八年級下冊數(shù)學教案(新人教版)

第十八章勾股定理

18.1勾股定理（一）

一、教學目標

I.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。

2.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。

3.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。

二、重點、難點

1.重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。

2.難點：勾股定理的證明。

三、例題的意圖分析

例1（補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學生的思維，鍛煉學

生的動手實踐能力：這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，

和愛國情懷。

例2使學生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓學生確信

勾股定理的正確性。

四、課堂引入

目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人

類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人

是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩

千年前，是非常了不起的成就。

讓學生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角AABC,用刻度尺量出AB的長。

以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角,

兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）

的長是3,長的直角邊（股）的長是4,那么斜邊（弦）的長是5。

再畫一個兩直角邊為5和12的直角^ABC,用刻度尺量AB的長。

你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關系,52+122和132的關系，即32+42=52,

52+12—132,那么就有勾2+股2=弦2。

對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

五、例習題分析

例1（補充）已知：在AABC中，ZC=90°,NA、/B、ZC的對

邊為a>b、Co

222

求證：a+b=co

分析：⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙,讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等

進行證明。

（2）拼成如圖所本,其等量關系為：4sA-S小正二S大正

4X—ab+(b—a)2=c2,化簡可證。

2

⑶發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。

⑷勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)

學生的民族自豪感，和愛國情懷。

例2已知：在4ABC中，Z

C=90°,NA、NB、NC的對邊

b、Co

222

求證：a4-b=co

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，見兩個正方形的面積相等。

左邊S=4X，ab+c2

2

右邊S=(a+b)2

左邊和右邊面積相等，即

4X—db-\-c2=(a+b)2

2

化簡可證。

六、課堂練習

1勾股定理的具體內(nèi)容是：___________________________________________________________

2.如圖，直角AABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,(用幾何語言表示)

⑴兩銳角之間的關系：:

⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線；

⑶若NB=30°,則NB的對邊和斜

邊：_________________

⑷三邊之間的關系：________________________

3.AABC的三邊a、b、c,若滿足b2=a2+c2,則=90°；若滿足b2>c2+a2,則NB是

角；若滿足b2〈c2+a2,則NB是角。

4.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。

七、課后練習

1.已知在RtAABC中，ZB=90°,a、b、cSAABC的三邊，則

(l)c=o(已知a、b,求c)

（2）a=o（已知b、c,求a）

（3）b=o（已知a、c,求b）

2.如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c,有a<bVc,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當a=19

時，b,c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。

3、4、532+42=52

5、⑵1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

??????

19,b、c192+b2=c2

3.在AABC中，ZBAC=120°,AB=AC=1073cm,一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動,

問當P點移動多少秒時，PA與腰垂直。

4.已知：如圖，在AABC中，AB=AC,D在CB的延長線上。

求證：（1）AD2—AB2=BD-CD

⑵若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。

課后反思：

八、參考答案

課堂練習

1.略;

222

2.(l)ZA+ZB=90°；(2)CD=-AB；(3)AC=-AB；(4)AC+BC=ABO

22

3.ZB,鈍角，銳角；

4.提示：因為S梯形ABCD=S/XABE+SZ\BCE+SziEDA，又因為S悌形ACDG二—(a+b)2,

2

1-1,_1119

SABCE=SAEDA=—ab,SAABE=—c-,—(a+b)~=2X-ab-r-c~0

22222

課后練習

I.(l)c=4b?-a)；(2)a=yjb2—c2；(3)b=Jc，

22222

[iz+Z?=cnlaa+1業(yè).

2.；貝ijb=————,c=-------------------：當a=19時，6=180,c=181o

c=b+{22

3.5秒或10秒。

4.提示：過A作AEJ_BC于E。

18.1勾股定理(二)

一、教學目標

I.會用勾股定理進行簡單的計算。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。

二、重點、難點

1.重點：勾股定理的簡單計算。

2.難點：勾股定理的靈活運用。

三、例題的意圖分析

例1（補充）使學生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之

間的關系。讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學會利用不同的條件轉(zhuǎn)化

為已知兩邊求第三邊。

例2（補充）讓學生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

例3（補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的

創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。

四、課堂引入

復習勾股定理的文字敘述；勾股定理的符號語言及變形。學習勾股定理重在應用。

五、例習題分析

例1（補充）在RtZ\ABC,ZC=90°

⑴已知a=b=5,求Co

⑵已知a=1,c=2,求bo

（3）已知c=17,b=8,求a。

（4）已知a：b=l：2,c=5,求a。

⑸已知b=15,ZA=30°,求a,c。

分析：剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系。⑴已知兩直角邊，求

斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊

和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學生明確在直角三角形中，己知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩

題讓學生明確已知一邊和兩邊關系，也可以求出未知邊，學會見比設參的數(shù)學方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊

的關系的轉(zhuǎn)化思想。

C

例2（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊。X

分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應/\分兩種

ADB

情況分別進形計算。讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

例3（補充）己知：如圖，等邊△ABC的邊長是6cm。

⑴求等邊4ABC的高。

⑵求SZXABCO

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做

法。欲求高CD,可將其置身于RtZXADC或RtZ\BDC中，但只有一邊己知，根據(jù)等腰三角形三線合一

性質(zhì)，可求AD=CD=—AB=3cm,則此題可解。

2

六、課堂練習

1.填空題

⑴在RtZXABC,ZC=90°,a=8,b=15,則c=。

⑵在RtZXABC,ZB=90°,a=3,b=4,則c=°

⑶在RtZXABC,ZC=90°,c=10,a：b=3：4,則a=,b=。

⑷一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為o

⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,,則第三邊長為□

⑹已知等邊三角形的邊長為2cm,則它的高

A

為________,面積為__________。AB=46]AC=4,AD

2.已知：如圖，在4ABC中，ZC=60°,

是BC邊上的高，求BC的長。CDB

3.已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16求這個等腰三角形的面積。

七、課后練習

1.填空題

在Rt/XABC,ZC=90°

⑴如果a=7,c=25,則5=

(2)如果NA=30°,a=4,則b=°

⑶如果NA=45°,a=3,貝Uc=?

(4)如果c=10,a-b=2,則b=。

⑸如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，貝lja+b+c=。

⑹如果b=8,a：c=3：5,則c=。

2.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD1DC,

AB±AC,ZB=60°，CD=lcm,求BC的長。

八、參考答案

課堂練習

1.17；V7；6,8；6,8,10；4或南；V3,V3；

2.8；3.48o

課后練習1.24；4百；3A/2；6；12；10；2.—

18.1勾股定理（三）

一、教學目標

1.會用勾股定理解決簡單的實際問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點、難點

1.重點：勾股定理的應用。

2.難點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化。

三、例題的意圖分析

例1（教材P74頁探究1）明確如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學會如何利用

數(shù)學知識、思想、方法解決實際問題。

例2（教材P75頁探究2）使學生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角

形三邊的關系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。

四、課堂引入

勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當中有著廣泛的應用°勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問

題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎？試一試。

五、例習題分析

例1（教材P74頁探究1）

分析：⑴在實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條

件，即門框為長方形，四個角都是直角。⑵讓學生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段

哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理

的計算，采用多種方法。⑸注意給學生小結(jié)深化數(shù)學建模思想，激發(fā)數(shù)學興趣。

例2（教材P75頁探究2）

分析：⑴在AAOB中，已知AB=3,AO2.5,利用勾股定理計算OB。⑵

在△COD中，己知CD=3,CO=2,利用勾股定理計算OD。

貝|JBD=OD—OB,通過計算可知BDWAC。

⑶進一步讓學生探究AC和BD的關系，給AC不同的值，計算BD。

六、課堂練習

1.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹

的離地面的高度是米。

2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4百米,則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米V

3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的

鐵絲固定，兩個固定點之間的距離

是O

4.如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高

速公路，后因技術攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元,

隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少?

七、課后練習

1.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對

岸取一點A,使AC垂直江岸，測得BC=50米，

ZB=60°,則江面的寬度為

2.有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個

洞口，則圓形蓋半徑至少為米。

3,一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在

PQ=16厘米，且RP_LPQ,則RQ二厘米。

4.如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，ZB=Z

C=30°,E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離，鋼索AB和AE的長度。（精確到1

米）

八、參考答案:

課堂練習：

1.250V2；2.6,2^3:

3.18米；4.11600；

課后練習

五

1.50A/3米；2.；

2

3.20；4.83米，48米，32米；

18.1勾股定理（四）

一、教學目標

1.會用勾股定理解決較綜合的問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點、難點

1.重點：勾股定理的綜合應用。

2.難點：勾股定理的綜合應用。

三、例題的意圖分析

例1（補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過討

論、計算等使學生能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定

理及推導式BC2-BD2=AC2-AD2,兩對相等銳角，四對互余角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。

例2（補充）讓學生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當輔助線求出三角形中的邊和角。

讓學生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。使學生清楚作輔助線不能破壞

已知角。

例3（補充）讓學生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角

三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過程中注意條件的合理運用。讓學生把

前面學過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。

例4（教材P76頁探究3）讓學生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)

軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。

四、課堂引入

復習勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應用。

五、例習題分析

例1（補充）1.已知:在RtZXABC中,ZC=90°,CD_LBC于D,ZA=60°,CD=V3,

求線段AB的長。

分析：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學生對圖形及性質(zhì)掌握非

常熟練，能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三

角形，三個勾股定理及推導式BC2-BD2=AC2-AD2,兩對相等銳角，四對互

余角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。

要求學生能夠自己畫圖，并正確標織。引導學生分析:欲求AB,可由

AB二BD+CD,分別在兩個三角形中利月勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=lo或欲求AB,可由

AB=>JAC2+BC2,分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求

出AC=2和BC=6o

例2（補充）已知：如圖，ZXABC中，AC=4,

A=60°,根據(jù)題設可知什么？

分析：由于本題中的AABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設只能直接求

得NACB=75°。在學生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置AB邊上的高這條輔助線,就可以求得AD,CD,

BD,AB,BC及SAABC。讓學生充分討論還可以作其它輔助線嗎？為什么？

小結(jié)：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。并指出如何作輔助線?

解略。

例3（補充）己知：如圖，ZB=ZD=90°,ZA=60°，AB=4,

CD=2,求：四邊形ABCD的面積。

E

分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結(jié)AC,或延長

AB、DC交于F,或延長AD、BC交于E,根據(jù)本題給定的角應選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選

第三種較為簡單。教學中要逐層展示給學生，讓學生深入體會。

解：延長AD、BC交于E。

VZA=Z609,ZB=909,AZE=3OP。

AAE=2AB=8,CE=2CD=4,

:.BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=A/48=4A/3。

??,DE2=CE2-CD2=42-22=12,:.DE=y/\2=273。

**?S四邊形ABCD=S/\ABE?S^CDE二—AB?BE--CD?DE=6-\/3

22

小結(jié)：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把

四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。

例4（教材P76頁探究3）

分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)-一對應的理論。

變式訓練：在數(shù)軸上畫出表示6-1,2-亞的點。

六、課堂練習

1.ZXABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,則BC二?SAABC=.

2.AABC中，若NA=2NB=3NC,AC=273cm,則NA=度，ZB=度,NC=

度，BC=,SAABC=o

3.zXABC中，ZC=90°,AB=4,BC=2A/3,CD_LAB于D,則

AC=,CD=,BD=,AD=,S△△

ABC=o

4.已知：如圖，Z^ABC中，AB=26,BC=25,AC=17,

求SAABC。

七、課后練習

1.在Rt^ABC中，ZC=906，CDJ_BC于D,ZA=60°，CD=73,AB=

2.在RtZiABC中，ZC=90°,SAABC=30,C=13,且aVb,貝Ua三，b=

3.已知：如圖，在AABC中，NB=30°,ZC=45°,AC=2V2,

求（1）AB的長；（2）SAABCO

4.在數(shù)軸上畫出表示-J5,及+有的點。

課后反思:

八、參考答案:

課堂練習：

1.30cm,300cm2；

2.90,60,30,4,2、；

3.2,53,1,273；

4.作BD_LAC于D,設AD=x,則CD=17-x,252-x2=262-（17-x）2,x=7,BD=24,

1

SAABC="AC?BD=254：

2

課后練習：

1.4；

2.5,12；

3.提示：作ADJ_BC于D,AD=CD=2,AB=4,BD=2V^,BO2+2』，SAABC==2+273；

4.略。

18.2勾股定理的逆定理（一）

一、教學目標

1.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系。

二、重點、難點

I.重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。

2.難點：勾股定理的逆定理的證明。

三、例題的意圖分析

例1（補充）使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系。

例2（P82探究）通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到??起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣

和求知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實我上升到理論，提高學生的理性

思維。

例3（補充）使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①

先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，

則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

四、課堂引入

創(chuàng)設情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題

進行猜想.

五、例習題分析

例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。

⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設和結(jié)論，并

注意語言的運用。

⑵理順他們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可

能都假。

解略。

例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長a,b,c滿足

AA1

a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。

yb/b形，然

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖

后寫已知求證。

⑵如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而

將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個角是直角。

⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊AiB尸c,則通過三邊對應相等的兩個三

角形全等可證。

⑸先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求知欲，再探究

理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受。

證明略。

例3(補充)已知：在4ABC中，NA、NB、ZC的對邊分別是a、b、c,a=n2—1,b=2n,c=n2

+1(n>l)

求證：ZC=90°o

分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最

大。②分別用代數(shù)方法計算出a?+b2和d的值。③判斷a?+b2和c?是否相等，若相等，則是直角三角形;

若不相等，則不是直角三角形。

⑵要證/C=90°,只要證AABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明

a2+b2=c2即可。

⑶由于a?+b2=(n2—1)2+(2n)2=n4+2n2+l?c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,從而a?+b2=c2,故命

題獲證。

六、課堂練習

1.判斷題。

⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。

⑵命題：“在一個三角形中，有一個角是30°,那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真

命題。

⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

⑷ZXABC的三邊之比是1：1：近,則AABC是直角三角形。

2.Z\ABC中NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,下列命題中的假命題是()

A.如果NC-NB二NA,則aABC是直角三角形。

B.如果c?=b2—a?,則AABC是直角三角形，且NC=90°。

C.如果(c+a)(c—a)=b2,則AABC是直角三角形?

D.如果/A：ZB：ZC=5：2：3,則AABC是直角三角形。

3.下列四條線段不能組成宜角三角形的是()

A.a=8>b=15>c=17

B.a=9,b=12,c=15

C.a=V5,b=V3，c=V2

D.a：b：c=2：3：4

4.已知：在AABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該三角形是

否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

(Da=V3,b=2V2,c=V5；⑵a=5,b=7,c=9；

(3)a=2,6=5/3,C=A/7；(4)a=5,b=2遙，c=l。

七、課后練習，

1.敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。

⑴如果a3>0,那么a?》。；

⑵如果三角形有一個角小于90°,那么這個三角形是銳角三角形;

⑶如果兩個三角形全等，那么它位的對應角相等；

⑷關于某條直線對稱的兩條線段一定相等。

2.填空題。

⑴任何一個命題都有,但任何一個定理未必都有。

⑵“兩直線平行，內(nèi)錯角相等?！钡哪娑ɡ硎莖

⑶在AABC中，若az=b2-c2,則aABC是三角形，是直角；

若a2Vb2—c2,則NB是。

⑷若在AABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2,則AABC是三角形°

3.若三角形的三邊是⑴1、62；(2)1,(3)32,42,52(4)9,40,41；

345

(5)(m+n)2—1,2(m+n),(m+n)2+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.已知：在AABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該三角形

是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

(l)a=9,b=41,c=40；(2)a=15,b=16,c=6；

(3)a=2,b=2\/3,c=4：⑷a=5k,b=12k,c=13k(k>0)0

課后反思：

八、參考答案:

課堂練習：

1.對，錯，錯，對；2.D；

3.D；4.（1）是，NB；⑵不是；⑶是，NC；⑷是，NA。

課后練習：

1.⑴如果a2〉。，那么a3>0；假命題。

⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題。

⑶如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等；假命題。

⑷兩條相等的線段一定關于某條直線對稱；假命題。

2.⑴逆命題，逆定理：⑵內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑶直角，ZB,鈍角：⑷直角。

3.B4.⑴是，ZB；⑵不是，；（3）是，NC；（4）是，NC。

18.2勾股定理的逆定理（二）

一、教學目標

1.靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關系的認識。

二、重點、難點

1.重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2.難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

三、例題的意圖分析

例1（P83例2）讓學生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

例2（補充）培養(yǎng)學生利用方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的

創(chuàng)設情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學知識和數(shù)學方法。

五、例習題分析

例1（P83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞;

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12X1.5=18,PQ=16X1.5=24,QR=30：

⑷因為242+182=302,PQ2+PR2=QR2,根據(jù)勾股定理的逆定理，知NQPR=90

（5）ZPRS=ZQPR-ZQPS=45°。

小結(jié)：讓學生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米,

比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長;

⑵設未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+12J132,知三角形為直角三角形。

解略。

六、課堂練習

1.小強在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到

強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向

是_________________

2.如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長

為1米，則A、B、C三點能否構(gòu)成直角三角形？為什么？

3.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海

甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。

已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°,問：甲巡邏艇

的航向？

七、課后練習

1.一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分

別為，此三角形的形狀為o

2.一根12米的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲

AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D

兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？

3.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜,

爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷

米尺，測得AB=4米，BO3米，CD=13米，DA=12米，又已知/

B=90°o

課后反思：

八、參考答案：

課堂練習；

1.向正南或正北。

2.能，BC2=BD2+CD2=20,AC2=AD2+CD2=5,AB2=25,所以BC?+AC2=AB2：

3.由aABC是直角三角形，可知NCAB+NCBA=90°,所以有NCAB=40°,航向為北偏東50°。

課后練習：

1.6X,8米，10米，直角三角形；

2.△ABC、ZXABD是直角三角形，AB和地面垂直。

3.提示：連結(jié)AC。AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此NCAB=90°,

S四邊形=SAADC+S/SABC=36平方米。

18.2勾股定理的逆定理（三）

一、教學目標

1.應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。

2.靈活應用勾股定理及逆定理解綜合題。

3.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關系的認識。

二、重點、難點

1.重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

2.難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

三、例題的意圖分析

例1（補充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

例2（補充）使學生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題。本題

輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間

距離。

例3（補充）勾股定理及逆定理的綜合應用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。

四、課堂引入

勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應用來解決一些難度較大的題目。

五、例習題分析

例1（補充）已知：在4ABC中，NA、/B、NC的對邊分別是a、b、c,滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

試判斷AABC的形狀。AD

分析：⑴移項，配成三個完全平方；⑵三個非負數(shù)的和為0,\則都為

BC

E

0；⑶已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。

例2(補充)己知：如圖，四邊形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3o

求：四邊形ABCD的面積。

分析：⑴作DE〃AB,連結(jié)BD,則可以證明△ABD^^EDB(ASA)；

⑵DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；(3)ffiADEC中，3、4、5勾股

數(shù)，ADEC為直角三角形，DE±BC：⑷利用梯形面積公式可解，或利用三

角形的面積。

例3(補充)己知：如圖，在AABC中，CD是AB邊上的高,且

CD2=AD-BDo

求證：AABC是直角三角形。

分析：VAC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2

???AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD-BD+BD2

=(AD+BD)2=AB

六、課堂練習

1.若AABC的三邊a、b、c,滿足(a-b)(a2+b2—c2)=0,則AABC是()

A.等腰一角形;

B.直角三角形:

C.等腰三角形或直角三角形;

D.等腰直角三角形。

2.若AABC的三邊a、b、c,滿足a：b：c=l：1：,試判斷4ABC的形狀。

313

3.已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=-,CD=—,AD=3,且AB_LBC。

44

求：四邊形ABCD的面積。

4.已知：在aABC中，ZACB=90°，CDJ_AB于D,且CD?=AD?BD。

求證：AABC中是直角三角形。

七、課后練習，

1.若aABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+1Oc,求△ABC

的面積。

2.在aABC中,AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：AABC是等腰三角形。

3.已知：如圖，Z1=Z2,AD=AE,D為BC上一點，且BD二DC,AC2=AE2+CE2o

求證：AB2=AE2+CE2O4.已知AABC的三邊為a、b、c,且a+b=4,ab=l,c=V14,試判定AABC

的形狀。

課后反思:

八、參考答案:

課堂練習：

1.C：

9

2.Z\ABC是等腰直角三角形；3.-

4

4.提示：VAC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,/.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=

2222

AD+2AD?BD+BD=(AD+BD)=AB,AZACB=90°O

課后練習：

1.6；

2.提示：因為AD2+BD2=AB2,所以ADJ_BD,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB二BC。

3.提示：有AC?二AE2+CE2得/E=90°；由△ADCg/XAEC，得AD二AE，CD=CE,ZADC=ZBE=90°，

根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC,則AB2=AE2+CE2O

4.提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為(a+b)2=16,a2+2ab+b2=16,ab=l,所以a2+b2=14?又

因為C2=14,所以a?+b2=c2。

第十九章四邊形

19.1.1平行四邊形及其性質(zhì)(一)

一、教學目標：

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì).

2.會用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計算問題，并會進行有關的論證.

3.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

二、重點、難點

1.重點：平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應用.

2.難點：運用平行四邊形的性質(zhì)進行有關的論證和計算.

三、例題的意圖分析

例1是教材P93的例1,它是平行四邊形性質(zhì)的實際應用，題目比較簡單，其目的就是讓學生能運

用平行四邊形的性質(zhì)進行有關的計算，講課時，可以讓學生來解答.例2是補充的一道幾何證明題，即

讓學生學會運用平行四邊形的性質(zhì)進行有關的論證，又讓學生從較簡單的幾何論證開始，提高學生的推

理論證能力和邏輯思維能力，學會演繹兒何論證的方法.此題應讓學生自己進行推理論證.

四、課堂引入

I.我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護鏈，想一想它們是什么幾何圖形的形象？

平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應用的例子嗎？

你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎?

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

（2）表示：平行四邊形用符號"h來表示.

如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,AD〃BC,那么

是平行四邊形.平行四邊形ABCD記占“OABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.

①?：ABHDCAD〃BC,，四邊形ABC。是平行四邊形（判定）；

②???西邊形ABC。是平行四邊形AO//BC（性質(zhì)）.

注意：平行四邊形中對邊是指無公共點的邊，對角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點的邊，鄰

角是指有一條公共邊的兩個角.而三角形對邊是指一個角的對邊，對角是指一條邊的對角.（教學時要

結(jié)合圖形，讓學生認識清楚）

2.【探究】平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行外，還有

什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下.

讓學生根據(jù)平行四邊形的定義畫個一個平行四邊形，觀察這個四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和

兩組右邊分別平行外以，它的邊和角之間有什么關系？度量一下，是不是和你猜想的一致？

(1)由定義知道，平行四邊形的對邊平行.根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，相鄰的角互

為補角.

(相鄰的角指四邊形中有一條公共邊的兩個角.注意和第一章的鄰角相區(qū)別.教學時結(jié)合圖形使學生

分辨清楚.)

(2)猜想平行四邊形的對邊相等、對角相等.

下面證明這個結(jié)論的正確性.

已知:如圖口ABCD,

求證:AB=CD,CB=AD,NB=ND,NBAD=NBCD.

分析:作口ABCD的對角線AC,它將平行四邊形分成aABC和ACDA,證明這兩個三角形全等即

可得到結(jié)論.

(作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知問題轉(zhuǎn)化為已知的關于三角

形的問題.)

證明：連接AC,

AB〃CD,AD〃BC,

Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,