431等比數(shù)列的概念（第一課時）課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.3.1等比數(shù)列的概念【情境1】兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：9，92，93，……，910；100，1002，1003，……，10010；5，52，53，……，510.③①②【情境2】《莊子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是

④【情境3】在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20分鐘就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是？2,4,8,16,32,64,…5【情境4】某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.

2,4,8,16,32,64,…④⑤從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).9，92，93，……，910；100，1002，1003，……，10010；5，52，53，……，510.③①②【思考】類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？一、等比數(shù)列的概念若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，則該數(shù)列叫等比數(shù)列；這個常數(shù)叫做公比，記為q(q≠0).①等比數(shù)列的每一項和公比都不為0.③非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.②當q=1時，為常數(shù)列.注：如：1,1,1,1,…是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列【例1】判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫出它的公比.(5)

0,1,2,4,8,…(6)

2,0,2,0,2,…

二、等比中項【問題】在下列兩數(shù)中插入一個數(shù)，使其三個數(shù)成等比數(shù)列

①

2，___，8；②-1，____，-4

注：②若a,G,b成等比數(shù)列，則必有G2=ab；

若G2=ab，不能說明a,G,b成等比.【思考2】反之，若G2＝ab，則a，G，b一定成等比數(shù)列嗎？注：三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列

【如a=G=0,b=5時不成等比.】【思考1】任意兩個數(shù)都有等比中項嗎？注：①同號的兩數(shù)才有等比中項，且等比中項有2個，它們互為相反數(shù)；三、等比數(shù)列的通項公式

類比

不完全歸納法得an=a1+(n-1)d不完全歸納法得an=a1qn-1

類比累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2n=1，亦符合【思考】如何嚴格推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式？n=1，亦符合等比數(shù)列的通項公式

③一個等比數(shù)列從第2項起，每一項an是它的前一項an－1與后一項an+1的等比中項.

證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則am=a1qm-1，an=a1qn-1,

ak=a1qk-1，al=a1ql-1,

所以

aman=(a1qm-1)

(a1qn-1)

=a12qm+n-2,

akal=(a1qk-1)

(a1ql-1)

=a12qk+l-2,

因為m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),所以aman=akal.特別地，若m+n=2k(m,n,k∈N*),則aman=ak2

.在有窮數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積,例1：若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.解法1：由a4

=48，a6

=12，得：

又a5=a1·q4，∴a5=24或–24.解法2：∵a5

是a4與a6

的等比中項，∴a52=a4

·a6=48×12=546，

∴{an}的第5項是

24或–24.

練習(xí).已知等比數(shù)列{an}

的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=6

，則log3a1+log3a2+…+log3a10=_______.解:∵等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=6，∴a5a6=a4a7=3，則log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?a3?…?a10)=log3(a5a6)5

=log335=5

.

等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

四、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

任給指數(shù)函數(shù)f(x)=kax

(k，a為常數(shù)，a>0且a≠1)，則f(1)=ka，f(2)=ka2，…，

f(n)=kan，···構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為ka，公比為a.

(1)當q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時，{an}是遞增數(shù)列.(2)當q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時，{an}是遞減數(shù)列.(3)當q＝1時，{an}是常數(shù)列；

當q<0時，{an}是擺動數(shù)列.所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項同號，但奇偶項異號例3

數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80,第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132.求這個數(shù)列.總結(jié)規(guī)律5.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列(1)a3,a5,a7是否成等比數(shù)列?為什么?a1,a5,a9呢?(2)當n>1時,an-1,an,an+1是否成等比數(shù)列?為什么?

當n>k>0時,an-k,an,an+k是等比數(shù)列嗎?課本31頁練習(xí)題第5題

總結(jié)：判斷等比數(shù)列的方法

或課堂練習(xí)練習(xí).在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.證明：（法一定義法）因為，所以.又因為所以

所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.練習(xí).在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.證明：（法二等比中項法）因為，所以.又因為所以

所以

即

成等比數(shù)列，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.練習(xí).在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.

所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.則可考慮待定系數(shù)法構(gòu)造新的輔助數(shù)列

是首項為

公比為p的等比數(shù)列，求出

,再進一步求通項類型:形如的遞推式求通項式通用方法：構(gòu)造法(待定系數(shù)法)課堂小結(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列定義（符號表示）an

-an-1=d公差與公比d可以是0等差中項與等比中項2A=a+b通項公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

函數(shù)類型一次函數(shù)q≠0G2=aban=a1qn-1

an=amqn-m指數(shù)型函數(shù)例4.用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年.(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計息，12個月能獲得多少利息(精確到1元)？(2)若以季度復(fù)利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到10-5）？分析:復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金,再計算下一期的利息.所以若原始本金為a元，每期的利率為r

，則從第一期開始，各期的本利和a

,a(1+r),a(1+r)2,…構(gòu)成等比數(shù)列.例4.用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年.(2)若以季度復(fù)利計息,存4個季度,則當每季度利率為多少時,按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息(精確到10-5)？

解:(2)設(shè)季度利率為r，這筆錢存n個季度以后的本利和組成一個數(shù)列{bn}，則{bn}也是一個等比數(shù)列，首項b1=104(1+r)，公比為1+r，于是因此，以季度復(fù)利計息，存4個季度后的利息為b4=104(1+r)4.

所以，當季度利率不小于1.206%時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.[104(1+r)4-104]元.

解不等式104(1+r)4-104≥491，得r≥1.206%.

一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細胞繁殖等實際問題時，往往與等比數(shù)列有關(guān)，可建立等比數(shù)列模型進行求解.歸納總結(jié)例5.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高5%,產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內(nèi)？產(chǎn)量不合格率等比數(shù)列等差數(shù)列分析：不合格品產(chǎn)量×不合格率例5.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內(nèi)？解:設(shè)從今年1月起,各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列{an},{bn}.由題意，知an=1050×1.05n-1,bn=1-[90%+0.4%(nn,其中n=1,2,…,24,則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是anbn=1050×1.05n-1n)=1.05n×(104-4n).anbn=1.05n×(104-4n)由計算工具計算（精確到0.1），并列表n1234567anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314anbn106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{anbn}先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設(shè)法證明當n≥6時，{anbn}遞減，且a13b13<100即可.得n>5.所以，當n≥6時，數(shù)列{anbn}遞減.又a13b13≈98<100.所以,當13≤n≤24時，a