遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

大連市2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)命題人：安道波常愛(ài)華張振華校對(duì)人：安道波注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上作答，在試卷上作答無(wú)效.2.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由補(bǔ)集和交集的定義運(yùn)算.【詳解】集合，集合，則，有.故選：C2.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】【詳解】評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)平均水平；方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由即可判斷；【詳解】若，可得：，若，則，則“”是“”的充分必要條件，故選：C4.若向量，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得m=－2或1.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.5.用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得，，則零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理即可判斷；【詳解】因?yàn)椋?，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間，再計(jì)算的符號(hào)，故選：C6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】A【解析】【分析】證得與互為反函數(shù)，由反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可直接得答案.【詳解】的反函數(shù)滿足，化簡(jiǎn)可得，所以，因?yàn)榉春瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即與關(guān)于直線對(duì)稱，故選：A.7.已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量之間的大小關(guān)系，進(jìn)行代換得到答案.【詳解】由于，,,由于點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以，，，故，故選：B8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，?duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性列不等式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，即，即，令，則當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減.二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選得0分.9.某商場(chǎng)組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1~8的8個(gè)大小形狀相同的小球，現(xiàn)抽獎(jiǎng)?wù)邚闹谐槿?個(gè)小球.事件“取出的小球編號(hào)為奇數(shù)”，事件“取出的小球編號(hào)為偶數(shù)”，事件“取出的小球編號(hào)小于6”，事件“取出的小球編號(hào)大于6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B互斥 B.A與B相互對(duì)立C.C與D相互對(duì)立 D.B與D相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】分別求出樣本空間和事件、、、，再利用互斥事件、對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的定義逐一判斷.【詳解】抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件，事件，事件，事件，且，則與互斥，且與互為對(duì)立事件，AB正確；且真包含于，事件C與D不相互對(duì)立，C錯(cuò)誤；，，事件B與D相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD10.下列關(guān)于向量說(shuō)法，正確的是（）A.若，，則B.在△ABC中，若，則△AOC與△ABC的面積之比為C.兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，舉例判斷，對(duì)于B，設(shè)為中點(diǎn)，連接，則可得，從而分析判斷，對(duì)于C，對(duì)已知等式兩邊平方化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于D，舉例判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平行，所以，成立，而此時(shí)不一定平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，所以，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離的3倍，所以△AOC與△ABC的面積之比為，所以B正確，對(duì)于C，由，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以與的夾角為，所以與共線且反向，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不存在唯一實(shí)數(shù)使得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象可得：，，所以，則ABC選項(xiàng)可得，然后，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解可得D.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：方程有四個(gè)不同的解，則，，故A錯(cuò)誤，C正確；，所以，故B正確；設(shè)，所以，因?yàn)椋?，則，則的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上.12.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)為_(kāi)_______kg.【答案】48【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】這10個(gè)數(shù)從小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，因?yàn)?，所以這10個(gè)數(shù)的40%分位數(shù)為，所以這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)約為48kg.故答案為：48.13.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的單調(diào)性可直接求出參數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，符合題意；故答案為：-1.14.不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】先對(duì)原不等式變形，然后構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】原不等式等價(jià)于，令，則，所以，因?yàn)?，和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式的解集為.故答案為：四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).（1）求的解析式，并直接寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）解不等式.【答案】（1），的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，最小值是（2）.【解析】【分析】（1）由是偶函數(shù)列式子可求得，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可得函數(shù)的最小值；（2）由奇偶性和單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為，再解絕對(duì)值不等式即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)，都有即，整理得，所以，，令，則，由可得，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，的最小值是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在是增函數(shù)，所以等價(jià)于，解得：，所以不等式的解集是.16.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，則再利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，解方程組即可得到答案.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，利用對(duì)立事件，即計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率分別是，，；（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為．【點(diǎn)晴】本題主要考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算問(wèn)題，涉及到對(duì)立事件的概率計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.17.如圖，在中，.（1）若E是BD的中點(diǎn)，試用和表示；（2）若G是AD上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H.若，，其中，均為正實(shí)數(shù)，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加減法運(yùn)算法則，結(jié)合平面向量基本定理求解；（2）由已知條件可得，再由F，G，H三點(diǎn)共線，得，然后利用基本不等式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以；【小問(wèn)2詳解】由，，得，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)镕，G，H三點(diǎn)共線，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.18.某公司生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)電動(dòng)汽車電機(jī)，為了了解電機(jī)的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種電機(jī)中各抽取100臺(tái)進(jìn)行檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）估計(jì)B型電機(jī)該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（2）從A型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取2件，B型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取4件，再?gòu)倪@6件中任意抽取2件，求指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件的概率；（3）根據(jù)檢測(cè)結(jié)果確定該項(xiàng)指標(biāo)的一個(gè)臨界值m，且，某汽車廠準(zhǔn)備用A、B兩種型號(hào)電機(jī)生產(chǎn)C牌和D牌汽車各1萬(wàn)輛，有以下兩種方案可供選擇：方案一：將A型電機(jī)用于生產(chǎn)C牌汽車，其中該指標(biāo)小于等于臨界值m的電機(jī)會(huì)導(dǎo)致每臺(tái)汽車損失7000元；將B型電機(jī)用于生產(chǎn)D牌汽車，其中該指標(biāo)大于等于臨界值m的電機(jī)會(huì)導(dǎo)致每臺(tái)汽車損失3000元；方案二：重新檢測(cè)所用的電機(jī)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)用共需1010萬(wàn)元.請(qǐng)從汽車廠節(jié)約成本的角度考慮，選擇合理的方案，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)分層抽樣的定義分別求出來(lái)自A型電機(jī)指標(biāo)在和及來(lái)自B型電機(jī)指標(biāo)在和的臺(tái)數(shù)，然后利用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解；（3）設(shè)將A、B兩種型號(hào)電機(jī)應(yīng)用C牌、D牌汽車時(shí)，該汽車廠損失y（萬(wàn)元），然后根據(jù)題意表示出，分，，三種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得B型電機(jī)該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為：.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)分層抽樣得，來(lái)自A型電機(jī)指標(biāo)在和的各1臺(tái)，分別記為x，y，來(lái)自B型電機(jī)指標(biāo)在和分別為3臺(tái)和1臺(tái)，分別記為，，和p.從中任意抽取兩件，樣本空間可記為共15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件M：指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件，則共含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以.【小問(wèn)3詳解】設(shè)將A、B兩種型號(hào)電機(jī)應(yīng)用C牌、D牌汽車時(shí)，該汽車廠損失y（萬(wàn)元），，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案二；當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案一或二都行；當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案一.19.兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，存在實(shí)數(shù)m，n，使，則稱為和的函數(shù).（1）函數(shù)為和的函數(shù)，且.判斷函數(shù)的圖象是否有對(duì)稱中心，并說(shuō)明理由.（2）函數(shù)為和的函數(shù)，且.①判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；②證明：函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.【答案】（1）有對(duì)稱中心，理由見(jiàn)解析（2）①在和都是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)可求解，進(jìn)而根據(jù)求解函數(shù)的對(duì)稱性，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可作差求解，（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，使得，結(jié)合可知，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)?，所以，有?duì)稱中心，理由如下：的定義域?yàn)?，且，都有，，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以，，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，①在和都是單調(diào)遞增函數(shù)，證明：任取，，且，因?yàn)?，所以，，，所以，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，同理，當(dāng)時(shí)，，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，②證明：因?yàn)椋?，，取?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，若，則是在的唯一零點(diǎn)，若，則，使得，由單調(diào)性可得是在的唯一零點(diǎn)，因?yàn)?，都有，且所以是的零點(diǎn)，由單調(diào)性可得是在的唯一零點(diǎn)，綜上所述，函