山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題2025.01本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答第I卷前考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上．2．選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．所有試題的答案，寫在答題卡上，不能答在本試卷上，否則無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系以及集合中元素的互異性解方程即可求得.【詳解】由可知或，解得或；又因?yàn)闀r(shí)，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則求出，因?yàn)槌朔e為純虛數(shù)，所以且，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以且，解得故選：C3.已知向量，，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，進(jìn)而可得.【詳解】由得，得，故選：C4.蒙古包是我國(guó)蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由下面圓柱部分和上面圓錐部分組合而成，用毛氈覆蓋其表面（底面除外）．其中圓柱的高為，底面半徑為，圓錐的頂點(diǎn)到底面的距離是，則圖中蒙古包所用毛氈的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到圓錐的母線長(zhǎng)，分別求得圓錐和圓柱的側(cè)面積即可.【詳解】解：由題意得：圓錐的高為3m，底面半徑為4m，所以圓錐的母線長(zhǎng)為5m，所以圓錐的側(cè)面積為，而圓柱的側(cè)面積為，所以蒙古包所用毛氈的面積為，故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)，得出，再結(jié)合兩角和差的正弦公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：B.6.設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用換底公式,再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷,再結(jié)合，即可判斷【詳解】解：因?yàn)?,所以；因?yàn)?，又因?yàn)椋凰?故選：A7.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，焦距為，圓：與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，其中點(diǎn)，分別在第一、四象限，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得可得，進(jìn)而根據(jù)圓的半徑可得，將其代入橢圓方程可得，利用齊次式即可求解.【詳解】由于為等邊三角形，所以,設(shè)，則，代入，解得，故，將代入橢圓方程得，故，故，化簡(jiǎn)可得，故,解得，由于，故，故，故選：C8.已知函數(shù)存在最小值，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式分和兩種情況討論，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性求出即可；【詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則有；當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，若，在上為增函數(shù)，此時(shí)，若存在最小值，必有或，解得或，則的范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.為公差為的等差數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】A.由，令求解；B.由求解；C.由求解；D.由判斷.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，前項(xiàng)和，所以，故A正確；，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，所以為公差為1的等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；故選：10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.上單調(diào)遞增B.對(duì)任意，都有C.的圖象可以由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】由正弦函數(shù)單調(diào)性判斷A，由對(duì)稱性判斷B，由圖象變換判斷C，求出的值域后判斷D．【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A，令，則，即的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，則在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于C，圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于B，由于，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，則所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC．11.如圖，已知曲線的方程為，是曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍是B.直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)C.已知，則D.設(shè)，是曲線上兩點(diǎn)，若，，則【答案】CD【解析】【分析】解不等式可知A錯(cuò)誤，構(gòu)造函數(shù)求得在上的最值，再由數(shù)形結(jié)合即可判斷B錯(cuò)誤；利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造函數(shù)并求得其最值，可求得，即C正確，分別對(duì)和分類討論，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得，可知D正確.【詳解】對(duì)于A，易知，即，解得，即A正確；對(duì)于B，令函數(shù)，則，令，可得，因此當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，因此可得時(shí)，，即可得；易知，所以直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上有一個(gè)交點(diǎn)，共三個(gè)交點(diǎn)，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，令，可得，令，則或；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，因此可得，因此C正確；對(duì)于D，由，，即異號(hào)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，即，解得；又，所以；此時(shí)，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，可得，；所以綜上可知，，即D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題關(guān)鍵在于通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)最值；再結(jié)合函數(shù)與方程的思想以及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可判斷出結(jié)論.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.若曲線處的切線平行于直線的坐標(biāo)是_______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)，則又考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)13.遞增等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則______；【答案】【解析】【分析】應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知可得，再由即可求值.【詳解】由題設(shè)且公比，則，整理得，所以，而.故答案為：914.如圖，幾何體，其中，均為正三棱錐，，點(diǎn)，分別為和棱的中點(diǎn)，且?guī)缀误w各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若，則該幾何體的體積為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征，可判斷幾何體的球心為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則由，得，由，，結(jié)合，可得，進(jìn)而由可得幾何體的體積.【詳解】由題意，平面，幾何體的外接球直徑為，不妨設(shè)，設(shè)中點(diǎn)為，即為外接球的球心，連接，則，設(shè)，，則，，，，在中，，得，在中，，同理，，化簡(jiǎn)得，代入，可得，故，幾何體的體積為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)，均為正三棱錐確定幾何體的球心為的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)幾何體線的幾何關(guān)系求得，進(jìn)而可得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，可得，再根據(jù)得，再由正弦定理可得；（2）先由倍角公式可得，，再由兩角差的正弦公式可得.【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得，因，所以，由，則，由正弦定理得則.【小問2詳解】因，.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，垂足為．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接交于O，連接，通過證明可證明結(jié)論；（2）通過證明平面，可得，結(jié)合可得平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求面面所成角的大小.【小問1詳解】連接交于，連接，在中，，分別為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面平面【小問2詳解】側(cè)棱底面，底面，又因?yàn)榈酌媸钦叫?，，因?yàn)?，平面，平面，又平面，，是的中點(diǎn)，又，平面，平面，因?yàn)槠矫?，，又，，平面，平?【小問3詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得：，令，得，所以平面的一個(gè)法向量，顯然，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面與平面的夾角，，即平面與平面的夾角的余弦值17.已知橢圓：過點(diǎn)，且離心率．（1）橢圓的方程；（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)為．設(shè)原點(diǎn)為，射線OM交橢圓于點(diǎn)，已知四邊形AOBD為平行四邊形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦距即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)勻速即可代入坐標(biāo)求解.【小問1詳解】橢圓過點(diǎn)，，又，，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.，四邊形為平行四邊形.設(shè)，則，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以得，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不成立所以，直線的方程為或18.若函數(shù)滿足：對(duì)于任意，，都有，則稱具有性質(zhì)．（1）設(shè)，，分別判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）（?。┮阎婧瘮?shù)是上的增函數(shù)，證明：具有性質(zhì)；（ⅱ）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求的范圍．【答案】（1）不具有，具有，理由見解析（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用舉反例即可判斷不具有性質(zhì)．利用題干中的定義列出式子即可判斷具有性質(zhì).（2）（?。├闷婧瘮?shù)的性質(zhì)以及題干的定義即可證明結(jié)論.（ⅱ）根據(jù)定義列出式子，得出為上的增函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)以及分情況討論即可得到結(jié)果.【小問1詳解】不具有性質(zhì)，理由如下：取，則；具有性質(zhì)，理由如下：對(duì)于任意，，所以具有性質(zhì).【小問2詳解】（ⅰ）是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，為奇函數(shù)，，，具有性質(zhì)；（ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，，因?yàn)椋侄x域?yàn)?，所以為奇函?shù)，，即為上的增函數(shù)，在上恒成立，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，令，，令，，因?yàn)闉榈脑龊瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，令，，.綜上：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是理解性質(zhì)P的定義，第二問結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題.19.已知數(shù)列具有性質(zhì)：對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．（1）分別判斷數(shù)集和是否具有性質(zhì)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，，不可能成等差數(shù)列；（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，，，是等比數(shù)列．【答案】（1）不具有，具有.（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)的定義判斷即可；（