歷年全國各地中考數(shù)學(xué)真題壓軸題訓(xùn)練-圓及其方程100題

近6年全國各地中考數(shù)學(xué)真題壓軸題訓(xùn)練——圓及其方程（100題）（解析版）

L如圖，在中，ZACB=90°,。為A8的中點(diǎn)，以8為直徑。。的分別交AC,BC于技E,/兩點(diǎn),

過點(diǎn)尸作FG_LAB于點(diǎn)G.

（1）試判斷尸G與。0的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若4>=3,8=2.5,求RG的長.

【答案】（1）FG與。切，理由見解析；（2）FG=1.

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接。尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BO,得到NO8C=NQC8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

/OFC=NOCF,得到NOFC=NDBC,推出NOHG=90。，于是得到結(jié)論；

⑵連接。尸，根據(jù)勾股定理得到BC7AB2.AC?=4,根據(jù)圓周角定理得到NObCf）。，根據(jù)三角函數(shù)的

定義即可得到結(jié)論.

【詳解】

（1）相產(chǎn)G與。0切，

理由：如圖，連接Ob，

???NAC8=90。，。為A8的中點(diǎn),

:.CD=BDf

/DBC=/DCB,

???QF=OC,

:.ZOFC=ZOCFf

:"OFC=/DBC,

:.OF//DB,

ZOFG+ZDGF=[80°,

vFG±AB,

ZZX；F=90°,

.-.ZOFG=90°,

.?.尸G與。。相切；

（2）連接OF,

???8=25

/.AB=^2CD=5f

BC=y]AB2-AC2=4

?;CD為00的直徑，

ZDFC=90°,

:.FD±BC,

?.?DB=DC,

BF=-2BC=2

./AACFG

sinZABC=----=-----

ABFB

3FG

即nn一=----,

52

:.FG=~.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,ZBAD=90°,點(diǎn)E在BC的延長線上，且NDEC=NBAC.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)若AC〃DE,當(dāng)AB=8,CE=2時(shí)，求AC的長.

2

【答案】（D證明見解析；（2）AC的長為世叵.

5

【解析】

分析：（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD_LDE,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出AC_LBD,進(jìn)而求出BC=AB=8,進(jìn)而判斷出△BCDS/\DCE,求出CD,再用勾股定理求出BD,

最后判斷出ACFDsaBCD,即可得出結(jié)論.

詳解：（1）如圖，連接BD,

二點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑,

???ZBCD=90°,

???ZDEC+ZCDE=90°.

VZDEC=ZBAC,

:.ZBAC+ZCDE=90°.

VZBAC=ZBDC,

:.ZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,即：BD±DE.

???點(diǎn)D在。O上，

???DE是G)O的切線；

(2)?.?DE〃AC.

■:ZBDE=90°,

:.ZBFC=90°,

1

r.CB=AB=8,AF=CF=-AC,

2

VZCDE+ZBDC=90°,ZBDC+ZCBD=90°,

:、ZCDE=ZCBD.

VZDCE=ZBCD=90°,

AABCD^ADCE,

.BDCD

''~CD~~CEy

18CD

??，

CD2

ACD=4.

在RSBCD中，BD=JBC2+C02=4石,

同理：ACFD^ABCD,

.CFCD

BCBD

.CF4

??方—訪’

，CF=^~,

5

??.AC=2AF=3叵.

5

點(diǎn)睛：此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出

BC=8是解本題的關(guān)鍵.

3.已知△ABC,以AB為直徑的。0分別交AC于D,BC于E,連接ED,若ED=EC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若AB=4,BC=2V3,求CD的長.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）-

翦

【解析】

試題分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到NEDC=NC,由圓外接四邊形的性質(zhì)得到NEDC=NB,由此推得NB二NC,

由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論：（2）連接AE,由AB為直徑，可證得AEJ_BC,由（1）知AB二AC,由“三線

合一“定理得到BE=CE=-i-BC=V3?由割線定理可證得結(jié)論.

4

試題解析：（1）VED=EC,/.ZEDC=ZC,VZEDC=ZB,AZB=ZC,.*.AB=AC：

（2）連接AE,TAB為直徑，AAE±BC,由（1）知AB二AC,ABE=CE=-^BC=Vs，

VCE-CR=CD*CA.AC=AR=4＞，A/^2A/^=4CD,.\CD=-^.

M

考點(diǎn)：（1）圓周角定理；（2）等腰三角形的判定與性質(zhì)；（3）勾股定理.

4.如圖，AB,AC分別是半。O的直徑和弦，ODJ_AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作半。0的切線AP,AP與OD的延長線

交于點(diǎn)P.連接PC并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F.

（1）求證：PC是半OO的切線；

（2）若NCAB=30°,AB=10,求線段BF的長.

【答案】見解析；5.

【解析】試題分析：（1）、連接OC,可以證得△oAPgaocp,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定

理可以得到：ZOCP=90°,即OC_LPC,即可證得；（2）、依據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC_LPE,然后通過解直角三角

函數(shù)，求得OF的值，再減去圓的半徑即可.

試題解析：（1）、連接OC,

VOD±AC,OD經(jīng)過圓心0,

/.AD=CD,

/.PA=PC,

OA=OC

在AOAP和aOCP中，PA=PC，

OP=OP

???△OAPg△OCP（SSS）,

JZOCP=ZOAP

〈PA是CO的切線，

/.ZOAP=90°.

???ZOCP=90°,

即OC_LPC

???PC是GO的切線.

(2)、:AB是直徑，

/.ZACB=90°,

VZCAB=30°,

:.ZCOF=60°,

???PC是GO的切線，AB=10,

AOC1PF,OC=OB4AB=5,

2

考點(diǎn)：(1)、切線的判定與性質(zhì)；(2)、解直角三角形

5.(2015崇左)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,4),與y軸相切于點(diǎn)。，與x軸相交于A、B

兩點(diǎn).

(1)則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A(_,_),BC(_,_)；

(2)設(shè)經(jīng)過4、8兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=1(x-5)2+A,它的頂點(diǎn)為凡求證：直線E4與。M相切；

4

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,且點(diǎn)P在x軸的上方，使AP8C是等腰三角形.如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)產(chǎn)

的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)A(2,0),B(8,0),C(0,4)；(2)證明見試題解析；(3)尸(5,4),或(5,J7T),或(5,4+癡).

【解析】

試題分析：(1)連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可計(jì)算AD和DB；

6

（2）把A、或B或C的坐標(biāo)代入y=」（在一；5”#廢，確定二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=」（竄一國2-日，連接MA,根據(jù)勾股

44磷

定理計(jì)算AF,由勾股定理逆定理判斷MAJ_AF,從而說明FA是切線；

（3）設(shè)P（x,4）,當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在RtACMPi中用x表示CPi,根據(jù)。抬=8。2列方程求解：當(dāng)R為頂點(diǎn)時(shí)，

在RtABDPz中用x表示CP2,根據(jù)Cg2=5C2列方程求解；當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，易知P和M重合.

試題解析：3）連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,在RIAAMD中，3yjAM?-MD2=3,同

理在RsBMD中，BD=3,AA（2,0）,B18,0）,C（0,4）；

（2）把A（2,0）y=，（審一番）**最，解得k=-二，???）＜=，（酣一名產(chǎn)一二，,F（5,連接MA,則MF=4+—二

444司44

豁：___________嶺625

——，AF=（AD?+尸I）2=—,/.FA1+AD2=MF2=-----,?'.MA_LAF,，F(xiàn)A與（DM相切；

硼q16

⑶設(shè)P（x,4）,BC2=80.當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在RsCMPi中,。甲=25+（x-4）2,???25+（二-4）2=80,

x二4±J5?，點(diǎn)P在x軸上方，故x=4+序，所以（4+后，4）；

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在RSBDP2中，。廳=9+（工一4）2,A9+（x-4）2=80,x=4±JfT，點(diǎn)P在x軸上方，故

x=4十5,所以（4+M，4）；

當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，P和M重合，P3（5,4）.

綜上當(dāng)P（4+厲，4）、（4+J7T，4）或（5,4）時(shí)4PBC是等腰三角形.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

6.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AD平分NCAE交。0于點(diǎn)D,且AE_LCD,垂足為點(diǎn)E.

（1）求證：直線CE是。。的切線.

(2)若BC=3,CD=3V2，求弦AD的長.

【答案】（1）證明見解析（2）V6

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OC,如圖，由AD平分NEAC得到Nl=/3,加上N1=N2,則/3=N2,于是可判斷OD〃AE,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD_LCE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

(2)由ACDBs^CAD,可得”=—=絲，推出CD2=CB?CA,可得（3、技）2=3CA,推出CA=6,推出

CACDAD7

AR=CA-RC=3,"=阻￡=避，設(shè)RD二亞K,AD=2K,在RtAADR中，可得2k2+41<2=5,求出k即可解

助62

決問題.

試題解析：（1）證明：連結(jié)OC,如圖，

YAD平分NEAC,

???N1=N3,

VOA=OD,

AZ1=Z2,

/.Z3=Z2,

AOD/7AE,

VAE±DC,

AOD±CE,

???CE是00的切線；

(2)VZCDO=ZADB=90°,

/.Z2=ZCDB=Z1,VZC=ZC,

/.△CDB^ACAD,

.CD_CB_BD

CACDAD

ACD2=CB<A,

:.(3血)2=3CA,

ACA=6,

絲=逑=且設(shè)BD=/K,AD=2K,

/.AB=CA-BC=3,

助62

在RSADB中，2k2+4k2=5,

8

6

/.AD=2^2.

3

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì).

7.如圖，已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)（不與B,C重合），PE是AABP的外接圓。O的直

徑.

（1）求證：AAPE是等腰直角三角形；

（2）若。。的直徑為2,求,挑濟(jì)￥豳河的值

C

E

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出NC=NABC=NPEA=45。，再由PE是。O的直徑，得出

NPAE=90°,NPEA=NAPE=45。,從而得證.

（2）根據(jù)題意可知，AC=AB,AP=AE,再證^CPAg/XBAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得證.

試題解析：（1）證明：二?△ABC是等腰直角三角形，

???ZC=ZABC=45°,

???ZPEA=ZABC=45°

又???PE是。O的直徑，

/.ZPAE=90°,

.\ZPEA=ZAPE=45°,

???△APE是等腰直角三角形.

（2）???△ABC是等腰直角三角形，

???AC;AB,

同理AP=AE,

又丁ZCAB=ZPAE=90°,

???ZCAP=ZBAE,

/.ACPA^ABAE,

???CP=BE,

在RsBPE中，ZPBE=90°,PE=2,

APB2+BE2=PE2,

ACP2+PB2=PE2=4.

考點(diǎn)：1、全等三角形的判定與性質(zhì)，2、等腰三角形的判定與性質(zhì)，3、勾股定理，4、圓心角、弧、弦的關(guān)系，5、

等腰直角三角形

8.如圖，點(diǎn)。在N4P4的平分線上，。。與相切于點(diǎn)C.

（1）求證：直線尸5與。。相切；

（2）尸。的延長線與。。交于點(diǎn)若。。的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）yV3

【解析】

試題分析：（1）連接。C,作OO_LP3于。點(diǎn).證明。。=。。即可.根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；

（2）設(shè)P。交。。于凡連接CK根據(jù)勾股定理得P0=5,則PE=8.證明APCFsAPEC,得CF：CE=PC：PE=\：2

.根據(jù)勾股定理求解CE.

試題解析：（1）證明：連接0C,作OO_LPB于。點(diǎn).

與朋相切于點(diǎn)C,：.OCLPA.

（2）解：設(shè)P0交。。于F,連接CE

，：0C=3,PC=4,：.P0=5,P￡=8.

?/。。與網(wǎng)相切于點(diǎn)C,/.ZPCF=ZE.

又Y/CPF=NEPC,:、△PCFSMEC,

：.CF：CE=PC：PE=4：8=1：2.

EF是直徑,???NEC尸=90。.

設(shè)CF=x,則EC=2r.

則N+(2A)2=62>解得尸

則EC=2x號(hào)料.

10

9.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,連結(jié)BD,ZBAD=105°,ZDBC=75°.

（2）若圓O的半徑為3,求食的長.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）71

【解析】

試題分析：（1）直接利用圓周角定理得出NDCB的度數(shù)，再利用NDCB=/DBC求出答案；（2）首先求出面的度

數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案.

試題解析：（1）???四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,.*.ZDCB+ZBAD=180°,VZBAD=I05°,

:.ZDCB=180°-105°=75°,VZDBC=75°,:.ZDCB=ZDBC=75°,/.BD=CD；

（2）ZDCB=ZDBC=75°,/.ZBDC=30°,

＜

由圓周角定理，得，標(biāo)的度數(shù)為：60。，故前=嚅36°僚、,

1oUloU

答：標(biāo)的長為兀.

考點(diǎn)：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（2）弧長的計(jì)算.

10.如圖，AB為。O的直徑，PD切。O于點(diǎn)C,與BA的延長線交于點(diǎn)D,DE_LPO交PO延長線于點(diǎn)E,連接

PB,ZEDB=ZEPB.

（1）求證：PB是的切線.

（2）若PB=6,DB=8,求。O的半徑.

【答案】⑴證明見解析；（2）3.

【解析】

試題分析：（1）由已知角相等，及對(duì)頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得

到NOBP為直角，即可得證；

（2）在RSPBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC二PB,由PD-PC求出

CD的長，在RSOCD中，設(shè)OC=r,則有OD=8-r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，

即為圓的半徑.

試題解析：（1）證明：???在ADEO和APBO中，ZEDB=ZEPB,ZDOE=ZPOB,

AZOBP=ZE=90°,

〈OB為圓的半徑，

???PB為圓0的切線;

（2）解：在RtAPBD中，PB=6,DB=8,

根據(jù)勾股定理得：PD二府謂=10,

???PD與PB都為圓的切線，

/.PC=PB=6,

/.DC=PD-PC=10-6=4,

在RsCDO中，設(shè)OC=r,則有DO=8-r,

根據(jù)勾股定理得：（8?r）2=3+42,

解得：r=3,

則圓的半徑為3.

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì).

11.如圖，AA3C中，AB=ACt以A3為直徑的。。與SC相交于點(diǎn)O,與CA的延長線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)&作

刀尸_LAC于點(diǎn)尸.

（1）試說明。尸是。。的切線;

(2)若4C=3AE,求tanC.

【答案】（1）詳見解析；（2）tanC=42.

2

12

【解析】

試題分析：（1）連接0D,根據(jù)等邊對(duì)等角得出NB=NODB,ZB=ZC,得出NODB=NC,證得OD〃AC,證得

OD±DF,從而證得DF是。O的切線；

（2）連接BE,AB是直徑，ZAEB=90°,根據(jù)勾股定理得出BE=20AE,CE=4AE,然后在RTABEC中，即可

求得tanC的值.

試題解析：（1）連接OD,

/.ZB=ZODB,

VAB=AC,

.*.ZB=ZC,

:.ZODB=ZC,

，OD〃AC,

VDF1AC,

AOD1DF,

???DF是(DO的切線；

(2)連接BE,

TAB是直徑，

/.ZAEB=90°,

VAB=AC,AC=3AE,

/.AB=3AE,CE=4AE,

：?BE={AB?-AE?=2yf2AE,

在RTABEC中，lanO及二2&AE;旦

CE4AE2

考點(diǎn)：切線的判定.

12.如圖，點(diǎn)4&C在半徑為8的。。上，過點(diǎn)B作BD//AC,交。4延長線于點(diǎn)連接BC,且

ZBCA=ZOAC=30°.

（1）求證：是。。的切線;

（2）求圖中陰影部分的面積.

【解析】

【分析】

（1）連接0B,根據(jù)圓周角定理求出NBQ4,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NQ4C,根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N0=3O。，解直角三角形求出80,分別求出AB。。的面積和扇形A08的面積，即

可得出答案.

【詳解】

（1）證明：連接0B,交C4于E，

2

???ZBOA=60°,

*：ZBCA=ZOAC=30°,

???ZA￡O=90°，

即O8_LAC,

,/BD//AC,

:.NDBE=ZAEO=90。,

???B力是。。的切線；

(2)解：???4C//BD/OCA=90°,AZD=NCAO=30°，

???/。6。=90。,08=8,

???BD=gOB=8￡，

14

??S陰影"S^DO-s扇形A08=*8且攜*32反軍

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比

較好，難度適中.

13.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐

標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1).

（1）畫出aABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△AiBiG；

（2）畫出^ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的AAzB2c2;

（3）在（2）的條件下，求線段BC掃過的面積（結(jié)果保留冷.

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）2n.

【解析】

【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形即可；

（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；

（3）BC歸過的面積=5向秘2-S扇開處犯，由此計(jì)算即可;

【詳解】（1）AABC關(guān)于x軸對(duì)稱的AAIBIG如圖所示；

（2）AABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的AA2B2c2如圖所示;

（3）BC掃過的面積二S扇開處0c2—S扇般JBB2

=90%（42$2,咆2』2,=2冗

360360

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，A5為。。直徑，4c為。。的弦，過。。外的點(diǎn)。作OE_LO4于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，連接OC并延長

交的延長線于點(diǎn)P,且NO=2NA,作于點(diǎn)H.

(D判斷直線&C與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若”8=2,cosD=|,請(qǐng)求出AC的長.

【答案】(1)。。與。。相切；(2)46.

【解析】

試題分析：(1)連接OC,易證NCO8=NO,由于NP+N￡>=90。，所以N/^NCOB=90。，從而可知半徑OC_LOC；

3

(2)由(1)可知：cosNCOP=cosNO=g,設(shè)半徑為「，所以O(shè)”=r-2,從而可求出r的值，利用勾股定理即可求

出CH的長度，從而可求出AC的長度.

試題解析：解：(1)DC與。O相切.理由如下：

連接OC,VZC0B=2ZA,ZD=2ZA,AZCOB=ZD,VD￡±AP,；.NDEP=90。,在RsOEP中，

NDEP=90。,AZP+ZD=90°,<NP+NCO5=90°,，NOCP=90。，J半徑。C_LQC,二。。與。O相切.

3

(2)由(1)可知：ZOCP=90°,ZCOP=ZD,/.cosZCOP=cosZZ)=-,VCHLOP,：?/CHO=90。,設(shè)。。的

0Hr—13

半徑為r,則OH=r-2.在RsCH。中,cosNHOC=——=^^=-,A/-5,：.0H=5-2=3,上由勾股定理可知：

OCr5

CH=4,：,AH=AB-HB=\0-2=8.

16

在RtZkAHC中，NCH4=90。，，由勾股定理可知：

點(diǎn)睛：本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理、銳角三角函數(shù)，切線的判定，解方程等知識(shí)，本題屬于中等題型.

15.。0為4ABC的外接圓,請(qǐng)僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1,圖2中畫出一條弦，使這條弦將AABC

分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）如圖2,直線I與。O相切于點(diǎn)P,且1〃BC.

【答案】（1）作圖見試題解析；（2）作圖見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)C作直徑CD,由于AC=BC,弧AC二弧BC,根據(jù)垂徑定理的推理得CD垂直平分AB,所以

CD將^ABC分成面積相等的兩部分；

（2）連結(jié)PO并延長交BC于E,過點(diǎn)A、E作弦AD,由于直線1與。0相切于點(diǎn)P,根據(jù)切線的性質(zhì)得OP_LL

而1〃BC,則PE_LBC,根據(jù)垂徑定理得BE=CE,所以弦AE將△ABC分成面積相等的兩部分.

試題解析：（1）如圖1,直徑CD為所求；

考點(diǎn)：1.作圖一復(fù)雜作圖；2.三角形的外接圓與外心；3.切線的性質(zhì)；4.作圖題.

16.如圖，AB為。。的直徑，C是OO上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D,AE±DC,垂足為E,F是AE

與00的交點(diǎn)，AC平分/BAE.

(1)求證：DE是OO的切線；

(2)若AE=6,ZD=30%求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積為-號(hào).

【解析】

【分析】

（1）連接OC,先證明NOAC=NOCA,進(jìn)而得至ij0C〃AE,于是得至ij0CJ_CD,進(jìn)而證明DE是。O的切線；（2）

分別求出AOCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰產(chǎn)SACOD-S申形OBC即可得到答案.

【詳解】

解：（1）連接OC,VOA=OC,ZOAC=ZOCA,

VAC平分NBAE,:.ZOAC=ZCAE,

AZOCA=ZCAE,A0C/7AE,NOCD=/E,

VAE1DE,/.ZE=90°,/.ZOCD=90°,A0C1CD,

???點(diǎn)C在圓O上，OC為圓0的半徑，???CD是圓O的切線；

（2）在RSAED中，VZD=30°,AE=6,/.AD=2AE=12,

在RtAOCD中，vZD=30°,ADO=2OC=DB+OB=DB+OC,

ADB=OB=OC=-ADM,D0=8,

3

2

?*-CD=VPO2-OC=A/82-42=4G

CDOC

???SAOCD==4吊4=86,???ZD=30°,ZOCD=90°,

22

?1,8

??NDOC=60°,留影OBC=_xJixOC2=-71?

63

?：S陰影=SACOD-S扇形OBC；?S用影=8、/5——

J陰影部分的面積為8石-y.

18

17.如圖，。。中，弦A3與CO相交于點(diǎn)E,A3=CO，連接A。、BC.

求證：⑴AO=BC；

⑵AE=CE.

【答案】⑴見解析；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)由AB=CD知AB二CZ)'即AQ+AC二BC+AC'據(jù)此可得答案；

(2)由4O=5C知AD=BC,結(jié)合NADE=/CBE,ZDAE=ZBCEoJiiEAADE^ACBE,從而得出答案.

【詳解】

證明(1)VAB=CD,

AAB=CD*即AO+AC=BC+AC'

：?AO=BC；

⑵VAD=BC^

???AD=BC,

XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,

/.△ADE^ACBE(ASA),

AAE=CE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等,

②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.

18.如圖，AB是。O的直徑，ED切。O于點(diǎn)C,AD交。O于點(diǎn)F,NAC平分NBAD,連接BF.

（1）求證：ADJ_ED；

（2）若CD=4,AF=2,求。O的半徑.

【答案】（1）證明見解析；（2）。。的半徑為J萬.

【解析】

【分析】

（1）連接OC,如圖，先證明OC〃AD,然后利用切線的性質(zhì)得OC_LDE,從而得到AD_LED；

（2）OC交BF于H,如圖，利用圓周角定理得到NAFB=90。，再證明四邊形CDFH為矩形得到

FH=CD=4,ZCHF=90°,利用垂徑定理得到BH=FH=4,然后利用勾股定理計(jì)算出AB,從而得到。。的半徑.

【詳解】

（1）證明：連接OC,如圖，

；AC平分NBAD,

???N1=N2,

VOA=OC,

/.Z1=Z3,

.\Z2=Z3,

AOC/7AD,

「ED切00于點(diǎn)C,

AOC1DE,

AAD±ED；

（2）解：OC交BF于H,如圖,

VAB為直徑，

20

NAFB=90。，

易得四邊形CDFH為矩形，

AFH=CD=4,ZCHF=90°,

AOH1BF,

ABH=FH=4,

，BF=8,

在RtAABF中，AB=7AF2+BF2=>/22+82=2V17，

...oo的半徑為JT7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得

出垂直關(guān)系.也考查了垂徑定理和圓周角定理.

19.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD〃BC,OD與AC交于點(diǎn)E.

(1)若NB=70。，求NCAD的度數(shù)；

(2)若AB=4,AC=3,求DE的長.

【答案】(1)35°；(2)2--.

2

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)圓周角定理可得NACB=90。，則NCAB的度數(shù)即可求得，在等腰AAOD中，根據(jù)等邊對(duì)等角

求得NDAO的度數(shù)，則NCAD即可求得.

(2)易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得.

試題解析：解：⑴???AB是半圓O的直徑，???NACB=90。.

又?.?OD〃BC,AZAEO=90°,即OE_LAC.

ZB=70°,/.ZCAB=90°-ZB=90°-70°=20°.

VOA=OD,AZDAO=ZADO=55°.

???ZCAD=ZDAO-ZCAB=55°-20°=35°.

(2)在RSABC中，="2—32

VOE1AC,AAE=EC.

XVOA=OB,.,.OE=-BC=^,.

22

又?:OD=-AR=2,DE=OD-OE=2-立.

22

考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.三角形內(nèi)角和定理；4.平行線的性質(zhì)；5.勾股定理；6.垂徑定理；7.

三角形中位線定理.

20.如圖，點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在3。上，且不與點(diǎn)B,D重合），ZACB=ZABD=45°.

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連結(jié)CD,求證：V2AC=BC+CD；

（3）若△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2,4M2,,三者之間滿足的等量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DM2=BM2+2MA2理由詳見解析.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）易證AABD為等腰直角三角形，即可判定BD是該外接圓的直徑；（2）如圖所示作CA_LAE,延長

CB交AE于點(diǎn)E,再證4ACE為等腰直角三角形，可得AC=AE,再由勾股定理即可得CE=J5AC；利用SAS判

定△ABEg^ADC,可得BE=DC,所以CE=BE+BC,所以CE=DC+BC=0AC；（3）延長MB交圓于點(diǎn)E,

連結(jié)AE、DE,因NBEA二NACB=NBMA=45。，在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,由勾股定理可得

MA2+AE2=2MA2=ME2M^+AE2=2M^=ME2^再證NBED=90。，在RsMED中，有

ME2+DE2=MD2^所以2M42+^32=MD'

試題解析：（1）??,弧AB=MAB,

AZADB=ZACB,

又??,ZACB=NABD=45。，

.\ZABD=ZADB=45°,

???NBAD=90°,

22

???△ABD為等腰直角三角形，

???BD是該外接圓的直徑，

(2)如圖所示作CA_LAE,延長CB交AE于點(diǎn)E

VZACB=45°,CA±AE,

???△ACE為等腰直角三角形，

/.AC=AE,

由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2,

.??CE=&AC，

由(1)可知AABD為等腰直角三角形，

???AB=AD,NBAD=90。，

又：ZEAC=90°,

ANEAB+ZBAC=NDAC+NBAC,

???NEAB=NDAC,

AB=AD

，在aABE和AADC中，ZEAB=ZDAC,

AE=AC

AAABE^AADC(SAS),

，BE=DC,

，CE=BE+BC=DC+BC=0AC,

(3)DM2=BM2+2MA2,

延長MB交圓于點(diǎn)E,連結(jié)AE、DE,

■:ZBEA=ZACB=ZBMA=45°,

???在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,

???M42+AE2=2MA?=ME"

又：AC=MA=AE,

???AC=AE^

又.??AD=AB^

AC-AD+CE=AE-AB+CE^

即DE=BC，

???DE=BC=MB,

???BD為直徑，

，ZBED=90°,

在RTAMED中，有ME?+DE2=MD?，

?*-2A^A2+MB2=MD2

考點(diǎn)：圓的綜合題.

21.已知四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，AC是。。的直徑，DE_LAB,垂足為E.

（1）延長DE交。O于點(diǎn)F,延長DC,FB交于點(diǎn)P,如圖1.求證：PC=PB；

（2）過點(diǎn)B作BG_LAD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2.若AB二

73，DH=1,ZOHD=80°,求NBDE的大小.

【答案】（1）詳見解析；（2）ZBDE=20°.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)已知條件易證BC〃DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NF=NPBC；再利用同角的補(bǔ)角相等證得NF二NPCB,

所以NPBC=NPCB,由此即可得出結(jié)論；（2）連接0D,先證明四邊形DHBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)可得BC=DH=1,在RsABC中，用銳角三角函數(shù)求出NACB=60",進(jìn)而判斷出DH=OD,求出NODH=20。，再

求得NNOH=/DOC=40。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得NOAD='ZDOC=20°,最后根據(jù)圓周角定理及平行線的性

2

24

質(zhì)即可求解.

【詳解】

(1)如圖1,???AC是。0的直徑,

AZABC=90°,

VDE1AB,

/.ZDEA=90°,

AZDEA=ZABC,

??.BC〃DF,

AZF=ZPBC,

???四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZF+ZDCB=180°,

VZPCB+ZDCB=180°,

AZF=ZPCB,

AZPBC=ZPCB,

.?.PC=PB；

(2)如圖2,連接OD,

圖2

〈AC是。O的直徑，

:.ZADC=90°,

VBG1AD,

/.ZAGB=90°,

AZADC=ZAGB,

；.BG〃DC,

VBC/7DE,

，四邊形DHBC是平行四邊形,

.\BC=DH=1,

在RSABC中，AB=G，tanZACB=^=>/3,

BC

???ZACB=60°,

1

/.BC=-AC=OD,

2

ADH=OD,

在等腰△DOH中，ZDOH=ZOHD=80°,

/.ZODH=20°,

設(shè)DE交AC于N,

???BC〃DE,

AZONH=ZACB=60°,

AZNOH=180°-(ZONH+ZOHD)=40°,

AZDOC=ZDOH-ZNOH=40°,

VOA=OD,

:、ZOAD=-ZDOC=20%

2

:.ZCBD=ZOAD=20°,

???BC〃DE,

AZBDE=ZCBD=20°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決第(2)

問，作出輔助線，求得/ODH=20。是解決本題的關(guān)鍵.

22.如圖，OO的弦AB、CD的延長線相交于點(diǎn)P,且AB=CD.求證PA=PC.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

連接AC,由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出=進(jìn)而得出AO=C8,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出NC=

ZA,根據(jù)等角對(duì)等邊證得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，連接AC.

26

-AB=CD,

???AB=CD

:?AB+BD=CD+DB，S|JAD=CB

:.ZC=Z4.

：.PA=PC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在等腰AA8C中，AB=AC,以AC為直徑作0。交8C于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作垂足為￡.

(1)求證：DE是的切線.

(2)若DE=6,Z-C=30°,求A。的長.

2

【答案】(1)見解析；(2)4

【解析】

【分析】

(1)連結(jié)8,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和等量代換得N1=N8,由垂直定義和三角形內(nèi)角和定理得N2+NB=90。，

等量代換得N2+N1=90。，由平角定義得NDOE=90。，從而可得證.(2)連結(jié)AD，由圓周角定理得Z47X?=9O°,

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得ZAOD=60°,在RtADEB中，由直角三角形性質(zhì)得BD=CD=?6

在RtAA。。中，由直角三角形性質(zhì)得。4=OC=2,再由弧長公式計(jì)算即可求得答案.

【詳解】

(1)證明：如圖，連結(jié)8.

?：OC=OD,AB=AC,

AZ1=ZC,NC=/B,

???N1=N3，

ADELAB,

???N2+N8=90。，

/.Z2+Zl=90°,

:.NODE=90。，

???OE為。。的切線.

(2)解：連結(jié)A。，???AC為。。的直徑.

：.ZADC=90°.

?：AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD,

???ZAOD=60°.

vDE=5

???BD=CD=Z5

???OC=2,

560c2

:.AD=-----TIX2=—冗

1803

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.

24.如圖1,AB是。。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4,BC=2,P是。。上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP,

CP.

(1)求AOPC的最大面積；

(2)求NOCP的最大度數(shù)；

(3)如圖2,延長PO交。。于點(diǎn)D,連接DB,當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是。。的切線.

28

【答案】(1)4；(2)30°；(3)見解析；

【解析】

【分析】

(1)^AOPC+，底邊OC長度固定，因此要想AOPC的面積最大，則要OC邊上的高最大；由圖形可知，當(dāng)OP_LOC

時(shí)局最大；

(2)要想NOCP的度數(shù)最大，由圖形可知當(dāng)PC與。O相切才能滿足，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；

(3)連接AP,BP通過△ODBgZ\BPC可求得DP_LPC,從而求得PC是。O的切線

【詳解】

解：(1)VAB=4,

/.OB=2,OC=OB+BC=4.

在AOPC中，設(shè)OC邊上的高為h,

VSAopc=-OC-h=2h,

?二當(dāng)h最大時(shí)，SAOPC取得最大值.

觀察圖形，當(dāng)OP_LOC時(shí)，h最大，如答圖1所示:

答圖1

此時(shí)h二半徑二2,SAOPC=2X2=4.

???△OPC的最大面積為4.

(2)當(dāng)PC與。。相切時(shí)，/OCP最大.如答圖2所示:

'：tanZOCP=—==—，

，警窗徐行塞

???ZOCP=30°

，/OCP為最大度數(shù)為30。.

等圖3

/.ZA=ZD=ZAPD=ZABD,

VZAOP=ZDOB

AAP=BD,

VCP=DB,

???AP=CP：

，ZA=ZC

ZA=ZD=ZAPD=ZABDZC,

在AODBtjABPC中

?Ls=x￡i0@O,

AAODB^ABPC(SAS),

AZD=ZBPC,

???PD是直徑，

；?ZDBP=90°,

???ZD+ZBPD=90°,

.\ZBPC+ZBPD=90°,

ADPIPC,

30

〈DP經(jīng)過圓心,

???PC是。O的切線.

考點(diǎn)：1、最值問題；2、切線的性質(zhì)與判定；3、圓周角定理

25.如圖，在AABC中，AB=AC,以AC為直徑的。O交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

（1）求證：BE=CE；

(2)若BD=2,BE=3,求AC的長.

【答案】證明見解析；（2）9.

【解析】

試題分析；（1）連結(jié)人￡,如圖，根據(jù)圓周角定理，由人。為。。的直徑得到/人EC=90。，然后利用等腰三角形的性

質(zhì)即可得到BE=CE；

（2）連結(jié)￡>￡如圖，證明△BEDS/XBAC,然后利用相似比可計(jì)算出AB的長，從而得到AC的長.

試題解析：（1）證明：連結(jié)AE,如圖，:AC為（DO的直徑，/.ZAEC=90°,：.AE1.BC,而AB=AC,：.BE=CE；

9

(2)連結(jié)OE,如圖，：BE=CE=3t：.BC=61?:/BED;NBAC,而/O8E=/CBA,：?4BEDs/\BAC,:.

，：.BA=9,：.AC=BA=9.

點(diǎn)睛：本題考杳了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊

等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.也考查了

角平分線的性質(zhì)和圓周角定理.

26.如圖，在用A45C中，NC=90°,以BC為直徑的。。交A5于點(diǎn)。，切線交AC于點(diǎn)E.

B

AEC

（1）求證：ZA=ZA￡>EJ

（2）若4）=8,DE=5,求BC的長.

【答案】（1）見解析；（2）BC=^-

【解析】

【分析】

（1）只要證明/A+NB=90。，NADE+NB=90。即可解決問題；

（2）首先證明AC=2DE=10,在RtZkADC中，DC=6,設(shè)BD=x,在RsBDC中，BC2=x2+62,在Rt^ABC中，BC2=

（X+8）2.102,可得X?+62=（X+8）2-1。2,解方程即可解決問題.

【詳解】

（1）證明：連接8,

?.?0E是切線，

ZO