《高數(shù)映射與函數(shù)》課件

《高數(shù)映射與函數(shù)》課程導(dǎo)入基礎(chǔ)回顧回顧集合論、數(shù)列、函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)。概念理解理解映射與函數(shù)的基本概念和定義。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握映射與函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。映射的概念映射是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它描述了兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，映射就是將一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合中的元素建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例如，我們可以將一個(gè)學(xué)生集合映射到一個(gè)成績(jī)集合，每個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)一個(gè)成績(jī)。在數(shù)學(xué)上，一個(gè)映射可以用一個(gè)有序?qū)Φ男问奖硎荆?a,b)，其中a是第一個(gè)集合中的元素，b是第二個(gè)集合中的元素。這表示a映射到b。映射的性質(zhì)唯一性對(duì)于定義域中的每個(gè)元素，映射結(jié)果都是唯一的。多值性同一個(gè)映射結(jié)果可能對(duì)應(yīng)著定義域中的多個(gè)元素。單值性每個(gè)元素只對(duì)應(yīng)一個(gè)映射結(jié)果，是唯一性的特例。全射映射結(jié)果覆蓋了整個(gè)值域。一一映射定義當(dāng)且僅當(dāng)映射f中不同的元素對(duì)應(yīng)于不同的元素時(shí)，該映射稱為一一映射。性質(zhì)對(duì)于一一映射f，有f(x1)=f(x2)則x1=x2，反之亦然。反映射定義如果一個(gè)映射f:X→Y是雙射的，則稱f為X到Y(jié)的反映射。性質(zhì)反映射是可逆的，其逆映射為f-1:Y→X，滿足f-1(f(x))=x和f(f-1(y))=y。應(yīng)用反映射在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中廣泛應(yīng)用，例如編碼、解密、坐標(biāo)變換等。復(fù)合映射1定義將兩個(gè)或多個(gè)映射依次進(jìn)行，形成一個(gè)新的映射，稱為復(fù)合映射。2符號(hào)用“°”表示復(fù)合映射，例如：f°g表示先進(jìn)行映射g，再進(jìn)行映射f。3性質(zhì)復(fù)合映射滿足結(jié)合律，但不一定滿足交換律。映射與集合一一映射每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)唯一的另一個(gè)元素。滿射每個(gè)元素都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射。雙射一一映射且滿射，兩個(gè)集合之間一一對(duì)應(yīng)。函數(shù)的概念函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種重要概念，它描述了兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)可以理解為一個(gè)“機(jī)器”，它接收一個(gè)輸入值，經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算后輸出一個(gè)結(jié)果值。函數(shù)的定義域是指所有可以作為函數(shù)輸入的集合。函數(shù)的值域是指所有可能的輸出值的集合。函數(shù)的表示方式1解析式使用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2圖像以圖像的形式直觀地表示函數(shù)。3表格列出函數(shù)的自變量和因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的性質(zhì)定義域函數(shù)定義域是指所有可以作為函數(shù)自變量的取值集合.值域函數(shù)值域是指函數(shù)所有取值的集合.單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨著自變量的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）的性質(zhì).奇偶性函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱還是關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì).反函數(shù)定義對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)函數(shù)g(x)，使得對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意x，都有g(shù)(f(x))=x，則稱g(x)為f(x)的反函數(shù)，記為f-1(x)。性質(zhì)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，值域是原函數(shù)的定義域。反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱。存在條件不是所有函數(shù)都有反函數(shù)，只有單調(diào)函數(shù)才存在反函數(shù)。即對(duì)于任意x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)。初等函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)初等函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性初等函數(shù)可以具有單調(diào)遞增或遞減的性質(zhì)，這意味著函數(shù)值隨著自變量的變化而單調(diào)變化。周期性一些初等函數(shù)，如三角函數(shù)，具有周期性，意味著函數(shù)值在一定范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。奇偶性初等函數(shù)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)，這取決于函數(shù)值關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性。復(fù)合函數(shù)1定義當(dāng)一個(gè)函數(shù)的變量是由另一個(gè)函數(shù)的值決定的，則稱此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)。2表達(dá)式y(tǒng)=f(g(x))，其中g(shù)(x)是內(nèi)函數(shù)，f(x)是外函數(shù)。3例子y=sin(x^2)，其中g(shù)(x)=x^2，f(x)=sin(x)。復(fù)合函數(shù)在數(shù)學(xué)中十分重要，它可以用來(lái)描述許多復(fù)雜的現(xiàn)象。例如，我們可以用復(fù)合函數(shù)來(lái)描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，或者描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的變化趨勢(shì)。函數(shù)的極限無(wú)限逼近當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是函數(shù)的極限。趨近過(guò)程極限描述的是一個(gè)趨近的過(guò)程，而不是最終的值。函數(shù)值可以無(wú)限接近極限，但永遠(yuǎn)不會(huì)完全等于極限。無(wú)窮大函數(shù)的極限也可以是無(wú)窮大，表示當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限增大。間斷點(diǎn)定義函數(shù)在其定義域內(nèi)，如果存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)左右兩側(cè)的極限都不存在或不相等，則該點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。分類間斷點(diǎn)可分為三類：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，意味著函數(shù)圖像在該點(diǎn)沒(méi)有跳躍或斷裂。連續(xù)函數(shù)的圖像可以用一根連續(xù)的曲線繪制，沒(méi)有間斷點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性在微積分中至關(guān)重要，例如求導(dǎo)和積分。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)切線的斜率導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，可以用切線的斜率來(lái)表示。變化率導(dǎo)數(shù)也可以用來(lái)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，比如速度和加速度。優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中扮演重要角色，例如找到函數(shù)的極值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1求函數(shù)極值利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)的極值，例如最大值和最小值。2求函數(shù)單調(diào)性通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。3求函數(shù)凹凸性利用二階導(dǎo)數(shù)，可以判斷函數(shù)的凹凸性以及拐點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1和差法則兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差。2積法則兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3商法則兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分母的平方除以分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)減去分母乘以分子的導(dǎo)數(shù)。4鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)凹凸性二階導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)求函數(shù)的拐點(diǎn)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義隱函數(shù)是指用方程表示的函數(shù)，無(wú)法直接用一個(gè)表達(dá)式表示，但可以用方程的導(dǎo)數(shù)來(lái)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)方法利用隱函數(shù)方程對(duì)自變量求導(dǎo)，然后將導(dǎo)數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用于求解隱函數(shù)的切線方程、極值、拐點(diǎn)等。微分定義微分是對(duì)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)附近的變化量的一種度量。它可以看作是函數(shù)在該點(diǎn)附近變化率的線性近似。公式函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的微分記為df，定義為df=f'(x)dx，其中f'(x)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，dx是自變量的增量。應(yīng)用微分在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如，在物理中，微分可以用來(lái)計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度。微分的應(yīng)用切線方程使用導(dǎo)數(shù)來(lái)求曲線的切線方程。函數(shù)近似用導(dǎo)數(shù)來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題，例如找到函數(shù)的最大值或最小值。微分中值定理羅爾中值定理在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)，如果函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，則存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。拉格朗日中值定理在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)，則存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在端點(diǎn)處的增量與區(qū)間長(zhǎng)度的比值?？挛髦兄刀ɡ碓陂]區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)的兩個(gè)函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)在端點(diǎn)處的增量不為零，則存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比等于這兩個(gè)函數(shù)在端點(diǎn)處的增量之比。函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像可以幫助我們直觀地理解函數(shù)的變化規(guī)律。通過(guò)圖像，我們可以觀察到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等重要性質(zhì)。函數(shù)圖像的繪制方法多種多樣，常用的方法有：*描點(diǎn)法：*利用函數(shù)性質(zhì)：*利用計(jì)算機(jī)繪圖軟件：坐標(biāo)變換二維坐標(biāo)系通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或縮放變換，可以改變坐標(biāo)系的位置和方向。三維坐標(biāo)系三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換涉及到三個(gè)維度，例如平移、旋轉(zhuǎn)和縮放。函數(shù)的極值1極大值函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得的最大值。2極小值函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得的最小值。3駐點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。函數(shù)圖像的描繪函數(shù)圖像的描繪是數(shù)學(xué)分析中重要的內(nèi)容。通過(guò)描繪函數(shù)圖像，我們可以直觀地