2012屆高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)課件：8-3第三節(jié)-圓的方程(北師大版)

考綱點(diǎn)擊考情關(guān)注掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.從近年的高考試題來看，求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)、半徑等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．客觀題突出了“小而巧”，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程；主觀題往往在知識交匯處命題，除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等.1.圓的定義在平面內(nèi)，到

的距離等于

的點(diǎn)的

叫圓．2．確定一個圓最基本的要素是

3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中

為圓心，

為半徑．定點(diǎn)定長集合圓心和半徑．(a，b)r4．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是

，其中圓心為

，半徑r＝

.5．確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)

；(2)

；(3)

D2＋E2－4F>0根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．6．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上： ；(2)點(diǎn)在圓外： ；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：

.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r21.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程是(

)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝12．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(

)A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝03．過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝44．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為________．5．已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，則a的取值范圍是________．3．答案：C解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.∵圓心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1.∴r＝2，∴方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.4.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5題型一求圓的方程■

例1求過點(diǎn)A(6,0)，B(1,5)，且圓心C在直線l：2x－7y＋8＝0上的圓的方程．[思路分析]

方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組求出a，b，r的值．方法二(幾何法)因為圓的圓心在弦AB的垂直平分線上，所以可由直線l的方程與弦AB的垂直平分線的方程求其圓心C的坐標(biāo)，再求圓的半徑r＝|AC|即可求得圓的方程．方法二：線段AB的中垂線方程為x－y－1＝0.求圓的方程，一般采用待定系數(shù)法．(1)若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(如例1)，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，可選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，從而求出D，E，F(xiàn)的值．題型二與圓有關(guān)的最值問題■

例2已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．研究與圓有關(guān)的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地，題型三與圓有關(guān)的軌跡問題■

例3已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程．[聽課記錄]

(1)設(shè)AP中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．∵P點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上．∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故PQ中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．此外還有交軌法、參數(shù)法等．不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．[互動訓(xùn)練3]如圖，已知點(diǎn)A(－1,0)，與點(diǎn)B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，連結(jié)BC并延長至D，使|CD|＝|BC|，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程．解：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，由題意可知點(diǎn)P是△ABD的重心，∵A(－1,0)、B(1,0)，令動點(diǎn)C(x0，y0)，則D(2x0－1,2y0)，∴由重心坐標(biāo)公式得：例4

(2008·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．[解]

(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.∴b的取值范圍為b<1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝－b－1.所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圓C必過定點(diǎn)(0,1)和(－2,1)．證明如下：∵定點(diǎn)與b無關(guān)，x2＋y2＋2x－y＋(1－y)b＝0，故1－y＝0，∴y＝1，把y＝1代入上式圓的方程得x＝0或x＝－2，將(0,1)代入圓C的方程，得左邊＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右邊＝0.所以圓C必過定點(diǎn)(0,1)．同理可證圓C必過定點(diǎn)(－2,1).1.(2010·福建卷)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為(

)A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y