數(shù)典型例題部分教學(xué)案例

1例1解多元函數(shù)23解例2法一方程組各方程兩邊微分,得{分析變量4個(gè),方程3個(gè),獨(dú)立自變量1個(gè).由題意選x為獨(dú)立自變量.5例3解分析拉格朗日乘數(shù)法.法一6得7即得唯一駐點(diǎn)根據(jù)題意距離的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一駐點(diǎn),8法二

設(shè)P(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)拋物面幾何法.法向量上的任一點(diǎn).9法三為旋轉(zhuǎn)拋物面上任一點(diǎn),為平面上任一點(diǎn).由兩點(diǎn)間距離公式有令10試求和.解題思路再代入上式即得.例411解則設(shè)曲面上的任意點(diǎn)為且在此點(diǎn)的法向量上的任意一點(diǎn)處的切平面都過原點(diǎn).例512則切平面方程為:即證.上的任意一點(diǎn)處的切平面都過原點(diǎn).13解例6此方向?qū)?shù)等于梯度的模?14此方向?qū)?shù)等于梯度的模?15例1解先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖二、三重積分例2解例3解例

證

例解由于被積函數(shù)含有抽象函數(shù),因此要采用法一故無法直接積出.一些技巧.奇函數(shù)奇函數(shù)法二（畫第二象限部分）（如圖）則有對(duì)稱性作曲線思考題解令不能直接積出,改變積分次序.法一故法二設(shè)則則例5

解證所以,

例4解例6解例7旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零,

其中

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證明例8

(1)解

因?yàn)榍驑O坐標(biāo)

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零

所以,

單調(diào)增加.

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證

因

(2)證明要證明只需證明即令則故

單調(diào)增加.因?yàn)樗砸虼?

(2)證明

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零思路:閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式解41無窮級(jí)數(shù)例解

分母42根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，級(jí)數(shù)

分子

分母發(fā)散．43正解從而有級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂；發(fā)散;44所以,原級(jí)數(shù)也發(fā)散．45例解即原級(jí)數(shù)如果收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?發(fā)散,發(fā)散非絕對(duì)收斂．46由萊布尼茨定理是交錯(cuò)級(jí)數(shù),(1)47所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是(2)條件收斂．48例解兩邊逐項(xiàng)積分收斂半徑為收斂域?yàn)樵O(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則有4950例解分析的和函數(shù)展開?的冪級(jí)數(shù).是的展開式,設(shè)法用已知展開式來解.5152解故知可知例A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.收斂性不能確定絕對(duì)收斂.對(duì)一切滿足阿貝爾定理絕對(duì)收斂.53證由已知條件知因此,所以,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,例54解例55例證明在區(qū)間上有恒等式并求級(jí)數(shù)分析欲證之等式等價(jià)于

這是要證明一個(gè)三角級(jí)數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)收斂于一函數(shù).這是傅里葉級(jí)數(shù)的反問題.證明這類題的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)展成傅里葉級(jí)數(shù),看它是否等于給定的級(jí)數(shù).的和.56得得由于x2為偶函數(shù),證故57

解例

得58處處收斂.收斂發(fā)散59解例可設(shè)收斂半徑60逐項(xiàng)求導(dǎo)積分得61得62練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域?yàn)楫?dāng)