5年級(jí)下冊(cè)第02講-圓與扇形進(jìn)階

第二講圓與扇形進(jìn)階----------------------------------------------------------------------------------自然界中，圓與方是最基本的兩種圖形．古人認(rèn)為“天圓地方”，宇宙就像一個(gè)圓形的大鍋蓋在一個(gè)方形的棋盤(pán)上．中國(guó)古代的建筑也會(huì)經(jīng)常采用圓形和正方形的圖案．而在面積計(jì)算中，圓與正方形也有很大的關(guān)系．關(guān)于正方形和圓，有以下的面積關(guān)系：方中圓：正方形面積:內(nèi)切圓面積=4:π圓中方：圓面積:內(nèi)接正方形面積=π:2由此我們可以進(jìn)一步推斷：圓外切正方形面積是內(nèi)接正方形面積的______倍；正方形外接圓面積是內(nèi)切圓面積的______倍．方中圓圓中方方中圓圓中方圓的外切正方形與內(nèi)接正方形正方形的外接圓與內(nèi)切圓------------------------------------------------------------------------------------例題1．（1）左圖中正方形的面積是8，那么圓的面積是多少？（取3.14）

（2）右圖中正方形的面積是16，那么圓的面積是多少？（取3.14）分析：利用圓中方和方中圓的比例關(guān)系可以輕松求解．

練習(xí)1．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)是2，求大圓及小圓的面積．（取3.14）例題2．8244計(jì)算下面各圖中陰影部分的面積，并比較大小．（取3.14）

分析：利用方中圓的比例關(guān)系可以輕松求解．

8244練習(xí)2．如圖，已知長(zhǎng)方形的面積是12，則圖中陰影部分的面積是多少？（取3.14）----------------------------------------------------------------------------------小故事圓與方有一天，圓形和方形碰到了一起，它們一見(jiàn)面就吵了個(gè)面紅耳赤，不管誰(shuí)勸都不聽(tīng)．圓形說(shuō)：“我們圓形就是比你們方形用處大，人們?nèi)粘Ｉ钪杏玫腻佈健⑼胙?，體育中的藍(lán)球、排球，水果里的蘋(píng)果、桔子，大到汽車(chē)輪胎、自行車(chē)輪胎，都是我的家族．瞧，我們是不是比你們用處大！”圓形得意洋洋地說(shuō)完．方形“哼”了一聲說(shuō)：“我們方形家族才是無(wú)處不在呢，人們用的電器、冰箱、彩電、電腦，就連學(xué)生用的課本都是我們方形的喲！”方形也自豪地說(shuō)．它們誰(shuí)也無(wú)法說(shuō)服誰(shuí)，都來(lái)到大街上．望著街上的車(chē)，方形對(duì)著圓形的車(chē)輪喊了聲：“變！”轉(zhuǎn)眼間車(chē)輪變成了方形．正當(dāng)方形喜笑顏開(kāi)時(shí)，人群出現(xiàn)了混亂，汽車(chē)開(kāi)不了，自行車(chē)也只能扛著了，大家都在說(shuō)：“這是誰(shuí)干的呀！真是害人呀！”而圓形來(lái)到一座剛建好的大樓前，望著由一塊塊方形紅磚蓋成的大樓，圓形生氣地大聲喊了聲“變！”呀，方形紅磚變成圓形了．圓形還沒(méi)來(lái)及高興呢，就聽(tīng)“轟”一聲大樓倒了下來(lái)．看到這個(gè)情景，圓形呆住了：“這是怎么回事？”只見(jiàn)混亂的人群里走出了一位老人，他來(lái)到方形和圓形面前對(duì)它們說(shuō)：“其實(shí)你們都很棒，只是你們分工不同而已，只要你們齊心協(xié)力，一定會(huì)為人類(lèi)作更大的貢獻(xiàn)．在上一講中，我們主要使用割補(bǔ)的方法來(lái)計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．而對(duì)于一些比較特殊的形狀，我們可以把它看成是一些基本圖形的重疊部分，利用容斥原理計(jì)算出它的面積．----------------------------------------------------------------------------------例題3．如圖，求下面各圖中陰影部分的面積．（π取3.14）222分析：陰影部分可以看成是哪些圖形的重疊部分？練習(xí)3．已知下圖中正方形的面積是16，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）在生活當(dāng)中，有很多旋轉(zhuǎn)的物體，比如車(chē)輪、方向盤(pán)等．這些物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，掃過(guò)的圖形都是曲線形．這些曲線形的周長(zhǎng)和面積應(yīng)該怎么計(jì)算呢？例題4．圖中正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，圓形的半徑是1厘米．當(dāng)圓形繞正方形滾動(dòng)一周又回到原來(lái)位置時(shí)，掃過(guò)的面積有多大？（π取3.14）

分析：要求掃過(guò)的面積，關(guān)鍵在于弄清掃過(guò)的區(qū)域；而要弄清掃過(guò)的區(qū)域，關(guān)鍵在于弄清區(qū)域的邊界．你能通過(guò)合理動(dòng)態(tài)想象，畫(huà)出邊界來(lái)嗎？

練習(xí)4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)是2厘米，圓形的半徑是1厘米．當(dāng)圓形繞正方形滾動(dòng)一周又回到原來(lái)位置時(shí)，掃過(guò)的面積有多大？（π取3.14）例題5．如圖，求陰影部分的面積．（π取3.14）分析：陰影部分可以看成是四個(gè)扇形的重疊部分，但是扇形的半徑圖中并沒(méi)有給出，那么應(yīng)該怎么計(jì)算扇形的面積呢？22----------------------------------------------------------------------------------例題6．（1）如圖，一只小狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正方形的建筑物的頂點(diǎn)A處，四周都是空地．繩長(zhǎng)8米．小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A處，而是在一邊的中點(diǎn)B處，那么小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長(zhǎng)忽略不計(jì)，π取3.14）BABA

含有“圓”字的成語(yǔ)圓首方足：出自《淮南子·精神訓(xùn)》：“頭之圓也象天，足之方也象地．”用來(lái)代指人類(lèi)．戴圓履方：出自《淮南子·本經(jīng)訓(xùn)》：“戴圓履方，抱表懷繩．”履：踩著；圓、方：古人以為天圓地方．頭頂著天，腳踩著地．指生活在人間．方枘圓鑿：出自戰(zhàn)國(guó)時(shí)楚國(guó)宋玉的《九辨》：“圓鑿而方枘兮，吾固知其齟齬而難入．”鑿：榫眼；枘：榫頭．方枘裝不進(jìn)圓鑿．比喻格格不入，不能相合．這三個(gè)成語(yǔ)之外，還有很多成語(yǔ)中都含有“圓”和“方”這兩個(gè)字，如圓孔方木、圓顱方趾、外圓內(nèi)方等．這說(shuō)明古人對(duì)于圓和方的認(rèn)識(shí)非常深刻，已經(jīng)將其應(yīng)用到了生活中的很多方面．而我們?cè)趫A與扇形的學(xué)習(xí)中，也要注意圓形與正方形之間的聯(lián)系．元方，你怎么看？破鏡重圓：這個(gè)成語(yǔ)故事是由華陰人、隋越國(guó)公楊素的一段成人之美的佳話而來(lái)的．楊素，字處道，在輔佐隋文帝楊堅(jiān)結(jié)束割據(jù)，統(tǒng)一天下，建立隋朝江山方面立下了汗馬功勞．他不僅足智多謀，才華橫溢，而且文武雙全，風(fēng)流倜儻．在朝野上下都聲勢(shì)顯赫，頗著聲名．隋開(kāi)皇九年（公元589年）楊素與文帝楊堅(jiān)的兩個(gè)兒子陳后主叔寶的嬪妃、親戚，其中有陳叔寶的妹妹棗陳太子舍人徐德言之妻，也就是陳國(guó)的樂(lè)昌公主．由于楊素破陳有功，加之樂(lè)昌公主才色絕代，隋文帝就亂點(diǎn)鴛鴦，將樂(lè)昌公主送進(jìn)楊素中，賜為楊素小妾．楊素既仰慕樂(lè)昌公主的才華，又貪圖樂(lè)昌公主的美色，因此就更加寵愛(ài)，還為樂(lè)昌公主專門(mén)營(yíng)造了宅院．然而樂(lè)昌公主卻終日郁郁寡歡，默無(wú)一語(yǔ)．原來(lái)，樂(lè)昌公主與丈夫徐德言兩心相知，情義深厚．陳國(guó)將亡之際，徐德言曾流著淚對(duì)妻子說(shuō)：“國(guó)已危如累卵，家安豈能保全，你我分離已成必然．以你這般容貌與才華，國(guó)亡后必然會(huì)被掠入豪宅之家，我們夫妻長(zhǎng)久離散，名居一方，唯有日夜相思，夢(mèng)中神會(huì)．倘若老天有眼，不割斷我們今世的這段情緣，你我今后定會(huì)有相見(jiàn)之日．所以我們應(yīng)當(dāng)有個(gè)信物，以求日后相認(rèn)重逢．”說(shuō)完，徐德言把一枚銅鏡一劈兩半，夫妻二人各藏半邊．徐德言又說(shuō)：“如果你真的被掠進(jìn)富豪人家，就在明年正月十五那天，將你的半片銅鏡拿到街市去賣(mài)，假若我也幸存人世，那一天就一定會(huì)趕到都市，通過(guò)銅鏡去打問(wèn)你的消息．”一對(duì)恩愛(ài)夫妻，在國(guó)家山河破碎之時(shí)，雖然劫后余生，卻受盡了離散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言經(jīng)過(guò)千辛萬(wàn)苦，顛沛流離，終于趕到都市大街，果然看見(jiàn)一個(gè)老頭在叫賣(mài)半片銅鏡，而且價(jià)錢(qián)昂貴，令人不敢問(wèn)津．徐德言一看半片銅鏡，知妻子已有下落，禁不住涕淚俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的價(jià)給了錢(qián)，又立即把老者領(lǐng)到自己的住處．吃喝已罷，徐德言向老者講述一年前破鏡的故事，并拿出自己珍藏的另一半銅鏡．顫索索兩半銅鏡還未吻合，徐德言早已泣不成聲……賣(mài)鏡老人被他們的夫妻深情感動(dòng)得熱淚盈眶．他答應(yīng)徐德言，一定要在他們之間傳遞消息，讓他們夫妻早日?qǐng)F(tuán)圓．徐德言就著月光題詩(shī)一首，托老人帶給樂(lè)昌公主．詩(shī)這樣寫(xiě)道：鏡與人俱去，鏡歸人不歸．無(wú)復(fù)嫦娥影，空留明月輝．樂(lè)昌公主看到丈夫題詩(shī)，想到與丈夫咫尺天涯，難以相見(jiàn)，更是大放悲聲，終日容顏凄苦，水米不進(jìn)．楊素再三盤(pán)問(wèn)，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打動(dòng)．他立即派人將徐德言召入府中，讓他夫妻二人團(tuán)聚．府中上下都為徐陳二人破鏡重圓和越國(guó)公楊素的寬宏大度、成人之美而感嘆不已．在歡慶的感激之情．宴罷，夫妻二人攜手同歸江南故里．這段佳話被四處傳揚(yáng)，所以就有了破鏡重圓的典故，一直流傳至今．

如圖，圖中較小圓的面積是3.14，較大圓的面積是多少？如圖，正方形的面積是8，陰影部分的面積是多少？（取3.14）如圖，一頭山羊被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的等邊三角形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處，四周都很空曠．繩長(zhǎng)剛好夠山羊走到三角形建筑物外的任一位置