人教B版高中數(shù)學必修第二冊 知識點考點及解題方法

第四章指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)

4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

4.1.1實數(shù)指數(shù)惠及其運算

課時1實數(shù)指數(shù)惠及其運算

知識點一整數(shù)指數(shù)哥的運算

1.設〃?，〃是整數(shù)，a,b是實數(shù)（而WO）,則下列各式中正確的有（）

①〃“。=蘇；②?！?1；③④/.4一3=〃：⑤3"）"=〃〃"；⑥（"）"=/?〃.

A.6個B.5個C.4個D.3個

答案A

解析由整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)，可知這6個選項都正確.故選A.

2.若10'=3』伊'=4,貝I」101）'=,10v+v=.

答案112

10'3

解析10門=而=不10亡丫=1020'=12.

知識點二根式與分數(shù)指數(shù)鬲的互化

3.將（/十信/表示成根式的形式是（）

A，‘萬+b13.（%"+孤）可

C.A/E+/D.A//+〃十

答案c

解析

根據(jù)根式、分數(shù)指數(shù)累的意義和轉(zhuǎn)化法則可知，選

項A的分數(shù)指數(shù)形式為（a+〃）土；選項B和選項D只是

局部變成了根式形式；選項C正確.

4.用分數(shù)指數(shù)轅形式表示：7.

15

答案

解析

答案

4\2,113,3171171

r=（/+o了一彳?"一】一了）2=（。丁〃一彳一至.

知識點三實數(shù)指數(shù)暮的運算

6.計算（或化簡）下列各式：

(DO.75T義(亨Jx(6等)’+10(乃一2)7+

+16+；

137

(2)。丁Q彳a”；

(3)(//1彳3嚴1°；

(5)33+信X9一號.

解

卜原式=(書'的限傳)'+1。義總

+300++(24)+=U><Tx]―10(伍+2)+10伍+2

3222彳

437—,—

=—X-?—1073—20+1073+2=—16.

(5)33+6x9-亨=33+6x(32)一于=33+6一夕=27.

(2-v)-(3-v)=-l.

4.計算(2「3〃+)?(一3?！?〃)+(4「4〃一,)得(

「3/WC3z

A.一J-〃2B?J-〃2?

乙乙cF"D?2〃3

答案A

原式=一上一3—1+4尸+1+聾=一即2.

解析《/

5.計算(1+,(1+3|、1+&(1+3的值等于()

A.1+/B.1-今

C.2+京D.2-今

答案D

解析:(L/I十加十以］十ML十封

=(1-3(1+演1+用1+劣

=(1-&(1+圖(1+3

=(1Tib+&=1-/，

?二原式=(1-^)X2=2一玄.

二、填空題

6.設.a,B是方程5?+10x+1=0的兩個根，則2a3=,(2?/=

1

了

12

答案4

解析利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，得a+/=—2,儂=￡則2a.M=2〃

1

?2號

+萬=2(2呼=2必=

7?計算:近片一胡+停尸+也萬千=.（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

2

答案e+?

解析原式=啦+1-1+0"。，+?—也=e+1.

8.若一1一十=2,則+/一十的值等于.

答案2啦

解析

11c11c

（一+x~^y=（7彳—JC~^>+4=4+4=8.

iiii/—

???7彳）0,7一彳>0,?'?72+7一彳=29.

三、解答題

r-r-t76Z>6—9/?4b5

9已知〃=2"〃=5的求業(yè)防fb葉9人心寶的右

解制-6—6卜尸+9b4=（°3力-3-32）2,

由4=2由，b=5?得蘇廣<3尻

.后?（〃/_3從）（誨-3+3〃）/

.?原式—3換一小獷33+3/#

（?占-3+3加屹5

二-。3+3護

（?+3分）/

=7+3,

=—b2.

:b=5?故原式=-50.

10.化簡：2工―:—+甲L—三上.

JT3+^3+1/?+1JfT-1

解

121121

仁a_Cr?-1）（戶+戶+1）,（戶+1）（^一戶+1）

原式—2i十~

+戶+1/至+1

1,11

（/——1）（戶+1）

1

1,21,11

=/?-1+―/彳+1-JC?（/7+1）

1

=一7?.

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

課時2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

-------知識對點練--------

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一指數(shù)函數(shù)的概念

1.下列函數(shù)①y=3%②y=4*,③伊=2鞏@y=3X2S⑤y=3'+l中，一定

為指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析②是指數(shù)函數(shù)，③丁=2〃=4、是指數(shù)函數(shù)；。④⑤均不是.

2.函數(shù)）=（2/—3〃+2）仆是指數(shù)函數(shù)，則。的值是（）

A.。>0,aWlB.a=1

C.D.a=l或

答案C

2a2—3a+2=l,i

解析由指數(shù)函數(shù)的定義得、八一、解得。=右故選C.

6?>0,。子1,乙

知識點二指數(shù)函數(shù)的圖像

3.若函數(shù)），=3'+S—l）的圖像不經(jīng)過第二象限，則有（）

A.b<\B.bWOC.b>\D.力NO

答案B

解析指數(shù)函數(shù),，=3、過定點（0,1）,函數(shù)），=3'+S-l）過定點（0,b）,如圖所

示，若函數(shù)圖像不過第二象限，則〃W0.

4.如圖，曲線Ci,C2,C3,C4是指數(shù)函數(shù)），=。'的圖像，而。［乎，鄧,兀

則圖像G,C2,C3,C4對應的函數(shù)的底數(shù)依次是,,

答案3I71

解析由x=l時），=”可得指數(shù)函數(shù)圖像變化的規(guī)律：在），軸右側(cè)，圖高底

大.

易知C2的底數(shù)＜G的底數(shù)＜1＜。4的底數(shù)＜。3的底數(shù).又;＜坐＜?。钾＃?/p>

故。，C2,C3,C4對應函數(shù)的底數(shù)依次是冷，兀，小.

知識點三利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

5.以下關于數(shù)的大小的結(jié)論中錯誤的是（）

A.1.72-5＜1.73B.0.8fl＜0.8-0-2

X_L

C,1.7°-3＞0.93-1D.（y）3＞（y）'

答案D

解析

y=l.7工單調(diào)遞增，2.5<3,A1.72-5<l.7?,A正

確；了=0.8工單調(diào)遞減，一0.1>—0?2,???0.8一0,1<

0.8一0,2,B正確；又1.70,3>1.7°=1,0.93-1<0,9°=1,

9*，C正確；［（曰『『=（｝）4=1

［（Z）4］=（z）小?（打V

（十）"」）錯誤.故選D.

6.已知。5y17（。>0,且。XI）,求X的取值范圍.

7

解當時,a5x<axl,-5x<x~7,解得工>不；當0<〃<1時，a5x<ax

-7,???一5%一7,解得?綜上所述，當。>1時，x的取值范圍是6，+8）；當

0<?<1時，x的取值范圍是（一00,看）.

知識點四指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合問題

7.求下列函數(shù)的定義域和值域.

（1））=（2）；（2）y=（;

⑶產(chǎn)AF?；（4及=4工+2'"+1.

解（l）x應滿足x+4W0,，xW—4,

???定義域為卜卜?關一4,xER）.

■:去wo,???（+）**,

???y=（5廣；的值域為｛山>0,且燈1｝.

（2）定義域為R.V|x+l|^O,

,產(chǎn)即』（滬畸=1,

二?值域為｛ylyNl｝.

（3）x應滿足1一（?20,.?G）wi=a°，

「?,GO,

，定義域為｛x|x20｝.??320,

??.OW1—七)<1,??.0W)yl,???值域為［0,l).

(4)定義域為R

令2'=r(/>0),則y=4片+2巾+1=尸+2/+1=(/+1)2.

Vr>0,???什1)2>1，

，值域為

8.討論函數(shù)次x)=《｝2a的單調(diào)性，并求其值域.

解二函數(shù)火幻的定義域是(一8,十8),令，=X2-2X,則/")=(￡),

又?.丁=f—2x=(x—1)2—1在(-8,1］上是減函數(shù)，大。=弓)在其定義域內(nèi)

是減函數(shù).

函數(shù)九￥)在(-8,1］上為增函數(shù).

二函數(shù)財=(9在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，『/一辦=。一1)2—1在［1,4-00)

上是增函數(shù)，

，函數(shù)J(x)在［1,+8)上是減函數(shù).

??.,")<川)=5,又???七/二丸

?7/㈤的值域為(0,5］.

9.己知函數(shù)啟)=(；>—1.

(1)作出函數(shù)/U)的簡圖；

(2)若關于4的方程40=3〃?有兩個解，求m的取值范圍.

5(I)'-1,x20,

解(1)/U)=23/

3一1,"0,

如圖所示.

0X

（2）作出直線），=3〃?，當一時，即一；<〃?<（）時，函數(shù)y=/（x）與y=3/〃

有兩個交點，即關于x的方程/U）=3〃?有兩個解.

31

io.已知函數(shù)yu）=

3葉「

（1）證明人丫）為奇函數(shù)；

（2）判斷/U）的單調(diào)性，并用定義加以證明；

（3）求火幻的值域.

解（1）證明：由題知?x）的定義域為R,

_3"x-l（3'X-1>3Xl~3r_

/_*）=3r+]=（3、+1）?3*=]+3*=一“幻'

所以7U）為奇函數(shù).

（2求幻在定義域上是增函數(shù).證明如下：

任取XI,X2WR，且XI<12,

3%-13勺-1

/（孫）一/5）=

3%+13勺+1

=（1-22

3%+13勺+1

2?（30—3勺）

（3勺+1）（3勺+1）?

???71<>2，???3&-3勺>0,3%+1>0,30+1>0,

:?f（4）—f（工1）>0,即/（支）〉/（巧），

??"⑺為R上的增函數(shù).

3V—12

（3/幻=3丫+]=1-3"+1'

2<2-2<-^<0,

V3AX）=>3A+1>!=>（）<

3葉1

2

，一ivi-小不［〈I，即於）的值域為（一1,1）.

易錯點忽視中間變量的取值范圍

11.求函數(shù)），=（"）+（；卜+1的值域.

易錯分析用換元法解答本題，易忽視中間變量的范圍致誤.

正解令，=g）,/0：0,+8）,則原函數(shù)可化為y=l2+/+l=*+；｝+/

因為函數(shù)y=（f十十（在（（），十8）上是增函數(shù)，

所以）＞（0+92+5=1,即原函數(shù)的值域是（1,+8）.

?課時綜合練?

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.設yi=40?9,），2=8°型，戶=（；）L5,貝1」（）

A.y3>y\>y2B.y2>y\>y3

C.y\>y3>yiD.y\>yi>y3

答案C

解析yi=4°-9=2L8,>t2=8°-48=2L44,），3=弓）一>5=22,..juZT在R上是增

函數(shù)，1.8＞1.5＞1.44,.”|＞戶＞）2故選C.

2.函數(shù)/u）=qr二不斗而言的定義域為（

）

A.（—3,0]B.（-3,1]

C.（—8,D.（一8,-3）U（-3J1

答案A

解析由題意，自變量應滿乩〃一2＞9。0,,x〈0,

x+3解得，

.x>—3,

.??一3＜xS。.

3.函數(shù)兀r）=a'f的圖像如圖所示，其中a,〃為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.a>\,b<0

B.a>\,b>0

C.0<a<1,Z/>0

D.0<tz<1,b<0

答案D

解析由圖知/w在R上單調(diào)遞減，故（）<〃<1,的）<1,即，y,???一6>。,

.??〃<（）.故選D.

3K

4.函數(shù)>=不高的值域是（）

A.&1）B.（-8,0）C.（0,1）D.（1,4-oo）

答案C

3K1

解析）'=5#7=1-^77'???3、>0，，3葉1>1.

/.0<^/.<1./.0<1—?./.<1.

J-T1"十1

即原函數(shù)的值域為（0』）.

5.若函數(shù)於）=產(chǎn)L4{〃>0,〃wi）,滿足則yw的單調(diào)遞減區(qū)間是

（）

A.（一8,2]B.[2,+8）

C.[-2,+8）D.（一8,-2]

答案B

解析由川）=〃=/,于是4=；,因此段）=（護F.又g（x）=|2r-4|在[2,

+8）上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性知/U）=（9R.「4）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+

°°）.

二、填空題

6.已知函數(shù)4v）=。一2*+]，若凡￥）為奇函數(shù)，則〃=.

答案2

解析???函數(shù)/U）為奇函數(shù)，且入￡R,/./())=〃-：=()..,?a=

7.若函數(shù)、=2一/+5-】在區(qū)間（一8,3）上單調(diào)遞增，則實

數(shù)。的取值范圍是.

答案

解析

?=2-f+”—1在（—8,3）上單調(diào)遞增，即二次函

數(shù)/（7）=—/2+?-1在（—8,3）上遞增，因此需要對

稱軸解得。〉6.

乙

8.若方程|@}一1］=。有唯一實數(shù)解，則。的取值范圍是.

答案［1,+8）U{0}

解析作出y=|曲一1|的圖像，如圖，要使直線產(chǎn)。與圖像的交點只有一

個，只需或4=0.

三、解答題

9.若3工=泊-53>0,且。當），求X的取值范圍.

解因為°「1乂05-力=43.「5,

所以當公>1時，可得工+1>3］一5,所以xv3.

當0<4<1時，可得x+l<3x—5,所以第>3.

綜上，當心1時，x<3；當0?1時，X>3.

,1、，-6/+17

10.已知函數(shù)y=（2）

⑴求函數(shù)的定義域、值域；

⑵確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解(1)設〃=f—6K+17,由于函數(shù))，=e)“

及〃=/—61+17的定義域為(一8,十8),

,1、/-6z+17

故函數(shù)v=(2)的定義域為R.

因為〃=/—6z+17=(z—3)2+828,所以

(4),又()『>0,故函數(shù)的值域為(0,與.

(2)函數(shù)〃=/—6z+17在[3,+8)上是增函數(shù)，即對任

意的可，彳2G[3,+8),且1]V/2,有V〃2,從而(f)

>(ir，就是例〉及，所以函數(shù)y=

.-]、，-6z+17

[3,+8)上是減函數(shù).同理可知，尸十在

'乙，

(—8,3]上是增函數(shù).

4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

4.2.1對數(shù)運算

課時3對數(shù)運算

------■知識對點練一

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一對數(shù)的概念

1.求使對數(shù)log.3(7r)有意義的x的取值范圍是

答案3<v<7且xW4

7—x>0,

解析要使對數(shù)有意義，有一>。且15

/.3<r<7且xH4.

2.方程log”I-2x)=1的解x=.

3

答案-

2

3

解析由l—2r=4,得工=一亍

知識點二指數(shù)式與對數(shù)式間的相互轉(zhuǎn)化

3.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）

A.10°=1與1g1=0

B.27—+=4?與iog274=-4

oOo

C.log39=2與9彳=3

D.log55=1與51=5

答案c

解析

log9=2與32=9互化，9.=3與log3=-y

39乙

互化.

4.設51嗎工=25,則/的值等于()

A.5B.6

C.8D.9

答案D

510g3工=52,log^=2,/.jr=9.

解析3

5.若log216"=2,則a=.

答案!

解析log216“=2,16"=2』4,故。=g.

知識點三對數(shù)恒等式

6.化簡：0.7叫）,78等于（）

A.272B.8

答案B

解析設logo.78=4=0.7"=8.，選B.

/1\logs（2x—1）

7.設（卷）=2,則/的值等于

答案!

解析

(卷)—=5—1砥(21)=

13

zr=2.所以4彳-2=1,1=—.

14

知識點四常用對數(shù)與自然對數(shù)

8.若In(lgx)=0,貝ijx=.

答案10

解析因為In(lgx)=0,所以lgx=e°=l,所以x=10.

9.log5m=10g20〃=］，求lg（7加）的值.

解

由logm=log"=■可得m=5/,〃=20+,所以

520o

XX_L2?.2

7〃〃=5亍X20彳=100?=10亍，所以lg(7?27?)=—.

o

易錯點忽視底數(shù)的取值范圍

10.已知log(x+3)(『+3幻=1,則實數(shù)X=.

易錯分析本題容易忽視底數(shù)大于()且不等于1,其數(shù)大于0.

答案1

1*+3工=1+3,

x+3>(),

正解由題意，得5解得x=l.

—

+3x>0,

?課時綜合練?

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.下列四個命題，其中正確的是（）

①對數(shù)的真數(shù)是非負數(shù)；

②若a>0且aWI,則logal=0;

③若〃>0且1,則log4=1；

④若。>。月則〃°&2=2,

A.①?③B.②③④

c.(D@D.①②③④

答案B

解析

①對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，①錯誤；②q°=l,???logal

=0,②正確；③/=a,???log4=l,③正確；④由對數(shù)恒

等式小&N=N，得/&2=2,④正確.

2.若log2(log⑼=1,則x=()

A.3B.±3

C.9D.2

答案A

解析Vlog2(logv9)=l,.\iogv9=2,即f=9,

.\x=±3.由x>0知，x=3.

3.若Iog3（log8i）=0,貝IJ］一十等于)

A.—

o

*272飛E

答案c

解析

Vlog3(log8jr)=0,/.log8x=1一?.z=8,則/一.

=1=1

78272,

4.若對數(shù)式logm_2)9=2,貝i」〃=()

A.-1B.5

C.竽D.-1或5

答案B

解析若log(?-2)9=2,則(a—2戶=9.故a—2=±3,。=一1或5,因為。-2>0

且。一2W1,故a=5.

5.已知道。2)=噢24,則旭)=()

A.4B.2

C.1D.-I

答案C

解析令/=4,即a=±2,因為a>0,故a=2,所以/(4)=log22=1.

二、填空題

6.若1(唱3卜產(chǎn))=1,則l=.

答案一7

解析由已知得上手=3,解得x=-7.

7.若川O')=心則八3)=.

答案1g3

解析令10'=3,則工=他3,

?M3)=/U(F)=%=lg3.

8.已知方程好+30段6+^23=0的兩根為a,優(yōu)則2。十夕=.

答案I

解析因為a+￡=一】og26,所以2e=2-log26f21og26)-i=4.

三、解答題

/1\log25

9.計算?31+1°禽5—24+1O?23+]031g3+(T)

解

214-log35_24+1嗎3+1031g3_|_

=3X3bg35-24X210g23+(10、3)3+(2晦5)—1

90

=3X5-16X3+33+5-=—？.

0

10.(1)已知Iogi89=a,logi854=〃，求182a—"的值；

(2)已知log，7=3i+io&2,求，的值.

解(1)18a=9,12=54,

18—]8〃-54-54-2-

1

(2)logr27=3義3喝2=31X2=6,

???16=27一??1=27/=(33)卷=疽

4.2.2對數(shù)運算法則

課時4積、商、幕的對數(shù)

■知識對點練，

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一正確理解對數(shù)的運算法則

1.對。>0,且N>0）,下列說法止確的是（）

A.log“MlogJV=log，M+N)

B.=log“(M—M

lOgaN

C.Iog?#?'=logs〃M

log.2)M

D.loguA/=

log(一2)。

答案c

解析

由對數(shù)的運算性質(zhì)知A,B錯誤；對于C,

logy/M^=1O&(M)-=—\ogM,log/M"=—logM,

a?nama

???C正確,D中一2不能做底數(shù)，，D錯誤.故選C.

2.下列式子中:①愴(3+2代)一愴(3—2也)=0；

@lg(10+V99Hg(10-亞)=0;

③logy/^i-幾+1+5)=—1(〃￡N,)；

④｛篝=lg(a-b).

其中正確的有(填序號).

答案③

解析1g(3+2陋)一1g(3—2A/2)=1g3—I2,

=坨(3+2色)2>0,故①錯誤.

?.」g(10+啊)W0,也(10—啊)#0.

.,.lg(10+V99)-lg(1()—四)W(),故②錯誤.

:iog^/Z7i-W)N〃+1+5)

=iogN"+1——1,③I上確.

??耨"愴("一")，故④錯誤.

知識點二對數(shù)式的計算、化簡

3.計算下列各式的值：

⑴log2log212-|log242；

(2)lg5004-lg|-|lg644-50(lg24-lg5)2.

5h上巾X1211

解⑴原式=1°g2四x屈=l°g2g=一,

(2)原式=lg(500X()—lg64T+50(lg10)2=lg挈

+50=lg100+50=2+50=52.

4.計算：(l)lg25+lg2Xlg50+(lg2)2；

4(惶3)2—lg9+l(lg亞+lg8—lg[7而6)

(2)lg0.3Xlg1.2

解(1)原式=21g5+】g2X(l+lg5)+(lg2)2

=21g5+ig2(l+lg5+lg2)

=21g5+21g2=2.

?\/(lg3)2-21g3+l^1lg3+31g2一1)

(2)原式=(lg3-l)X(lg3+21g2-l)

3

(l-lg3)X2(lg3+21g2-l)3

-

-2

(lg3-l)X(lg3+21g2-l)

易錯點利用對數(shù)的運算法則化簡求值時忽略對數(shù)有意義的條件

r

5.設lgx+lgy=21g(x—2y),則log<的值為.

易錯分析本題容易匕現(xiàn)將對數(shù)式lg.r+lgy=21g(x—2y)轉(zhuǎn)化為代數(shù)式盯=

\>0,

。一2)，)2時，忽略了對數(shù)有意義的條件，即隱含條件<*>(),從而誤認為;=4

j—2y>0.

或不=1,得出log《=l或0的錯誤答案.

答案1

正解由lgx+lgy=21g(x—2y),得

lg(q)=lg(x—2y)2,因此x)=(x—2y)2,

即x2-5個+4)，2=0,得?=4或?=1,

)y

xx

10g4^=1或log4(=0.

又,.,QO,)>O,x—2y>0,

即10gM0,

yy

..10g4-=l.

■課時綜合練■

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.(lg5)2+lg2?lg5+lg20的值是()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析(1g5)2+lg2-lg5+lg20=lg5(lg5+lg2)+lg20=lg5-lg10+ig20=lg

5+lg2U=lg100=2.

2.設a=log32,則log38-21og36用a表示的形式是()

A.a~2B.3。一(1+。)2

C.5。-2D.一〃2+3。-1

答案A

解析log?8—21og36=31og?2—2(log?2+l)=3a—2(a+1)=。-2.

3.若lgx=lga+21g6一31gc,則x=()

A.a+2b-3cB.。+〃一/

我型

C?D.3c

答案C

解析Vigx=lga+21gz?-31gc=lg^-,

??/=專.故選C.

4.若lgx=〃7,lgy=〃，則1gG—lg住下的值等于()

A^in-2n—2B.^in-2〃-1

2〃+2

答案D

解析原式=,gx—2(lgy—lg10)=%?—2〃+2.

1o331

5.化簡：logz'+logzj+logzwH---Hog2正等于()

A.5B.4

C.-5D.-4

答案C

解析原式=1(培2匕/|乂］9乂3/…X引3n=I0g2為1=一5.

二、填空題

6.log3絲+lg25+lg4+7抽：2=.

o

答案T

解析

3

了

原式=log3號3+lg(25X4)+2=log3--i+

o3

1g1。2+2=-4>+2+2=孕.

s44

7.如果方程(1gx)2+(lg7+lg5)lgx+lg71g5=0的兩根是a,夕，則儂=

答案2

解析方程(lgx)2+(愴74-lg5)lgx+lg7-lg5=0可以看成關于lgx的二次方

程.

/?是原方程的兩根，

Alg?,lg"可以看成關于Ig.r的二次方程的兩根.

由根與系數(shù)的關系，得lga+lg夕=—(Ig7+lg5)=-lg35=lg=，，lg(M

=lga+lg￡=lg表,即儂='.

8.已知Iog32=a,3"=5,則log3小5用a,〃表示為.

答案；(l+a+b)

解析由4=log32,Z?=log35,得Iog3，55=]log330=2(log35+1+Iog32)=1(l

+a+Z?).

三、解答題

zig27+lg8—lirT?

6

9.計算:-

g5

21g3+31g2—121g3+31g2—

解原式=7~2~=i7j

26Tg5也2+lg3Tg當

|(lg3+2lg2-l)3

=Ig3+21g2-l=T

10.已知logu(.r2+4)+log^+1)=log?5+log?(2xy—1)(?>0,且1),求logg

的值.

解原等式可化為10N[。2+4>()，2+1)]

=logd[5(2.ry—1)],(x2+4)(/+1)=5(2xy—1).

整理，得丹2+_?+4)2-10沖+9=0,

配方，得(沖-3)2+。-2>)2=0,

U)=3，,1=1

?1=2)，.r一才

?^°^2——3,

課時5換底公式

------"知識對點練，

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點換底公式及應用

1.若2.5'=1000,0.25，=1000,則：一：等于()

A.1B.3

C.一§D.—3

答案A

解析由2.5^=1000,0.25'=1000得

33

x=log2.51000=)72^,y=logo.251000=ls()25,

?l_J_1^2.5lg().25_l

'fx~y=3~3=y

2.若Iog341og48?log8，?=log416,則〃?=.

答案9

解析由換底公式，得,8=i：3=bg，l6=2,/.Ig//z=2)g3=lg

9,：.m=9.

6?log5?logs4_

3.(1)計算710g76

(2)已知lg2=a,lg3=b,那么log512=.

小』2a+b

答案（D4（2）f

(])71og76?lcg65?logs4=7好?舒.^4=7log74=4

解析

Jg12_21g2+lg3_2〃+b

(2)log512=

lg5-l-lg2-\-a

4.計算：(log43+Iogs3)(logs2+Iog92).

鈕國#fig3,1g3Vlg2,1g2Afig3,lg3Afig2,1g2A11,1

解原式-bg4+Igdbg3+lg9H21g2+31g2凡g3+21g3j-2+4+3

6=4'

5.已知Ji,y,z為正數(shù)，3*=平=6二?2x=py.

⑴求P；

(2)求證:--7=2y-

解(1)設3'=4'=6二=%(顯然Q0,且公勺)，

則x=log32,y=logM,z=log6k,

由2x=pyf得2\o^k=p\og4k=p^^t

Vloga^^O,，p=21og34.

⑵證明：十一卜康一康=bgA6—loQ=log立4。gM=4,

.1_1=±

zx2y

6.計算:(l)log89Xlog2732；

(2)logy27；

(3)10g2七Xlog3*Xlogg.

解⑴log89XIog2732=!|-|X磊|

25

_lg3l.g2_21g351.g2_10

-lg231g33—31g231g3—9，

“、117log327loW310g333

(2)log927-log39-10g332-210g33-2.

(3)log2自x10g3=Xlogsj

=log25-3X1(g2一5Xlog53-1

=-310g25X(-5log32)X(-Iog53)

=-15Xlg2Xig3Alg5=-15.

易錯點換底公式的應用

7.設a,b,c均為小等于1的止實數(shù)，則卜列等式中恒成立的是（）

A.log"log/2c=logc。

B.loga/?log￡ZZ=logt/>

C.IOga(^C)=log?/?-IOgz/C

D.log?(Z?4-c)=log?Z?4-logflC

易錯分析由于對換底公式掌握不清而致錯.

答案B

正解對于A,logj?4og〃c=log疝?黃》=logaC,C,D中公式運用錯誤，logagc)

=10g/+10gaC.

?課時綜合練?

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.(Iog29).(log34)=()

11

A--C24

4B.2

答案D

lg9Ig4_21g321g2

解析(Iog29)(log34)=Ig2xlg3-lg2xlg3=4

2.已知ln5=mln3=。，那么logi527用含。，〃的代數(shù)式表示為（）

c38cb2、護

B.~7C.—

A.Ta±baD,弟

答案B

.In2731n33b4、莊宜

解析因為]ogi527=]^=]n3+M5=r'故選巳

3.若Iog5”og36-log6A=2,則X等于()

A.9B.zC.25D.zr

y4J

答案D

由換底公式，得原式=卷上翳篙=2,igx=-21g5,尸5一2二表.

解析

‘y+'y等于

4.)

log}-logiy

A.1g3B.-lg3

c-^―D一高

lg3

答案C

解析

1一1^11

原式=log+y+log|虧=logiy+logiy

1叫志=1隔10=占選?.

5.設log83=p,log35=q,則lg5等于()

B*3〃+2q)

A./r+^2

「3Pq

J+3PqD?〃夕

答案C

缶力士匚??1個愴3愴3

解析.log83-]g131g2-P'

/.lg3=3plg2.

...<1-5

.Iog35—jg3-q,

?**Ig5=gig3=3〃glg2=3〃q(lTg5),

?/g5=]%《均，故選C

二、填空題

6.若logablog3a=4,則b的值為

答案81

解析log"40834=4,即Iog3。?肝普=4,即log3Z>=4,

A34=Z?,Z.Z?=81.

7.方程log3(x—l)=log9(x+5)的解是

答案4

解析由換底公式，得k>g9(x+5)=]10g3a+5).

，原方程可化為210g31*—1)=log3(x+5),

即log3(A—l)7=log.<(A4-5),

(x—1)2=X+5.

/.x2—3x—4=0,解得x=4或x=-1.

x-l>0,

又「I?「八：.x>\,故x=4.

U+5>0,

8.設加)=bg〃+i(〃+2)(〃￡N),現(xiàn)把滿足乘積川)負2)…%)為整數(shù)的〃叫做

“賀數(shù)”，則在區(qū)間(1,2018)內(nèi)