數(shù)學集合知識點

數(shù)學集合知識點演講人：日期：目錄CATALOGUE01集合的基本概念02集合的運算03子集與真子集04集合的劃分與覆蓋05集合的基數(shù)06笛卡爾積與關系01集合的基本概念CHAPTER集合是數(shù)學中的基本概念，是由一些確定元素所構成的整體。定義常用大寫拉丁字母A、B、C等表示集合，小寫拉丁字母a、b、c等表示集合中的元素；也可用描述法來表示集合，如“所有大于0的實數(shù)”等。表示方法集合定義及表示方法如果一個元素是集合中的一個成員，則稱該元素屬于該集合。元素屬于集合如果一個元素不是集合中的一個成員，則稱該元素不屬于該集合。元素不屬于集合沒有任何元素的集合稱為空集，用符號?表示?？占嘏c集合關系判斷010203子集如果一個集合A的所有元素都是另一個集合B的元素，則稱A是B的子集。并集由兩個或兩個以上集合中所有元素組成的集合，稱為這些集合的并集。交集兩個集合中共同的元素組成的集合，稱為這兩個集合的交集。差集對于兩個集合A和B，由A中所有不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集。集合間關系及運算規(guī)則自然數(shù)集表示全體自然數(shù)的集合，常用符號N表示。有理數(shù)集表示全體有理數(shù)的集合，常用符號Q表示。整數(shù)集表示全體整數(shù)的集合，常用符號Z表示。實數(shù)集表示全體實數(shù)的集合，常用符號R表示。常見數(shù)集的表示方法0102030402集合的運算CHAPTER并集定義由兩個集合A和B中所有元素組成的集合，記作A∪B。并集運算及其性質(zhì)01交換律A∪B=B∪A。02結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。03分配律(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)。04A∩B=B∩A。交換律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。結合律01020304由兩個集合A和B中公共元素組成的集合，記作A∩B。交集定義(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。分配律交集運算及其性質(zhì)差集定義：由屬于A但不屬于B的元素組成的集合，記作A-B。性質(zhì)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)。A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)。差集運算及其性質(zhì)對稱差定義兩個集合A和B的對稱差是由所有只屬于A或只屬于B的元素組成的集合，記作AΔB，即AΔB=(A-B)∪(B-A)。交換律AΔB=BΔA。結合律(AΔB)ΔC=AΔ(BΔC)。與空集的關系AΔ?=A，AΔA=?。向量空間在對稱差運算中，任意集合X的冪集是阿貝爾群，并且是二元域Z2上的向量空間，向量空間的維數(shù)等于X的元素個數(shù)。對稱差運算及其性質(zhì)010203040503子集與真子集CHAPTER子集的定義如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集。子集的判斷方法子集概念及判斷方法若?a∈A，均有a∈B，則A?B?？梢酝ㄟ^遍歷集合A中的每一個元素，檢查它是否也屬于集合B，如果是，則A是B的子集。0102真子集的定義如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。真子集的判斷方法首先判斷A是否是B的子集，然后判斷B是否是A的子集，如果A是B的子集且B不是A的子集，則A是B的真子集。真子集概念及判斷方法子集與真子集的聯(lián)系真子集是子集的特殊情況，即當子集不等于母集時才稱為真子集。子集與真子集的區(qū)別子集包括真子集和集合本身，而真子集不包括集合本身。子集與真子集關系探討例子1設集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}，則A是B的子集，但不是真子集，因為B不是A的真子集。例子2設集合A={1,2}，集合B={1,2,3}，則A是B的真子集，因為A是B的子集且B不是A的子集。舉例分析04集合的劃分與覆蓋CHAPTER集合劃分定義集合劃分是把一個集合分割成若干個互不重疊且能完全覆蓋原集合的子集。集合劃分定義及性質(zhì)01性質(zhì)一每個元素只能屬于一個子集，即子集間互不重疊。02性質(zhì)二所有子集的并集等于原集合，即完全覆蓋原集合。03性質(zhì)三劃分的子集數(shù)量不一定，但每個子集都非空。04性質(zhì)一覆蓋中的子集可以重疊，即一個元素可以屬于多個子集。性質(zhì)三一個集合可以有多種覆蓋方式，覆蓋的優(yōu)劣通常根據(jù)實際應用背景來評價。性質(zhì)二覆蓋不一定要求每個子集都非空，但通常為了實際應用會要求覆蓋中的子集盡量非空。集合覆蓋定義設A是一個集合，如果B是A的一個子集族，且B中所有子集的并集等于A，則稱B是A的一個覆蓋。集合覆蓋定義及性質(zhì)ABCD共同點都是對集合進行分解，得到若干個子集。劃分與覆蓋關系比較差異點二劃分要求每個元素只屬于一個子集，而覆蓋沒有這個限制。差異點一劃分要求子集互不重疊，而覆蓋允許子集重疊。差異點三劃分的子集數(shù)量是確定的，而覆蓋的子集數(shù)量可能不唯一。05集合的基數(shù)CHAPTER由有限個元素組成的集合，也稱有窮集合。例如，由北京、天津、上海三個直轄市組成的集合，由所有小于10000的質(zhì)數(shù)所組成的集合都是有限集合。只含一個元素的集合是一種特殊的有限集合。有限集不是有限集的集合，可與其真子集對等的非空集合；既不是空集，又不與Mn={1，2，...n,...}對等的集合。例如所有自然數(shù)組成的集合，實數(shù)集等。無限集有限集與無限集概念介紹可數(shù)集每個元素都能與自然數(shù)集N的每個元素之間能建立一一對應的集合。例如所有正整數(shù)組成的集合，有理數(shù)集等。不可數(shù)集無法與自然數(shù)集建立一一對應的集合，無法數(shù)出它們的元素。例如實數(shù)集，所有區(qū)間(0,1)內(nèi)的實數(shù)等?？蓴?shù)集與不可數(shù)集區(qū)分VS集合中不同元素的數(shù)目，也稱為集合的“勢”。例如，集合{1，2，3}的基數(shù)為3?；鶖?shù)計算方法對于有限集合，可以直接數(shù)出集合中元素的個數(shù)；對于可數(shù)集，可以與自然數(shù)集建立一一對應關系后計算；對于不可數(shù)集，通常使用特定的數(shù)學方法或理論來確定其基數(shù)，如實數(shù)集的基數(shù)稱為連續(xù)統(tǒng)的勢，記作?或2^???；鶖?shù)定義基數(shù)概念及計算方法06笛卡爾積與關系CHAPTER笛卡爾積定義及性質(zhì)笛卡爾積的性質(zhì)笛卡爾積具有存在性、唯一性、有限性、可交換性、可分配性等性質(zhì)。笛卡爾積的應用在數(shù)學上，笛卡爾積可以用于定義函數(shù)、證明定理、計算集合的基數(shù)等；在計算機科學中，可以用于表示多維數(shù)組、數(shù)據(jù)庫中的表等。笛卡爾積的定義笛卡爾積是指在數(shù)學中，兩個集合X和Y的笛卡爾積（Cartesianproduct），又稱直積，表示為X×Y，第一個對象是X的成員而第二個對象是Y的所有可能有序?qū)Φ钠渲幸粋€成員。030201關系的定義關系是指人與人之間，人與事物之間，事物與事物之間的相互聯(lián)系。市場營銷中的關系是指精明的市場營銷者為了促使企業(yè)交易成功而與其顧客、分銷商、經(jīng)銷商、供應商等建立起長期的互利互信關系。關系概念及表示方法關系的表示方法在集合論中，關系可以通過笛卡爾積的子集來表示；在圖論中，關系可以用圖來表示，其中節(jié)點代表對象，邊代表對象之間的關系。關系的類型根據(jù)關系的性質(zhì)，可以將其分為等價關系、相容關系、全異關系等；根據(jù)關系的方向性，可以將其分為單向關系和雙向關系等。關系的運算關系的運算包括關系的并、交、差、