第3講 復(fù)數(shù)的三角表示及運算講義-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第3講復(fù)數(shù)的三角表示及運算一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式，熟練進(jìn)行兩種形式的轉(zhuǎn)化;?2.培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化，推理及運算能力;3.掌握會進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算；?4.了解復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運算的三角表示的幾何意義.二、知識點梳理1.復(fù)數(shù)的輻角以x軸的正半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。適合于0≤θ<2π的輻角θ的值，叫輻角的主值。記作：argz,即0≤argz＜2π.2.復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是復(fù)數(shù)的模；θ是復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與三角形式區(qū)分開來a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連3、兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等．4、復(fù)數(shù)三角形式的乘法及其幾何意義設(shè)z1z2的三角形式分別是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）.則z1·z2=簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加幾何意義：把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的一個輻角，長度乘以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．5、復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義設(shè)z1z2的三角形式分別是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）.則z1÷z2=簡記為：模數(shù)相除，幅角相減幾何意義：把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點順時針旋轉(zhuǎn)的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是.典型例題及課堂練習(xí)題型一復(fù)數(shù)的三角形式例1下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.解題技巧（復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟）(1)判斷依據(jù)：三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連．(2)變形步驟：首先確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)點所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角．此步驟可簡稱為“定點→定名→定角”.跟蹤訓(xùn)練一1．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．題型二復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式例2畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：（1）；（2）.解題技巧：(復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟)(1)先求復(fù)數(shù)的模；(2)決定輻角所在的象限；(3)根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；(4)寫出復(fù)數(shù)的三角形式．跟蹤訓(xùn)練二1．把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．題型三把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式例3分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：（1）；（2）.解題技巧（把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式的注意事項）（1）類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時，注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連．（2）由三角形式表示成代數(shù)形式，直接求出角的三角函數(shù)值，化簡即可．跟蹤訓(xùn)練三1．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．題型四復(fù)數(shù)的三角形式乘法運算例4已知，，求，請把結(jié)果化為代數(shù)形式，并作出幾何解釋.解題技巧（復(fù)數(shù)的三角形式乘法運算的注意事項）兩個復(fù)數(shù)相乘，積還是一個復(fù)數(shù)，它的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，它的幅角等于各復(fù)數(shù)的幅角的和。簡單的說，兩個復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為：模數(shù)相乘，幅角相加.跟蹤訓(xùn)練一1．計算下列各式：（1）；（2）；題型五復(fù)數(shù)的三角形式除法運算例5計算.解題技巧：(復(fù)數(shù)的三角形式除法運算的注意事項)兩個復(fù)數(shù)相除，商還是一個復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，它的幅角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角。簡單的說切記兩個復(fù)數(shù)三角形式除法運算法則：模數(shù)相除，幅角相減.跟蹤訓(xùn)練二1．計算下列各式：（1）；（2）.題型六復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運算的幾何意義例6如圖，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，把繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到.求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.解題技巧（復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運算的幾何意義的注意事項）復(fù)數(shù)乘法幾何意義是解題關(guān)鍵．把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的一個輻角，長度乘以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．復(fù)數(shù)除法幾何意義是解題關(guān)鍵．把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點順時針旋轉(zhuǎn)的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．跟蹤訓(xùn)練三1．設(shè)對應(yīng)的向量為，將繞點O按逆時針方向和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)45°和60°，求所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.四、課后作業(yè)1．下列復(fù)數(shù)是三角形式的是（）A． B．C． D．2．下列各角不是復(fù)數(shù)的輻角的是（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)表示成三角形式正確的是（）A． B．C． D．4．下列表示復(fù)數(shù)的三角形式中①；②；③；④；正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．復(fù)數(shù)的輻角主值是（）A． B． C． D．6．已知i為虛數(shù)單位，，，則（）A． B．C． D．7．（）A． B． C． D．8．計算的結(jié)果是（）A．-9 B．9 C．-1 D．19．將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．10．（）A． B． C． D．11．把復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式（輻角取輻角主值）為________.12．把復(fù)數(shù)表示成三角形式的結(jié)果是________.13．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.14．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是_____________.（用代數(shù)形式表示）.15．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.（1）；（2）；；（4）；（5）.16．計算下列各式，并作出幾何解釋：（1）（2）（3）（4）.能力提升1．若復(fù)數(shù)，則把這種形式叫做復(fù)數(shù)的三角形式，其中為復(fù)數(shù)的模，為復(fù)數(shù)的輻角.若一個復(fù)數(shù)的模為2，輻角為，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)是方程的一個根，那么的值等于（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)化成三角式為______．4．設(shè)對應(yīng)的向量為，將繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部為________.5．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互換.（1）；（2）