固體物理第三章1市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

本章主要討論晶格動力學(xué)晶體中離子實或原子圍繞其平衡位置振動振動對固體性質(zhì)影響。晶格振動決定了晶體宏觀熱學(xué)性質(zhì)，晶格振動理論也是研究研究晶體電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)等主要理論基礎(chǔ)。晶格動力學(xué)理論又叫晶格諧振理論，1912年由玻恩和卡門建立，其基本假設(shè)：假設(shè)晶體中每個原子中心平衡位置在對應(yīng)晶格格點上；這個原子離開平衡位置位移與原子間距比是小量，能夠用諧振近似，也就是說原子間彈性勢能能夠表示成位移二次項。第1頁

本章主要內(nèi)容用最近鄰原子間諧力模型來討論晶格振動本征頻率；用格波來描寫晶格原子集體運動；用量子理論來表述格波對應(yīng)能量量子；在此基礎(chǔ)上處理固體熱學(xué)性質(zhì)。

第三章晶格振動和晶體熱學(xué)性質(zhì)第2頁§3.1一維晶格振動

晶格振動根本原因:原子間存在著相互作用力。對于一對原子而言，能夠用彼此間相互作用勢能來表示。

一維單原子鏈振動是簡單可解問題，又能表達(dá)晶格振動基本特點。把一些主要方法和結(jié)論推廣到三維情況。第3頁一、一維簡單晶格

為了簡單起見，采取簡諧近似:即原子間相互作用力類似于彈性力，正比于原子間距離對平衡距離偏差，原子振動如同彈簧振子。設(shè)兩原子間互作用勢為U（r）,這兩原子間互作用力為：

普通條件下，原子作微小振動，Un＜＜a，為了取近似，將U（r）在平衡位置a附近展成泰勒級數(shù)：a一維原子鍵振動第4頁當(dāng)（r-a）很小，即振動很微弱時，展開式只保留到（r-a）2項，則原子間距離改變?yōu)椋╮-a）時,互作用力為：為常數(shù)第5頁得到一對原子間距離改變?yōu)椋╮-a）時受到彈性力為：令β稱為彈性恢復(fù)力系數(shù)。第6頁考查第n個原子受到力：只考慮最近鄰原子間作用力，則第n個原子受到力為：第n個原子牛頓運動方程為：一維原子鍵振動第7頁通常采取試解方法求解。假設(shè)上式含有簡諧波形式試解：q為波矢，qna是序號為n原子在t=0時刻振動位相。l為整數(shù)，則若兩原子位相因子之差：序號為n’原子位移：即兩原子因振動而產(chǎn)生位移相同

第8頁即該兩原子有相反位移。時而當(dāng)表明，在任一時刻，原子位移有一定周期分布。原子位移組成了波，這種波稱為格波。格波：晶體中全部原子共同參加一個頻率相同振動，不一樣原子間有振動相位差，這種振動以波形式在整個晶體中傳輸，稱為格波。第9頁將簡諧波形式試解代入運動學(xué)方程第10頁對應(yīng)相同角頻率，i為整數(shù)考慮振動波函數(shù)單值要求，波矢q可限制在以下范圍（簡約布里淵區(qū)）：注意到說明格波頻率ω在波矢空間內(nèi)是以倒格矢2π/a為周期周期函數(shù)。波矢q與波矢q’格波等價。這也正是晶格排列周期性結(jié)果。第11頁上式中指標(biāo)n已被消去，這意味著全部原子運動方程都導(dǎo)出一樣頻率－波矢關(guān)系（稱為色散關(guān)系）。表明試解代表一個簡正模型（即一個ω和一個q值）格波。格波：連續(xù)介質(zhì)彈性波：第12頁從形式看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似。但連續(xù)介質(zhì)彈性波中X是可連續(xù)取值；而在格波中只能取na（原子位置），這是一系列周期排列點。

一個格波解表示全部原子同時作頻率為振動，不一樣原子有不一樣振動位相，相鄰兩原子振動位相差為aq。若aq改變整數(shù)倍，這兩個格波所描述全部原子振動狀態(tài)完全相同。第13頁格波波速(1)在長波區(qū)域，波矢色散關(guān)系格波稱為聲頻支格波。第14頁格波波速在長波區(qū)域，波矢波速是常數(shù)某一原子周圍若干原子都以相同振幅和位相振動。第15頁格波波速(2)波矢對應(yīng)格波截止頻率相鄰原子以相同振幅作相對振動。第16頁周期性邊界條件（玻恩－卡門邊界條件）：實際情況：N個原子組成一維晶體，邊界上原子受力情況有別于體內(nèi)原子。構(gòu)想邊界條件：無限多個相同晶體相聯(lián)接，各晶體中相對應(yīng)原子運動情況都一樣。近似考慮：N非常大，邊界上原子數(shù)目極少，在考慮晶體大塊性質(zhì)時將邊界上原子視如體內(nèi)原子不至于帶來誤差。玻恩－卡門邊界條件：德國理論物理學(xué)家，量子力學(xué)奠基人之一玻恩，M.(MaxBorn1882～1970).1954年榮獲諾貝爾物理學(xué)獎第17頁周期性邊界條件（玻恩－卡門邊界條件）：上式表明，周期性邊界條件限制了晶格振動。即描寫晶格振動狀態(tài)波矢q只能取一些分立值。第18頁因為q取值范圍限制在第一布里淵區(qū)，即q只能取相隔分立值第19頁允許波矢數(shù)目等于N；振動譜是分離譜；晶格振動波矢數(shù)目＝晶格原胞數(shù)第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢代表點數(shù)目為在波矢空間中，每一個可能q所占據(jù)線度為波矢代表點密度即為（單位長度波矢代表點數(shù)目）第20頁二、一維復(fù)式格子晶格由質(zhì)量分別為m和M兩種不一樣原子組成一維復(fù)式格子，晶格常數(shù)＝2a（相鄰?fù)N原子間距離）。

當(dāng)原子產(chǎn)生位移時，平衡位置在2n與第(2n+1)個原子運動方程：

假設(shè)：分子內(nèi)和分子間距離相等，分子內(nèi)原子和分子間原子相互作用力相同，即β1＝β2＝β2a第21頁試解：A與B分別表示質(zhì)量為m與M原子振幅。將試解代入運動方程可得：第22頁這是振幅A與B線性齊次方程，A與B不能同時為零，要求由此可得第23頁一維雙原子復(fù)式格子含有兩支色散關(guān)系一樣，對于一維復(fù)式格子，q值限制在以確保un單值性。如圖所表示。第24頁聲學(xué)波和光學(xué)波在布里淵區(qū)邊界±π/2a處到達(dá)最大值在布里淵區(qū)邊界±π/2a處到達(dá)最小值第25頁由m<M可見，在兩支色散關(guān)系間存在一頻隙。ω＋O在布里淵區(qū)中心，即倒空間原點到達(dá)其最大值：第26頁討論：（1）光學(xué)波與聲學(xué)波即稱頻率較高一支ω＋O格波為光學(xué)波因為光學(xué)格波頻率處于光波頻率范圍，大約處于遠(yuǎn)紅外波段，離子晶體能吸收紅外光產(chǎn)生光學(xué)格波共振，這是光譜學(xué)中一個主要效應(yīng)。稱頻率較低一支ω＿A格波為聲學(xué)波。當(dāng)q→0時，ω-A有近似于線性色散關(guān)系第27頁而波速為為一常數(shù)。頻率與波矢成正比，波速為常數(shù)是彈性波特點.第28頁（2）相鄰兩種不一樣原子振幅比這是因為而這有兩種情況：

對于聲學(xué)波

由（3）式第29頁這說明，相鄰兩種不一樣原子振幅有相同正號或負(fù)號，即對于聲學(xué)波：相鄰原子都是沿著同一方向振動。當(dāng)在長波極限，即波矢q靠近于布里淵區(qū)中心附近，q→0時，ω＿A→0，有說明長波限原胞內(nèi)兩個原子振幅相同第30頁相鄰原子振動位相差qa→0

對于光學(xué)波因為而表明波長相當(dāng)長時，聲學(xué)波實際上代表原胞質(zhì)心振動。相鄰兩種原子振幅之比，由（3）得到第31頁這表明，對于光學(xué)波，相鄰兩種不一樣原子振動方向是相反可得對于長光學(xué)波：即原胞質(zhì)心保持不動。長波光學(xué)波描述原胞是原子間相對運動。當(dāng)q→0時，cos(qa)≈1，又第32頁（3）短波限格波特點以上討論兩頻率分支區(qū)分對于短波限，即波矢在布里淵區(qū)邊界q=±π/2a處并不顯著。對于聲學(xué)波

ω＝ω-A，有質(zhì)量為m原子靜止，質(zhì)量為M原子振動。對于光學(xué)波

ω＝

ω＋O，有

質(zhì)量為M原子靜止，而質(zhì)量為m原子振動。二者都對應(yīng)只有一個原子振動情形。第33頁(4)用周期性邊界條件確定波矢波恩－卡門周期性邊界條件對一維復(fù)式格子，有類似結(jié)果：同一維單原子晶格一樣，在第一布里淵區(qū)q可有N個不一