廣東省惠州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

惠州市2024-2025學(xué)年高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.2025.1注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?座位號(hào)?學(xué)校?班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的概念可直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選：D2.命題“，使得”的否定是（）A.“，使得” B.“，使得”C.“，使得” D.“，使得”【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定式特稱(chēng)命題分析判斷.【詳解】命題“，使得”的否定是“，使得”.故選：C.3.“角是銳角”是“角是第一象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用任意角定義及充分不必要條件定義即可得到結(jié)果.【詳解】若角是銳角，則角是第一象限角；但角是第一象限角，則角不一定是銳角，故“角是銳角”是“角是第一象限角”的充分不必要條件，故選：A.4若，則有（）A.最小值3 B.最小值6C.最大值6 D.最大值3【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求解．【詳解】因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，當(dāng)時(shí)，則有最小值6，故選：B.5.,,,則下列關(guān)于大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)構(gòu)造函數(shù),大概計(jì)算三個(gè)數(shù)的范圍,比較出三個(gè)數(shù)的大小即可.【詳解】解:由題知單調(diào)遞增,,,,所以.故選:A6.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積公式計(jì)算（大扇形面積減去小扇形面積）．【詳解】由已知，，扇面面積為故選：B．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合余弦二倍角公式即可求解；【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，作出函數(shù)的圖象，分析可知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)殛P(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，所以，，解得.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或選錯(cuò)的得0分.9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式逐個(gè)判斷即可；【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤故選：BC.10.已知實(shí)數(shù)，滿足等式，則下列不等式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】作出函數(shù)與函數(shù)圖像，分，兩種情況求解.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像得，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像得，故D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.已知，都是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.為偶函數(shù)B.C.對(duì)，不等式總成立D.對(duì)，且，總有【答案】ACD【解析】【分析】由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求出和，利用偶函數(shù)的定義判斷A選項(xiàng)；求函數(shù)值判斷B選項(xiàng)；作差法比大小判斷C選項(xiàng)；由不等式的性質(zhì)判斷D選項(xiàng).【詳解】是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且，則，有，由，得，，，為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)，，所以不等式總成立，C選項(xiàng)正確；對(duì)，且，則，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解決選項(xiàng)中的問(wèn)題即可.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則______.【答案】0【解析】【分析】分段函數(shù)求值，根據(jù)自變量取值所在區(qū)間確定解析式代入求值.【詳解】已知函數(shù)，則，所以．故答案為：.13.已知，，且，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合同角三角關(guān)系和兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，，則，，可得，即.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，且，則__________.【答案】（或?qū)懗桑窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)奇函數(shù)和，得函數(shù)的周期為4，利用函數(shù)周期性和奇函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以直線是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，即，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，即，所以，所以，故函數(shù)的周期是4，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，且，所以，，兩式聯(lián)立可解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）-3（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】.16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并求的值；（2）將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），（2）【解析】分析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)求得，得解析式，再計(jì)算函數(shù)值；（2）由圖象變換得出的的解析式，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間．【小問(wèn)1詳解】由圖形可得，，，解得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，故所以【小?wèn)2詳解】函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到，再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以，【方法一】令，則，因?yàn)?，所以，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為【方法二】令，所以，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，且由，得，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．17.已知函數(shù)是上的偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，并用定義法證明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義求出值.（2）利用單調(diào)函數(shù)的定義證明單調(diào)性.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性角不等式.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)是上的偶函數(shù)，得對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，整理得對(duì)任意恒成立，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，在上單調(diào)遞增，任取，且，則，由，得，，，因此，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由（1）、（2）知，上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不等式，則，解得或，所以原不等式的解集為.18.為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件需另投入流動(dòng)成本萬(wàn)元，其中與之間的關(guān)系為：，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).每件產(chǎn)品售價(jià)為元，假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年全部售完．（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式（注：年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入固定成本流動(dòng)成本）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）萬(wàn)件，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入給定的函數(shù)解析式求出c，結(jié)合給定的函數(shù)模型即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值10萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意得：當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為元，則萬(wàn)件商品銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值10萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最大值14萬(wàn)元因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值14萬(wàn)元，所以當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．19.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱(chēng)函數(shù)為定義域的“階局部奇函數(shù)”.（1）若函數(shù)，判斷是否為上的“階局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)是上的“階局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，求的取值集合.【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）解法一：根據(jù)“階局部奇函數(shù)”的定義得出，然后在時(shí)解此方程即可得出結(jié)論；解法二：直接驗(yàn)證滿足方程即可得出結(jié)論；（2）由題意可知，使得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，，求出在時(shí)的取值范圍，可得出，再由，使得，結(jié)合參變量分離法可得出，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由題意可知，在上有解，分兩種情況討論：①時(shí)，直接驗(yàn)證即可；②當(dāng)時(shí)，則任意的實(shí)數(shù)，恒成立，根據(jù)一次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出整數(shù)的取值集合.【小問(wèn)1詳解】解法一：若是上的“階局部奇函數(shù)”，則，滿足，即.即，，因?yàn)?，則，所以，，解得，則在上存在實(shí)數(shù)滿足，故是上的“階局部奇函數(shù)”；解法二：因?yàn)?，所以，故即在上存在?shí)數(shù)滿足，故是上的“階局部