三年高考（2019-2021）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)匯編-專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〔解答題〕

1.12021?天津高考真題]〃>0,函數(shù)/(幻=欠一咫二

⑴求曲線y=f(幻在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程：

(II)證明/(幻存在唯一的極值點(diǎn)

(III)假設(shè)存在。，使得“幻4。-6對任意X￡R成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】(I)y=(a-V)x,(a>0)；(II)證明見解析：(ill)[-e,+co)

【分析】

(I)求H"(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出"(0)，即可求出切線方程；

(II)令/'(力=0,可得a=(x+l)e、,那么可化為證明y與尸g(x)僅有一個交點(diǎn),

利用導(dǎo)數(shù)求出g(力的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；

(III)令人(幻=(丁一工一1)，,(1>-1),題目等價于存在不￡(-1,+8),使得〃(X)Wb,

即b>hMmin,利用導(dǎo)數(shù)即可求出h[x)的最小值.

【詳解】

(I)f(x)=a-(x+l)ex,那么廣(0)=。-1,

又f(0)=0,那么切線方程為y=3—l)x,3>0)；

(II)令/'(幻二。一(工+1)，=0,那么4=(/+1)-，

令g(x)=(x+l)e",那么g'(x)=(x+2)e”,

當(dāng)xe(Yo,-2)時，g'(x)v0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)(-2,田)時，g，(x)>0,g(x)單

調(diào)遞增，

當(dāng)x->-00時，g(x)v0,g(_i)=o,當(dāng)xf+8時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如

下：

所以當(dāng)。>0時，V=。與>=g(x)僅有一個交點(diǎn)，令g(帆)=a,那么加>一1,且

f\fn)=a-g(m)=0,

當(dāng)xw(-00,㈤時，a>g(x),那么r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe("+8)時,a<g(x),那么/'(x)v。，〃無)單調(diào)遞減，

工=”為“X)的極大值點(diǎn)，故/CO存在唯一的極值點(diǎn)；

(III)由(ID知/(初皿=/(加)，此時。=(1+〃7)*,機(jī)>一1，

所以{/(X)一a}max=f(rn)-a=[nr-m-\]e,\(m>-l),

令〃(x)=(%2,

假設(shè)存在0,使得/(幻4。+力對任意XER成立，等價于存在xe(-l,+8),使得力(x)O,

即

h\x)=(x2+x-2^ex=(x-1)(A+2)ex,x>-l,

當(dāng)了￡(—1,1)時，h\x)<0,/心)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時，hf(x)>0,力⑺單調(diào)遞

增，

所以/i(x)min=〃(1)=一e，故bN-e,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍[-％+8).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明￥與y=g(x)僅有一個交點(diǎn)；第三問解題

的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在。￡(T+OO),使得網(wǎng)勸必，即此力⑶1nhi.

2.12021?全國高考真題】函數(shù)/a)=a—i)/-奴

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：/(X)有一個零點(diǎn)

1/

①一<a<——,b>2a；

22

@0<a<—,b<2a.

2

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【分析】

⑴首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；

⑵由題意結(jié)合⑴中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中佗結(jié)論.

【詳解】

⑴由函數(shù)的解析式可得：/,(x)=xp-2?).

當(dāng)a?0時,假設(shè)xw(-8,0),那么廣(x)vOj(x)單調(diào)遞減,

假設(shè)X?O,T8),那么/(x)>oj(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<〃<g時，假設(shè)(-00,In(2a)),那么/(x)>0"(x)單調(diào)遞增,

假設(shè)x?ln(功),0),那么/。)<0"(”單調(diào)遞減，

假設(shè)工￡(0,48),那么/(X)>OJ(力單調(diào)遞增；

當(dāng)〃=；時，/(x)NOJ(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，假設(shè)X?YO,0)，那么/'(力>0J(力單調(diào)遞增，

假設(shè)x?0,ln(2a)),那么/(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，

假設(shè)(勿),48),那么尸(x)>OJ(x)單調(diào)遞增；

⑵假設(shè)選擇條件①：

由于，]，故Iv2aqe2,那么〃>/>1,/(0)="一1>0,

而/(一6)=(-1一/?"“一"2<0,

而函數(shù)在區(qū)間(YO,0)上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(YO,0)上有一個零點(diǎn).

=aln(2a)[2-ln(2叫，

12

由于/，1v2a?e2,故aln(2a)[2-ln(2a)]N0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上沒有零點(diǎn).

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

假設(shè)選擇條件②：

由于0<a<g,故2。<1,那么/(0)=6-142。一1<0,

當(dāng)bNO時,/>4,4〃<2,f(l)=e2-4a+b>0,

而函數(shù)在區(qū)間（O,+。）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（O,+。）上有一個零點(diǎn).

當(dāng)OvO時，構(gòu)造函數(shù)=那么

當(dāng)0）時,"'（x）＜0,H（x）單調(diào)遞減,

當(dāng)x?0,+oo)時,//'(%)>0,4(%)單調(diào)遞增,

注意到“（0）=0,故H（x）N0恒成立,從而有:ex＞x+\^此時:

f(x)=(x-l)er-ax2-fe>(x-l)(x+l)-ar2+b=(l-a)x2+僅一1),

舊時，（1-〃）/+（人1）＞0,

當(dāng)x>

取/=匕2+1，那么/(%)〉0,

V1-?

即：/（0）＜0J1>0,

\-a+

而函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上有?個零點(diǎn).

=aln（2t/）［2-ln（2a）J,

由于0＜avg,0＜勿＜1,故。111（24）［2-111（24）］＜0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間（YQ,0）上沒有零點(diǎn).

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，

所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個

角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中

的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.2r

3.12021?北京高考真題】函數(shù)F-

+a

(1)假設(shè)a=0,求y=/(x)在處切線方程；

(2)假設(shè)函數(shù)〃力在1=-1處取得極值，求外力的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

【答案】(1)4x+y-5=0；(21函數(shù)“X)的增區(qū)間為(一8,—1)、(4,伊)，單調(diào)遞減區(qū)

間為(一1,4),最大值為1，最小值為一；.

【分析】

(1)求出/。)、/'(1)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

(2)由/'(-1)=0可求得實(shí)數(shù)。的值'然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,由

此可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)々=0時，=那么r(x)=2(-;3),.41)=1,/'⑴=-4，

XX

此時，曲線y=f(冗)在點(diǎn)處的切線方程為y-l=-4(x-l),即44+)，-5二0；

o7-2(x2+a\-2x(3-2x\2(x2-3x-a]

⑵因?yàn)?(力=學(xué)r，那么廣(力一工2J，

X+0(X+〃)(冗+0)

、2(4—ci\

由題意可得/(z-1)=六一7/=0,解得〃=4,

S+i)

故/(力=早1，/(")一)2)!YL列表如下：

一9+4卜+4)

X（-00,-1）-1（T4）4（4,+oo）

+0—0+

培吸大值減極小值增

所以，函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(一8,—1)、(4,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).

當(dāng)XV—時，/(x)>0；當(dāng)時，/(x)<0.

22

所以，"X)M=/(T)=L〃X)min="4)=—；.

4.【2021?全國高考真題】函數(shù)〃x)=x(lTnx).

(1)討論/(X)的單調(diào)性;

⑵設(shè)a,6為兩個不相等的正數(shù)，且blna-41n)=a-b,證明：2<-+-<e.

ab

【答案】(1)的遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為(1,+8);⑵證明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)?!■=%」=占，原不等式等價于2<%+%<6,前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)

ab~

偏移可證，后者可設(shè)超二因，從而把％+%<e轉(zhuǎn)化為(fT)ln(l+l)—Hn/<0在(1,+8)

上的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立.

【詳解】

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+。)，

又/'(x)=l—lnx—l=—lnx,

當(dāng)xw(0,l)時,r(X)>。，當(dāng)xe(L+°o)時,r(X)<0,

故f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)因?yàn)閎lna—alnb=a—)，故Z?(lna+1)=a(lnZ?+l),即/〃+!二!。-1,

設(shè)L=x，J_=w，由(D可知不妨設(shè)0<%<1,匕>L

ab

因?yàn)閤￡(0,l)時，/(x)=x(l-lnx)>0,x￡(e,+oo)時，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<W<e.

先證：Xx+x2>2,

假設(shè)々22,內(nèi)+々>2必成立.

假設(shè)毛<2,要證：X]+x2>2,即證%>2—9,而0<2—12<1.

故即證，(5)>/(2—七)，即證：/(^)>/(2-^),其中

設(shè)g(x)=〃x)-〃2-力,lvx<2,

那么g'(x)=/'(x)+/z(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-In[x(2-x)J,

因?yàn)閘vxv2,故。<x(2—x)<l,故一lnx(2—x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g⑴=0,

故f(x)>〃2—x),即〃w)>/(2-巧)成立，所以馬+1>2成立,

綜上，M十超>2成立.

設(shè)七=/，那么/>1，

lna+1lnZ?+l

結(jié)合_=菁,一=電可得：x1(l-lnx1)=x2(l-lnx2),

b

1-lnXj=r(l-lnr-ln^),故ln%=

要證：xl+x2<ef即證+即證ln(r+l)+kiXivl,

即證：ln(f+l)+'T—'一〈I.即證：(z-l)ln(r+l)-zlnr<0,

令S(z)=(f-l)ln(z+l)—Hnr,z>l,

/r-1(

那么S'(z)=ln(1+1)H-----1—In/=In1

先證明一個不等式：ln(x+l)4鼠

1_x

設(shè)〃(x)=ln(x+l)-x,那么"x)=-----1=----,

XI1XI1

當(dāng)-IvxvO時，wr(x)>0：當(dāng)x>0時，〃'(戈)<0,

故”(%)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，故〃(力皿="0)=0,

故ln(x+l)工工成立

由上述不等式可得當(dāng)，>1時,,故S'(z)<0恒成立,

故S(。在(1,+0。)上為減函數(shù)，故s(，)<s(i)=o,

故+-八n/<0成立：即X+%2<0成立.

綜上所述，2<—I—<e.

ab

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題，一般利用通過原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問題

轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問題，也可以引入第三個變量，把不等式的問題轉(zhuǎn)化為

與新引入變量有關(guān)的不等式問題.

5.12021?浙江高考真題】設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且函數(shù)一區(qū)+/(XER)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)假設(shè)對任意6>2/,函數(shù)/(力有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=e時，證明：對任意函數(shù)/(另有兩個不同的零點(diǎn)內(nèi),乙，滿足

b\nhe2

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)640時，f(x)在R上單調(diào)遞增；6>0時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

<>\(b、

一°°，IOg“；一，單調(diào)增區(qū)間為|lOg”*J-，+00；

I\x\a)、InaJ

⑵(3］；

⑶證明見解析.

【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；

⑵將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可

確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶結(jié)合⑵的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.

【解析】(1)f(x)=ax-bx+e2,f(x)=ax\na-b,

①假設(shè)bWO,那么=所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

②假設(shè)b>0.

當(dāng)x4-8,log,,舍卜寸,尸(X)<0J(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(log.*,+8)時，/〈切〉。,八%)單調(diào)遞增.

綜上可得，〃工0時，/(此在R上單調(diào)遞增；

人>0時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為1-8,log.3]，單調(diào)增區(qū)間為(lOga3，+81

(\naJ\Int7J

⑵/(x)有2個不同零點(diǎn)u>優(yōu)一區(qū)+/=0有2個不同解<=>e"na一以+/=0有2個不同

的解，

令f=xln。，那么d---+e2=0=>-^-=g+gj>0>

\na\nat

記g(，)="4g⑺「"?+『)=史*，

trt

記—1)—/,"⑺=/(1)+，1=/八0,

又人(2)=0,所以，E(0,2)時，A(r)<0,EW(2,+OO)時,M0>0,

那么g(f)在(0,2)單調(diào)遞減，(2,+oo)單調(diào)遞增，.?.2>g⑵

Inae~

\,b>2e",:.—>2,:Ana<2=>l<a<e.

e

即實(shí)數(shù)a的取值范闈是(l,e[.

(3)〃=&/。)=/一版+/有2個不同零點(diǎn)，那么，+/="，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正

數(shù).

由⑵可知有2個不同零點(diǎn)，記較大者為七，較小者為西，

x.2

注意到函數(shù)>=二二在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增,

X

“5+02

故玉<2<42，又由—〈/知/>5,

什巴包<竺=百<竺

X|Xyb

要證x?>曰?$+￡_,只需12>卜6+二,

eX1+e22ex-+且在上單調(diào)遞增,

b=-------<----且關(guān)于b的函數(shù)g(/?)=In/?

X2%b

2/2e~x

所以只需證￡>ln-----+2(N>5),

x22*

2e"ex

只需證V三-覺>。,

/x

只需證InA---------In2>0?

2ex

???J<4,只需證/z(x)=lnx--7-InZ在x>5時為正，

2ex

由于A(x)=1+4xe-x-4"、=-+4e^(x-l)>0,故函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

XK

又〃(5)=ln5—?—In2=1113-3>0,故力(回二吊無一絲—ln2在x>5時為正，

e52e4ex

從而題中的不等式得證.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)

系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.12021?全國高考真題(理)】〃>0且。工1,函數(shù)f(x)=H(x>0).

ax

(1)當(dāng)。=2時，求/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)假設(shè)曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴°'2上單調(diào)遞增;

上單調(diào)遞減；(2)(l,e)D(e,"F8).

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的

單調(diào)性：

(2)利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法那么，可以將曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)等

價轉(zhuǎn)化為方程皿=—有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即曲線)，=g(x)與直線y=—有兩個交

xaina

點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，并結(jié)合g(x)的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析g(x)的圖象,

進(jìn)而得到0<丹：<!，發(fā)現(xiàn)這正好是0<g(a)<g(e),然后根據(jù)g(x)的圖象和單調(diào)性

得到〃的取值范圍.

2x^2x-x2<2vln2_22、（2-xln2）

【解析】(1)當(dāng)〃=2時-，=f，/'(%)=

令/'(x)=o得*=京，當(dāng)o<“<言時，/'(x)>0,當(dāng)京時，rW<0,

???函數(shù)在(0,白上單調(diào)遞增;2、

丁式,+8上單調(diào)遞減;

ln2)

(2)f(x)=—=\<=>ax=xa011114=4111工0^^=^^,設(shè)函數(shù)8(1)二^^,

7axxax

那么q(切=上孚，令g0)=0,得％=%

在(0,e)內(nèi)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

在年,y)上g'(x)v0,g(x)單調(diào)遞減；

??g(x)皿=g(c)=7

又g(l)=0，當(dāng)X趨近于+00時，g(x)趨近于0,

所以曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線y=g(x)與直線y二二有兩

個交點(diǎn)的充分必要條件是0〈等<：,這即是0<g(a)<g(e),

所以。的取值范圍是(l,e)u(e,y).

【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范

圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，別離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

7.【2021?全國高考真題(理)】設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a—x),x=0是函數(shù)y=M*(x)的極值

點(diǎn).

(1)求。；

X+尸(X)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/、.證明:g(x)<L

xf{x}

【答案】1;證明見詳解

【分析】(1)由題意求出，，由吸值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)。：

x+ln(l-x)

(2)由(1)得g(x)=，X<1且xwO,分類討論xw(o,l)和xw(-oo,0),

xln(l-x)

可等價轉(zhuǎn)化為要證g(%)vl,即證”+皿17)>冗111(1一力在工￡(0,1)和工￡(一)。,0)上

恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解

1y

【解析】(1)由/(x)=In(a-X)=>/*(%)=----,y=xf(x)=>y'=ln(?-x)+---

x—Clx—

又x=0是函數(shù)y=4(x)的極值點(diǎn)，所以y'(O)=lna=O,解得a=l：

x+f(x)_x+ln(l-x)

⑵由(1)得f(x)=ln(l-x),g(x)=x<1且x。0,

xf{x}xln(l-x)

/、x+ln(l-x)/、，、

當(dāng)X￡(O,1)時，要證g(x)=--7----」<1，vx>0,ln(l-x)<0,/.xln(l-x)<0,即

xln(l-x)

iiEx+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l-x)ln(l-x)>0；

.r4-ln(l-.r)

同理,當(dāng)xe(-8,0)時，要證g(x)<1,,.,x<0,ln(l-x)>0,

xln(l-x)

/.xln(l-x)<0,即證x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l-x)ln(l-x)>0；

令Mx)=x+(lr)ln(17),再令f=l—x,那么fG(0,l)U(l,+°o)，x=\-tf

令g⑺=lT+”nf,^'(z)=-l+lnr4-l=lnr,

當(dāng)，?0,l)時，g'(x)<0,g(“單減，假設(shè)g⑴能取到，那么g(l)=O,故

g”)>g(l)=。：

當(dāng)時,g*(x)>0,g(x)單增,假設(shè)g⑴能取到，那么g(l)=O,故

g(/)>g(l)=O：

x+ln(l-x)

綜上所述,g(x)=<1在XG(-OO,0)U(0,1)恒成立

xln(l-x)

【點(diǎn)睛】此題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為。可求參數(shù)。，第二問解法并不唯一，分類討論

對函數(shù)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常

用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題.

8.12021.年高考全國I卷理數(shù)】函數(shù)=-x.

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x〕的單調(diào)性；

(2)當(dāng)X20時，/(x)>—x3+l,求a的取值范圍.

2

【解析】⑴當(dāng)。=1時，/(x：=e*+x2-x,那么/'(%)=5+2x7.

故當(dāng)(一8,o)時，f/M<0；當(dāng)x￡(0,+8)時，f\x)>0.所以/(x)在

0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

(2)/(x)之+1等價于(；Y-ad+%+l)e-x<1.

設(shè)函數(shù)g(x)=gx3-加+x+l)e-r(x>0),那么

=-^x(x-2a-l)(x-2)e-A.

(i)假設(shè)2a+140,即aW-；,那么當(dāng)x￡(0,2)時，g'(x)>0.所以g(x)在(0,2)

單調(diào)遞增，而g(0)=1,故當(dāng)xe(0,2)時，g(x)>1,不合題意.

(ii)假設(shè)0<2a+l<2,即-：<〃<：,那么當(dāng)x￡(0,2a+l)U(2,+=)時，g'(x)<0；當(dāng)xW

(2a+l,2)時，g<x)>0.所以g(x)在(0,2a+l),(2,+8)單調(diào)遞減，在(2a+l,2)單調(diào)遞增.

由于g(0)=l,所以g(x)?l當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7-4a)e-2?i,BPa>—

4

7-e21

所以當(dāng)-----4。<一時，g(x)<l.

42

(iii)假設(shè)2。+122,即那么g(x)4gd+4+1把、.

7_2i]

由于0引與、P」)，故由(ii)可得qv+x+l)e-%l.

故當(dāng)azj時，g(x)41.

2

綜上，a的取值范圍是[7上-￡e,+oo).

4

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要

的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；單調(diào)

性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

9.【2021年高考全國II卷理數(shù)】函數(shù)/（x）=sin2jvsin2x.

(1)討論/W在區(qū)間(0,m的單調(diào)性；

a同

(2)證明：|/(刈《新;

O

邛

(3)設(shè)證明：sin2xsin22xsin24x.--sin22nx<—.

4”

【解析】(1)f\x)=cosXsinxsin2x)+sin.r(sin.tsin2x/

=2sinxsin3x.

當(dāng)xt（o《）u（M㈤時，ra）＞o；當(dāng)xt邑”）時，/vxo

3333

所以/⑶在區(qū)間（0,三）,（名,浦單調(diào)遞增，在區(qū)間邑”）單調(diào)遞減.

3333

（2）因?yàn)閒（0）=/（2=0,由⑴知，/（x）在區(qū)間［0,兀］的最大值為了亨=半

最小值為/（空）=-而/（用是周期為冗的周期函數(shù)，故|/㈤區(qū)空.

388

⑶由于(sidxsi/Zx…sin""X)

^|/（x）/（2x）.../（2w-'x）|,

所以sin?xsin22A?…sin?（當(dāng)巨）3=—.

84“

10.［2021年高考全國HI卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)/（x）=/+法+c,曲線y=/（功在點(diǎn)（；，/（g））

處的切線與y軸垂直.

（1）求8.

（2）假設(shè)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：/（x）所有零點(diǎn)的絕對值都不大

于1.

【解析】(1)f\x)=3x2+ZJ.

依題意得/'（；）=0,即［+〃=（）.

故6=-].

4

3

(2)由(1)知/'(x)=d—x+c,9

44

令r(力=。，解得”=-t或

22

ra)與/(幻的情況為：

,1、1(一!,《)：(]+oo)

xy—])-5

2222

/'(X)+0-0+

、c-；/

fW/c+-

44

因?yàn)閒(l)=/(-!)=c+：,所以當(dāng)c＜-〈時，/(x)只有大于1的零點(diǎn).

244

因?yàn)閒(一l)=fg)=c-；,所以當(dāng)c＞；時，f(x)只有小于一1的零點(diǎn).

由題設(shè)可知一

44

當(dāng)。=-5時，/CO只有兩個零點(diǎn)一3和1.

當(dāng)”;時，只有兩個零點(diǎn)T和

當(dāng)一7＜。＜:時，/(x)有三個等點(diǎn)Xi,X2,X3,且％e(-1,一大)，七三(一個Q,e(—J).

442222

綜上，假設(shè)/*)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，那么f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于

1.

11.【2021年高考天津】函數(shù)f*)=d+%inA：(%€R),/'(X)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)當(dāng)％=6時，

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

9

由)求函數(shù)g*)=/(x)-r@)+一的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(U)當(dāng)上之一3時，求證：對任意的和馬￡[1，-)，且玉＞/，有

/(一)+/)=)

2芭-x2

【解析】(I)(i)當(dāng)k=6時，/(x)=x3+61nx,故r(x)=3d+9.可得/⑴=1,

x

r(l)=9,所以曲線y=fa)在點(diǎn)(Lf(l))處的切線方程為丁-1=9(%-1)，即

(ii)依題意，^(^)=^-3%2+61nx+-,XG(0,+oo).從而可得

x

^f(x)=3x2-6x+--4-?整理可得g'(x)=3(x_D；a+D.令/o)=0,解得

xx~X

x=\.

當(dāng)X變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1*)

g'(x)-0+

g(x)X極小值/

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,收)：g(x)的極小值為

g⑴=1,無極大值.

(H)證明：由/(x)=d+&inx,得/'(幻=3/+".

X

對任意的￡[1,+8),且為>工2，令%=f(f>l)，那么

二W(r一3產(chǎn)+3f—+----2Inf.①

令〃(x)=x-」-21nx,xe[l,+oo).當(dāng)x>l時，/?'(x)=1+^---=fl-->0,

xxxyX)

由此可得以x)在口,+8)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，>1時，h(t)>h(\),即，一1—2hv>0.

t

因?yàn)椤?21，/―3廠+3f—1=(1—I)，>0,4N—3?

所以，%2(r3-3/2+3r-l)+A：h-y-2lnrl>a3-3r2+3r-l)-3f-j-21n/

3

=/3-3r2+61n/+--l.②

t

..3

由(I)(ii)可知,當(dāng)r>l時,g(f)>g⑴，即戶一3戶+6hn+->l,

t

故尸一3產(chǎn)+61nf+3-l>0.③

t

由①②③可得(％一動(，(1)+/'(動)一2(/(4)一"/))>0.所以，當(dāng)人一3

時，對?任意的不占€口，內(nèi))，且有￡(小小h"」)-"/)

2xi~x2

12.【2021年高考北京】函數(shù)/*)=12-/.

(I)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；

(H)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)&/?))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SQ),求

S")的最小值.

【解析】(I)因?yàn)椤?=12-f,所以尸(力=-2★，

設(shè)切點(diǎn)為(毛，12—/)，那么-2/=-2,即%=1,所以切點(diǎn)為(1,11),

由點(diǎn)斜式可得切線方程：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.

(H)顯然rwO,

因?yàn)閥=/(x)在點(diǎn)?，12—r)處的切線方程為；y-(12-z2)--2/(A：-/),

令1=0,得丁=r+12,令y=0,得彳=匚上，

2/

所以S⑺=入(產(chǎn)+12).磬，

不妨設(shè)/>0“<0時，結(jié)果一樣)，

碩-+24/+1441/3?144、

那么5(。=-------------=-(r3+24r+—),

所以S'”］，"r+24-洋)=3(〃+8：-48)

4r4r

3(?-4)(r+12)3(r-2)(/+2)(/+12)

一4—廠—一4A/2，

由S'(f)>0,得］>2,由S'(，)<0,得0<z<2,

所以S(f)在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以，=2時，5。)取得極小值，

也是最小值為S(2)==32.

o

【點(diǎn)睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,

屬于中檔題.

13.［2021年高考浙江】1VOW2,函數(shù)/(x)=e*-x-a,其中e=Z71828…是自然對數(shù)的

底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(力在(0,y)上有唯一零點(diǎn)；

(H)記X。為函數(shù)y=在(0,y)上的零點(diǎn)，證明：

(i)&-1?%?,2(4-1)；

(ii)M)N(e-l)(a-l)a.

【解析HI)因?yàn)?(0)=l—〃<0,/(2)=e2—2—aNe2—4>0,所以y=/(%)在(0,一)

上存在零點(diǎn).

因?yàn)閞*)=e、-l,所以當(dāng)x>0時，Ax)>0,故函數(shù)/(x)在［0,y)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)以y=/。)在(0,例)上有唯一零點(diǎn).

(II)(i)令g(x)=e"-x-l(xNO),^*(x)=er-x-l=f(x)+a-\,

由(I)知函數(shù)g'(x)在。*o)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時，g3>g'(0)=0,

所以函數(shù)g(x)在［0,-KO)單調(diào)潴增，故g(x)2g(0)=0.

由g(j2(a—l))20得/(J2(a-1))=產(chǎn)17-J2(a-1)-。N0=f(』)，

因?yàn)?(x)在。丘)單調(diào)遞增，故廊二燈2飛.

^h(x)=e-x2,h\x)=e-2x-{,

,v

令/4(x)=e'-2x-l(04x41),Al(x)=e-2,所以

X001n2)In2(In2.1)1

一+

4'3)-10e-2

似工)0\/e-3

故當(dāng)Ovxvl時,%(x)〈O,即"(x)vO,所以力(%)在［0,1］單調(diào)遞減,

因此當(dāng)OKxKl時，h(x)<h(O)=O.

由/l(^/^T)W0得=尸--a<0=/(x0),

因?yàn)?*)在［0,”)單調(diào)遞增，故GTw%.

綜上，"\氣久2(a-l).

(ii)令w(x)=e*-(e-l)x-1,u\x)=ex-(e-1),所以當(dāng)x>l時，u\x)>0,

故函數(shù)函力在區(qū)間艮”)上單調(diào)遞增,因此〃*)之〃(1)=0.

由e"=/+a可得@)=%/(%+a)=(e°一1濡+a(e"-2Ao之(e-1)小,

由/NJa-l得麗/(e°)>(e-1)(?-l)a.

14.【2021年高考江蘇】某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如下圖：谷

底。在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO'為鉛垂線(。在48上).經(jīng)測量，左側(cè)

曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離4(米)與D到。。的距離a(米)之間滿足關(guān)系式

%；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離兒(米)與F到W的距離b(米)之間滿

足關(guān)系式％=-工護(hù)+劭-點(diǎn)8到OO'的距離為40米.

(1)求橋A8的長度；

(2)方案在谷底兩側(cè)建造平行于OO的橋墩CD和EF,且CE為80米，其中C,E在

AB上(不包括端點(diǎn))..橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價?(萬元*>0),問OfE

為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

【解析】⑴設(shè)44,,網(wǎng),?！?，3都與肋7垂直，入，4，〃,白是相應(yīng)垂足.

由條件知，當(dāng)05=40時，

期=-*x4（）3+6x40=160,那么M=160.

由—O'4=160,得=80.

40

所以AB=OR+0'8=80+40=1201米）.

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，00為y軸建立平面直角坐標(biāo)系X。），（如下圖）.

設(shè)F（x,必），xw（0,40）,那么必=———丁+6x,

所二160-必=160+1-/一64

2800

因?yàn)镃E=80,所以O(shè)C=80-x.

設(shè)D(x—80,jj),那么y=—(80—x)2,

所以C￡)=160-y=160」(80-%)2=」/+4工

記橋墩CD和EF的總造價為f(x),

/3)=%(160+—x3-6x)+-k(-—x2+4x)

那么800240

13

=k(—x3-—x2+l60)(0<x<40).

80080

44

f'（x）=k（---x2----x+160）=x（x-20）?

80040800

令/（幻=0,得x=20.

所以當(dāng)x=20時，/*）取得最小值.

答：（1）橋4?的長度為120米；

（2）當(dāng)OE為20米時，橋墩C。和石尸的總造價最低.

【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際本錢問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查根本分析求解能力，屬中檔題.

15.【2021年高考江蘇】關(guān)于x的函數(shù)y=/（%）,〉=8（%）與人（幻=&+。伏,力€1＜）在區(qū)間

D上恒有/(-r)>h(x)>g(x).

(1)假設(shè)/(%)=f+2x,g(i)=-X2+2X,D=(-CO,+OO),求/)(x)的表達(dá)式；

(2)假設(shè)/(x)=?一X+Lg(x)=Alnx,h(x)=kx-kyD-(0,+co),求k的取值范圍;

(3)假設(shè)

42342

f(x)=x-2x,g(x)=4X2-8,h(x)=4(/-r)x-3t+2/(0<|f|<>/2),

D=[nu〃]=[-V2,&],求證：.

【解析】(1)由條件/(x)N〃(x)Ng(x),得f+2xNAx+b之「？+2r，

取x=0,得ONbNO,所以。=0.

由f+2xNAx，得f+(2—)x20,此式對?切恒成立，

所以(2-幻24。，那么攵=2,此時2xN-V+2x恒成立，

所以"x)=2x.