專題02雙曲線的焦點三角形問題（解析版）-高考數(shù)學圓錐曲線部分必會十大基本題型

雙曲線必會十大基本題型講與練02雙曲線的焦點三角形問題典例分析一、焦點三角形面積問題1．已知雙曲線：的上、下焦點分別為，，為雙曲線上一點，且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記，，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合余弦定理可得，再利用三角形面積公式可推得，即可求得答案.【詳解】記，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面積公式得，∴，而，，。2．（多選題）已知點P在雙曲線上，，分別是左、右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）A．點P到x軸的距離為 B．C．為鈍角三角形 D．【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出的坐標，結(jié)合兩點的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對選項逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線方程得，，則，由△的面積為20，得，得，即點到軸的距離為4，故錯誤，將代入雙曲線方程得，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，，則，由雙曲線的定義知，則，則，故正確，在△中，，則，為鈍角，則△為鈍角三角形，故正確，，則錯誤，故正確的是，【點睛】本題主要考查與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷．這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.3．已知是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線C上的一點.若為直角三角形，則的面積等于______________.【答案】或9【分析】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，然后分和兩種情況求解即可【詳解】由，得，則，所以，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，若時，當時，，得，所以，所以的面積為，當時，則，因為，所以，所以，所以的面積為，綜上所述，的面積為或9。二、焦點三角形周長問題1．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長.【詳解】|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故選：A.2．已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，則，則由題意可得的周長為，當，，三點共線時，最小，從而可得答案【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，則．由題可知，，∴，，，∴，的周長為．∵當，，三點共線時，最小，最小值為，∴的周長的最小值為．故選：A3．如圖雙曲線的焦點為，過左焦點傾斜角為的直線與交于兩點．(1)求弦長的值；(2)求的周長．【答案】(1)3；(2)【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長；（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長.【解析】(1)因為雙曲線的焦點為，所以，設(shè)．聯(lián)立，整理得：，.(2)記的周長為，則．，又得．點在右支，故．同理：點在左支，．三、焦點三角形形狀的判斷與應用1．已知有相同焦點，的橢圓和雙曲線，是它們的一個交點，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上均有可能【答案】B【分析】分別利用橢圓和雙曲線的定義，可求得，的表達式，根據(jù)有相同的焦點，可得c相等，可得m，n的關(guān)系，整理可得，即可得答案.【詳解】根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，不妨設(shè)在第一象限，是左焦點，是右焦點，則由橢圓與雙曲線的定義有：，可得，，即，因為兩者有公共焦點，設(shè)半焦距為，則，，所以，所以，所以，即，是直角三角形．故選：B.2．設(shè)，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】不妨設(shè)點在第一象限，根據(jù)雙曲線的定義得到，再由，得到，進而求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，因為點在雙曲線上，不妨設(shè)點在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因為，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為.故選：C.3．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（，）的兩個焦點，C的離心率為5，點在C上，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當時，得，要由，解得，故當時，即可得到答案.【詳解】設(shè)的焦距為，離心率為．當時，由平面幾何知識得，解得．∵，∴．根據(jù)雙曲線上點的橫坐標的取值范圍以及平面向量內(nèi)積的幾何意義可知，當時，實數(shù)的取值范圍是．4．已知，分別是雙曲線的左右焦點，點B為C的左頂點，動點A在C上，當時，，且，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出，然后根據(jù)直角三角形建立方程求出，根據(jù)雙曲線的系數(shù)關(guān)系即可求得方程.【詳解】由題意得：，，又，，又，在直角三角形中，由勾股定理得，于是，解得：，故可知：（舍去）或，又由可知：，所以C的方程為。四、有關(guān)焦點三角形的內(nèi)角問題1．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的值為（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定方程求出焦距，再結(jié)合橢圓、雙曲線定義建立與的關(guān)系即可計算作答.【詳解】依題意，焦距，由橢圓、雙曲線定義得：，兩式平方相加得：，于是有，所以的值為.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線，交雙曲線右支于，若，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相切及三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義可得，進而得解.【詳解】如圖所示，設(shè)與圓相切于點，過作，故，，又，則，則，，由雙曲線定義得，即，故漸近線方程為，3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】不妨設(shè)P是雙曲線右支上一點，則則|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理得解.【詳解】不妨設(shè)P是雙曲線右支上一點，在雙曲線x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故選：B.4．在平面直角坐標系中，曲線的左，右焦點分別為，，點A是以線段為直徑的圓與雙曲線C在第一象限內(nèi)的交點，過點A且與直線垂直的直線與x軸相交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)、同角的余角相等，結(jié)合雙曲線的定義、雙曲線離心率公式、輔助角公式進行求解即可.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由，，所以，可得，又由，可得，在中，，，又由雙曲線的定義有，可得，可得，有。五、有關(guān)焦點三角形的內(nèi)切圓問題1．（多選題）已知為雙曲線（，）右支上一點，，分別為雙曲線的左、右焦點，是的內(nèi)心，雙曲線的離心率為，，，的面積分別為，，，且，下列結(jié)論正確的為（）A． B．C．在定直線上 D．若，則或【答案】BC【分析】設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)，利用等面積法，可判斷選項ABD，利用圓的切線長定理和雙曲線的定義可判斷選項C；【詳解】如圖所示：設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，因為，則，，，所以，得，故A錯誤，B選項正確，D選項顯然錯誤；C選項中，設(shè)圓與三邊，，切點分別為，，，則，由雙曲線定義有，從而.又，，所以，設(shè)，，（為雙曲線的半焦距），所以，解得，即點在定直線上，所以C選項正確，2．（多選題）已知P是雙曲線在第一象限上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是E的左、右焦點，的面積為．則以下結(jié)論正確的是（）A．點P的橫坐標為B．C．的內(nèi)切圓半徑為1D．平分線所在的直線方程為【答案】BCD【分析】求得雙曲線的，不妨設(shè)，，運用三角形的面積公式求得的坐標，運用兩直線的夾角公式可得，由兩點間距離公式求得周長，再利用三角形的面積公式和等面積法即可求出，由二倍角的正切公式可求出平分線所在的直線斜率，得出方程.【詳解】雙曲線中的，不妨設(shè)，，的面積為，，解得，由，可得，故A錯誤；由，且，則，則，即，故B正確；，則的周長為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，解得，故C正確；設(shè)平分線所在的直線為，可得，解得，則平分線所在的直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.3．已知，分別是雙曲線的左?右焦點，P為雙曲線右支上除右頂點之外的一點.（1）若，求的面積（2）若該雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，求內(nèi)切圓的圓心軌跡方程.【答案】（1）面積為；（2）.【分析】（1）設(shè)，，由雙曲線定義得，再由余弦定理得的關(guān)系式，兩者結(jié)合可求得，從而可得三角形面積；（2）設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點是點H，內(nèi)切圓的圓心為點M，，與內(nèi)切圓的切點分別為A，B，根據(jù)雙曲線的定義可求得，再由橢圓的焦點坐標及雙曲線過點求得，即可得軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)，，由雙曲線的定義可得，由余弦定理得，，所以，的面積為.（2）如圖所示，，，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點是點H，內(nèi)切圓的圓心為點M，，與內(nèi)切圓的切點分別為A，B，由雙曲線的定義可得，即，又，，，所以，即.設(shè)點M的橫坐標為x，則點H的橫坐標為x，所以，即.因為雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，所以，，所以，，故內(nèi)切圓的圓心軌跡方程為.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應用，若為雙曲線的右支上任一點，是雙曲線的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的內(nèi)切圓圓心是，則軸，若在左支，則軸．方法點撥雙曲線定義的應用策略1、根據(jù)動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求求出曲線方程．2、將雙曲線上點P與兩焦點的距離的差的絕對值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)與正弦定理、余弦定理結(jié)合，解決焦點三角形問題．3、利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關(guān)的問題，如最值問題、距離問題．[提醒]利用雙曲線的定義解決問題時應注意三點：(1)距離之差的絕對值，若將定義中的絕對值去掉，則點的軌跡是雙曲線的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦點所在坐標軸的位置．鞏固練習1．在直角坐標系中，設(shè)為雙曲線的右焦點，為雙曲線的右支上一點，且為正三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為正三角形求出的坐標，代入雙曲線方程，根據(jù)離心率公式化為關(guān)于的方程，可求出結(jié)果》【詳解】不妨設(shè)在第一象限，因為為正三角形，，所以，又在雙曲線上，所以，所以，所以，所以，所以，化簡得，解得，所以.2．已知雙曲線：，點是的左焦點，若點為右支上的動點，設(shè)點到的一條漸近線的距離為，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合點到直線的距離最短，求解即可.【詳解】過作垂直于雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，則，連接與雙曲線的另一個焦點，如下所示：由雙曲線的定義可知，，又雙曲線方程為，故，又點坐標為，雙曲線的漸近線為，故點到漸近線的距離為，故.3．從雙曲線的左焦點F引圓的切線交雙曲線右支于P點，若M為線段PF的中點，O為坐標原點，則以PF為直徑的圓與圓O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】C【分析】如圖所示，設(shè)是雙曲線的右焦點，連接，則利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)是雙曲線的右焦點，連接，∵點M，O分別為線段PF，的中點，由三角形中位線定理得到：，即圓心距等于兩圓的半徑之差，∴以線段PF為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是相內(nèi)切．4．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列說法正確的是（）A．若為直角三角形，則的周長是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程，寫出a，b，c，不妨設(shè)點P在第一象限，，若為直角三角形，分和兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得出正確選項.【詳解】因為雙曲線，所以，不妨設(shè)點P在第一象限，則，若為直角三角形，當時，則，又，即，所以，，所以，所以的周長是，的面積是；當時，設(shè)，代入方程解得（負值舍去），所以，故，所以所以的周長是，的面積是6，綜上所述，若為直角三角形，則的周長是或8，的面積是3或6，故A、B錯誤；若為銳角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故C正確；若為鈍角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故D錯誤.故選：C.5．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，直線交雙曲線左、右兩支于兩點，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點且.在中，是的中點，所以，因為直線的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.6．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先表示出漸近線方程，設(shè)出點坐標，利用，解出點坐標，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設(shè)在上，設(shè)，由得，解得，的面積為.7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，均在雙曲線的右支上，其中點在第一象限，，，三點共線，且，若，則雙曲線的漸近線方程為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理可構(gòu)造關(guān)于離心率的齊次式，進而可解得離心率，并求得漸近線方程.【詳解】如圖所示，因為，故．設(shè)，則，則，則．在中，由余弦定理，，化簡可得，即，解得或（舍），又，則，故雙曲線的漸近線方程為，8．（多選題）已知，是雙曲線的左、右焦點，過作傾斜角為的直線分別交軸與雙曲線右支于點，，下列判斷正確的是（

）A．， B．C．的離心率等于 D．的漸近線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意得，，；由知：，又，，求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷.【詳解】如下圖所示，因為，即為中點，為中點，所以，因為，所以，所以，，A錯誤，B正確；由知：，又，，所以，即，所以，解得：，C正確；所以，所以，所以，所以，所以的漸近線方程為，D正確．9．（多選題）設(shè)雙曲線C：的左、右焦點分別為，，B為雙曲線C上一點，且，則以下結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線C的離心率B．雙曲線C的漸近線方程為C．D．若的面積為3，則【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線方程表示出、，即可求出離心率與漸近線方程，再由，利用勾股定理及雙曲線的定義不妨令，即可得到，從而判斷C、D；【詳解】因為，所以，，所以C的離心率，所以A正確；由方程知雙曲線C的漸進線方程為，即，所以B錯誤；由，所以，不妨令，即，可得，，故C正確；由，解得，故D正確．10．（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為，隨著點的運動，點的軌跡方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用焦點三角形的面積公式求解，對于B，由焦點三角形的面積公式求出，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C，當為直角三角形時，求出臨界值進行判斷，對于D，利用相關(guān)點法結(jié)合重心坐標公式求解【詳解】對A，根據(jù)焦點三角形的面積公式：，將代入可得：，故A正確；對B，當時，即，即，又，故，由，即，解得：，故B錯誤；對C，當時，，當時，，，故C正確；對D，設(shè)，，則，由題設(shè)知，則，，故D正確.11．（多選題）已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線右支交于P，Q兩點，且，下列說法正確的是（

）A．與雙曲線的實軸長相等B．C．若在以為直徑的圓上，則雙曲線的漸近線方程為D．若，則直線的斜率為【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解判斷A，由由雙曲線的性質(zhì)求解判斷B，利用勾股定理求得判斷C，結(jié)合雙曲線的定義，余弦定理求得直線傾斜角的正切值，再利用對稱性得直線斜率判斷D．【詳解】由雙曲線定義知，A正確；由雙曲線的性質(zhì)（為右頂點時取等號），本題中不可能是右頂點，所以，．所以，B正確；若在以為直徑的圓上，即，由選項A討論知，所以，即，從而，，漸近線方程為，C正確；若，則，所以，中，，中，，，所以，，，，，，所以，由對稱性知的斜率為，D正確．12．（多選題）已知點P是雙曲線的右支上一點，為雙曲線E的左、右焦點，的面積為20，則下列說法正確的是（）A．點P的橫坐標為 B．的周長為C．大于 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABD【分析】設(shè)的內(nèi)心為，連接，設(shè)，利用的面積為20，可求得P點坐標；的周長為，借助P點坐標，可得解；利用，可求得，可研究范圍；可求得內(nèi)切圓半徑r.【詳解】設(shè)的內(nèi)心為，連接，雙曲線：中的，，，不妨設(shè)，，，由的面積為20，可得，即，由，可得，故A符合題意；由，且，，則，則的周長為，故B符合題意；可得，，則，則，故C不符合題意；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，可得，可得，解得，故D符合題意．故選：ABD．13．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點?，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，由橢圓、雙曲線的定義可得，，由余弦定理可建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率的關(guān)系式，根據(jù)橢圓離心率范圍，計算即可得到雙曲線離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，，由余弦定理可得：，即，解得，因為，所以，，可得，故，14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為頂點為焦點作拋物線，若雙曲線與拋物線交于點，且，則拋物線的準線方程是__．【答案】【解析】【分析】直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得點的坐標，得出，結(jié)合雙曲線定義求得，由此求得拋物線的準線方程．【詳解】設(shè)雙曲線的交點坐標為，則拋物線的方程為，因為，所以直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，所以，由，可得，根據(jù)雙曲線的定義可得，即，解得，所以拋物線的準線方程為.15．已知分別為雙曲線的兩個焦點，曲線上的點P到原點的距離為b，且，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】由等面積法結(jié)合定義得出，由結(jié)合余弦定理得出該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)焦距為，因為，，所以，又，所以因為，所以，結(jié)合整理得，即16．已知雙曲線，的左、右焦點分別為、，且的焦點到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點，為弦的中點，若為坐標原點）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；

②的離心率為；

③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形【答案】②④【分析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點的坐標，再求邊長，求出可判斷④．【詳解】設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨取點的坐標為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確．17．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為．點為雙曲線上一點，且點P在第一象限，．(1)求的正弦值；(2)求點P的縱坐標．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合雙曲線的定義求得，利用余弦定理求得，進而求得.（2）結(jié)合等面積法來求得點的縱坐標.(1)雙曲線，，在第一象限，結(jié)合雙曲線的定義可知.，在三角形中，由余弦定理得，所以，所以.(2)在第一象限，，,所以.18．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作傾斜角為的弦AB．求：(1)AB的長；(2)的周長．【答案】(1)3，(2)【分析】（1）設(shè)，，，，求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程，將直線的方程代入雙曲線的方程，利用韋達定理求得，，再根據(jù)弦長公式即可得解；（2）求出，的坐標，由兩點的距離，即可得到△的周長．【解析】(1)雙曲線的左焦點為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入方程得，，，，；(2)，不妨設(shè)，由（1）可得，，，，則的周長為．19．已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，，直線經(jīng)過，斜率為，與雙曲線交于，兩點，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)共漸近線，設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標可得結(jié)論；（2）寫出直線的方程為．設(shè)，，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應用韋達定理得，由弦長公式求得弦長，求出到直線距離后可得三角形面積．【詳解】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點得：，即，雙曲線方程為