【易錯(cuò)專(zhuān)訓(xùn)】03 正方形的性質(zhì)與判定（解析版）

【突破易錯(cuò)·沖刺滿(mǎn)分】2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿(mǎn)分（北師大版）易錯(cuò)03正方形的性質(zhì)與判定【易錯(cuò)1例題】正方形的性質(zhì)1．（2021·河北八年級(jí)期末）正方形有而矩形不一定有的性質(zhì)是（）A．四個(gè)角都是直角 B．對(duì)角線(xiàn)相等C．對(duì)角線(xiàn)互相平分 D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方形與矩形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、正方形和矩形的四個(gè)角都是直角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、正方形和矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正方形和矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分但不一定垂直，故本選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并正確區(qū)分是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)2例題】正方形的判定2．（2021·上海八年級(jí)期末）下列命題中正確的是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是正方形B．一組對(duì)邊平行，且有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的四邊形是正方形C．對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形是正方形D．對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】D【分析】利用正方形的判定定理對(duì)個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可得到正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的平行四邊形是正方形，原命題錯(cuò)誤；

B、一組對(duì)邊平行，且有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的四邊形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命題錯(cuò)誤；

C、對(duì)角線(xiàn)平分、相等且互相垂直的四邊形是正方形，原命題錯(cuò)誤；

D、對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，原命題正確；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢記特殊的四邊形的判定定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．【專(zhuān)題訓(xùn)練】選擇題1．（2021·湖北八年級(jí)期末）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線(xiàn)相等 B．對(duì)角線(xiàn)互相平分C．對(duì)角線(xiàn)互相垂直 D．對(duì)角相等【答案】C【分析】根據(jù)正方形和矩形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得結(jié)論．【詳解】解：正方形和矩形都是特殊的平行四邊形，所以具有平行四邊形所有的性質(zhì)，即對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線(xiàn)互相平分，正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，矩形的對(duì)角線(xiàn)只是相等不垂直．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)要從邊、角、對(duì)角線(xiàn)三方面入手，并加以考慮它們之間的聯(lián)系和區(qū)別．2．（2021·四川成都市·八年級(jí)期末）下列條件中能判斷一個(gè)四邊形是正方形的是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等且有一個(gè)內(nèi)角為90度C．對(duì)角線(xiàn)平分每一組對(duì)角D．四邊相等且有一個(gè)角是直角【答案】D【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法，可以判斷能否構(gòu)成正方形，不正確的說(shuō)明理由或舉出反例即可．【詳解】解：對(duì)角線(xiàn)互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，但是對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，如等腰梯形中的對(duì)角線(xiàn)就有可能垂直且相等，故選項(xiàng)A不符合題意；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等且有一個(gè)內(nèi)角為90度的四邊形不一定是正方形，如直角梯形，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)角線(xiàn)平分每一組對(duì)角的四邊形不一定是正方形，如菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；四邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的判定方法．3．（2021·山東八年級(jí)期末）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝8．現(xiàn)將其沿AE對(duì)折，使得點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，折痕與邊BC交于點(diǎn)E，則CF的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．8 D．10【答案】B【分析】先根據(jù)折疊性質(zhì)可證四邊形為正方形，，然后根據(jù)可得到的值，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】∵，，∴四邊形為矩形．∵，∴四邊形為正方形，∴，∴，∴在中，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形和正方形的判定及性質(zhì)，根據(jù)正方形的判定證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖，正方形和正方形中，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，，那么的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠ACF的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形和勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)度．【詳解】如圖所示，連接，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF都是正方形，，，∴，又∵點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，AF=2CH=8．∴在中，CF，∴在中，CE=EF，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形．5．（2021·江蘇中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在A(yíng)B同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上．如果BE=BD，那么CE=____【答案】【分析】由正方形的性質(zhì)可知BC=CD=1，再由勾股定理求BD，從而可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD=1，由勾股定理，得，∴CE=BE-BC=BD-BC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在正方形中，E是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在上，則_______°．【答案】75【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AEF是等邊三角形，進(jìn)而可證明Rt△ABE≌Rt△ADF得∠BAE=∠ADF,再根據(jù)角的和差可得結(jié)論．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴EF=AE=AF，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD在Rt△ABE和Rt△ADF中∴Rt△ABE≌Rt△ADF∴∠BAE=∠ADF又∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°∴∠DAF=∴∠DAE=∠DAF+∠EAF=15°+60°=75°故答案為75【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形全等的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)等知識(shí),求出∠DAF=是解答此題的關(guān)鍵．8．（2021·上海八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于4，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，E是DB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BCE＝15°，那么△BCE的面積等于____．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理，掌握正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵．9．（2021·上海八年級(jí)期末）如圖，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)與BD相交于點(diǎn)O，的平分線(xiàn)分別交、于點(diǎn)G、H，如果，那么________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出△ABO的面積，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OG=MG，利用△ABO的面積列出關(guān)于MG的方程，解之即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴AC⊥BD，∴OA=OB==，∴S△ABO==4，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，∵AC⊥BD，GM⊥AB，AG平分∠BAC，∴OG=MG，∴S△ABO=S△AOG+S△ABG===4解得：x=，即OG=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，面積法，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，利用面積法構(gòu)造方程．10．（專(zhuān)題09特殊四邊形中的最值問(wèn)題-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（湘教版））如圖，在邊長(zhǎng)為正方形中，是對(duì)角線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】連接PC，EF證出四邊形PECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出EF=PC，當(dāng)PC⊥BD時(shí)，PC取得最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，EF四邊形是正方形，，.于，于，四邊形為矩形，.當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)是等腰直角三角形，由勾股定理得，的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及垂線(xiàn)段最短，熟練掌握矩形的對(duì)角線(xiàn)相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD再滿(mǎn)足______________時(shí)，四邊形EFGH為正方形？（只添一個(gè)條件）【答案】（1）四邊形EFGH是菱形，證明見(jiàn)解析；（2）或【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)題意得到EF=EH，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的判定定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形EFGH是菱形，理由如下：在△ACD中，G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AD，GH=AD，同理，EF∥AD，EF=AD，∴GH∥EF，GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，在△ABC中，E、H分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EH=BC，∵AD=BC，∴EF=EH，∴四邊形EFGH是菱形；（2）當(dāng)AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°時(shí)，四邊形EFGH為正方形，理由如下：∵EH∥BC，∴∠AEH=∠ABC，同理，∠BEF=∠BAD，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠HEF=90°，∴四邊形EFGH為正方形，故答案為：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位線(xiàn)定理、平行四邊形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021·上海八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)G是CD邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)G不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），以CG為一邊向正方形ABCD外做正方形GCEF，聯(lián)結(jié)DE交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)點(diǎn)H為DE中點(diǎn)時(shí)，求CG的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)證明全等即可；（2）連接BD，首先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)度，即可求出CG的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，，同理：，，∴，∴在和，，∴，∴在中，，∴，∴，∴；（2）如圖所示，連接BD，∵點(diǎn)H為中點(diǎn)，，∴為的垂直平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線(xiàn)．13．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E?F?G分別在CD?AD?BC上,且,垂足為O．（1）求證:;（2）若O是BE的中點(diǎn),且,,求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）【分析】（1）作交BE于N,BC于M,可證,從而得到,又有,可得四邊形AMGF為平行四邊形,即可證出結(jié)論．（2）連接BF?EF,則可得,在和中,利用勾股定理可得到,,然后設(shè),可列出關(guān)于的方程,解出方程即可.【詳解】（1）證明:作交BE于N,BC于M．∵在正方形ABCD中,∴,,．∵,∴．∵,∴．∴∵．∴．∴．∵在和中∴．∴．∵,∴．∵,∴四邊形AMGF為平行四邊形．∴．∵,∴．（2）如圖,連接BF?EF,∵,O是BE的中點(diǎn),∴．∵在正方形ABCD中,∴．∵,∴．設(shè),則,在中,由勾股定理得:．在中,由勾股定理得:．∵,∴．即,解得:．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形,直角三角形．14．（2021·山東八年級(jí)期末）問(wèn)題情境：如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線(xiàn)段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】（1）正方形，理由見(jiàn)解析；（2）CF＝E'F，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，則可由正方形的判定證得四邊形BE'FE是正方形；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH＝AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝CE'，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）四邊形BE'FE是正方形．理由如下：∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°．又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BE'FE是矩形．又∵BE＝BE'，∴四邊形BE'FE是正方形．（2）CF＝E'F；理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∠ADH+∠DAH＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAH+∠EAB＝90°．∴∠ADH＝∠EAB．又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS）．∴AH＝BE＝AE．∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴AE＝CE'．∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F．∴E'F＝CE'．∴CF＝E'F．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．15．（2021·四川成都市·八年級(jí)期末）（1）如圖1，與都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)和．求證：．（2）如圖2，四邊形和四邊形都是正方形，連接和．探究線(xiàn)段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，恰好使得，．求出此時(shí)的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AG=CE，AG⊥CE，證明見(jiàn)解析；（3）60°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，則∠BCE=∠ACD，再證∠BCE≌△ACD（SAS），即可得出結(jié)論；（2）證△ADG≌△CDE（SAS），得AG=CE，∠DAG=∠DCE，再由三角形的外角得∠DAG+∠ANM=∠DCE+∠ADC，則∠ANM=∠ADC=90°，即可得出結(jié)論；（3）連接CG，證△CDE≌△CDG（SAS），得CE=CG，則AG=AC=CG，△ACG是等邊