四川省巴中市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

絕密★啟用前高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念求出答案.【詳解】因，，所以．故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：D.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)判斷排除B，C，在內(nèi)選擇特殊值得排除D.【詳解】函數(shù)是定義域?yàn)楹瘮?shù)，奇函數(shù)，所以排除B，C，又函數(shù)在原點(diǎn)附近的零點(diǎn)為和1，可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù)，如0.1，得，所以排除D．故選：A.4.在正四棱臺(tái)中，已知，該正四棱臺(tái)的體積為168，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征以及臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】連接相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，連接，則為正四棱臺(tái)的高，作，垂足為，則，，四邊形是等腰梯形，，所以，，，由，得，可得．故選：C.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)單調(diào)性的問題，建立不等式組求解取值范圍，再求最值即可.【詳解】令，，則可視為由和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上單調(diào)遞減，由二次函數(shù)性質(zhì)得的對(duì)稱軸為直線，顯然開口向上，故，解得，則的最大值為4，故C正確.故選：C6.為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，某班舉行一次座談會(huì)，會(huì)上邀請(qǐng)了6位學(xué)生及他們的父母總共18人參加，并從中選出6位代表發(fā)言，如果這6人由其中一個(gè)家庭的3人與其他三個(gè)家庭中的各1人組成，那么不同的選人方案有（）A.720種 B.1240種 C.1440種 D.1620種【答案】D【解析】【分析】先選出一個(gè)家庭，該家庭的所有成員都被選中，再從剩余家庭中選出3個(gè)，每個(gè)家庭再選一人即可，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知從6個(gè)家庭中任意選出一個(gè)，這個(gè)家庭的3人都被選中，共有種選擇；再從剩余5個(gè)家庭里面選出3個(gè)家庭，共有種選擇；最后從3組家庭中各選一人，即有種；因此不同的選人方案共有種.故選：D7.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，其中一條漸近線上存在一點(diǎn)，使得另一條漸近線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，利用垂直平分線的性質(zhì)得出，聯(lián)立兩條直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理建立等式計(jì)算出即可求解．【詳解】不妨設(shè)漸近線垂直平分線段，所以．由解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，所以雙曲線的離心率，故選：A．8.若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱該函數(shù)為“完整函數(shù)”．已知是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換可知，再由三角函數(shù)值域以及“完整函數(shù)”定義將問題轉(zhuǎn)化為在上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得出不等式即可得解得的取值范圍.【詳解】由可得：；即是上的“完整函數(shù)”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因?yàn)椋虼?，‘即在上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，一定滿足題意；若，因?yàn)?，，所以，又易知；所以只需保證即可，解得綜上可知的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用“完整函數(shù)”定義，將問題轉(zhuǎn)化為在上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，再通過比較區(qū)間長(zhǎng)度和周期之間的關(guān)系即可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個(gè)工業(yè)園區(qū)內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)年收入情況，并將所得數(shù)據(jù)按，，…，分成六組，畫出了樣本頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.該工業(yè)園區(qū)內(nèi)年收入落在區(qū)間內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為0.55B.樣本中年收入不低于500萬元的小型民營(yíng)企業(yè)的個(gè)數(shù)比年收入低于500萬元的個(gè)數(shù)少C.規(guī)定年收入在400萬元以內(nèi)（不含400萬元）的民營(yíng)企業(yè)才能享受減免稅政策，則該工業(yè)園區(qū)有70%的小型民營(yíng)企業(yè)能享受到減免稅政策D.估計(jì)樣本中小型民營(yíng)企業(yè)年收入的中位數(shù)等于平均數(shù)【答案】BD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)一一判定選項(xiàng)可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，則年收入落在區(qū)間內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本中年收入低于500萬元的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槟晔杖朐?00萬元以內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為0.3，所以該工業(yè)園區(qū)有30%的小型民營(yíng)企業(yè)能享受到減免稅政策，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)椋灾形粩?shù)應(yīng)該在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以中位數(shù)約為480，平均數(shù)約為，中位數(shù)等于平均數(shù)，D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，且是的一個(gè)極值點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.實(shí)數(shù)的值為1或B.在上單調(diào)遞增C.若是的一個(gè)極小值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，D.若是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】由是的一個(gè)極值點(diǎn)，得，求出實(shí)數(shù)的值并分析其單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性判斷即可；【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，得，，①?dāng)時(shí)，，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的一個(gè)極大值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，解得，則，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的一個(gè)極小值點(diǎn)．故A正確，B錯(cuò)誤；若是的一個(gè)極小值點(diǎn)，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，所以，故C正確；若是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，且等價(jià)于，即當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確．故選：ACD.11.如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個(gè)全等且平行的正六邊形，，它們的中心分別為，，側(cè)面由12個(gè)全等的以正六邊形的邊為底的等腰三角形組成．若該“正六角反棱柱”的各棱長(zhǎng)都為2，則下列命題正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.平面C.該多面體外接球的表面積為D.直線與下底面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)幾何特征應(yīng)用線面垂直判定定理判斷B，求出外接球的表面積判斷C，計(jì)算異面直線所成角，線面角判斷A，D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，在下底面的射影分別為，，則平分，為等邊三角形，所以異面直線與所成的角為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，從而平面，故B正確．對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，在下底面上的射影為，上、下兩底面間的距離為，外接球的半徑為，則，，所以，，從而所求外接球的表面積為，故C正確．對(duì)于D，設(shè)直線與下底面所成的角為，由上面可知，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，則_______．【答案】2【解析】【分析】通過平方得到，進(jìn)而可求解；【詳解】由，平方可得：，即，所以，所以，故答案為：2.13.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，，則直線的斜率為______，______．【答案】①.②.4【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，利用點(diǎn)在拋物線上求解坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的不同坐標(biāo)，分類討論結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，由題意得的準(zhǔn)線為，令，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)，故，，因?yàn)?，所以，，解得，故，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得．故或，當(dāng)時(shí)，由兩點(diǎn)間距離公式得，當(dāng)時(shí)，由兩點(diǎn)間距離公式得，綜上可得，.故答案為：；414.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意并利用正弦定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和以及三角恒等變換計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，由正弦定理可得，即；又在中，,所以，即；所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性，并求當(dāng)?shù)臉O大值等于時(shí)，實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，所以，又，所以所求切線的方程為，即．【小問2詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，或．由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值．由，解得．16.一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下表格：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車合計(jì)女性居民150250400男性居民350250600合計(jì)5005001000（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異；（2）從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再從中抽取4人進(jìn)行座談，求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率；（3）從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，再從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異；（2）（3）分布列見解析，期望值【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可判斷得出結(jié)論；（2）由分層抽樣確定不同性別的人數(shù)，再利用條件概率公式計(jì)算可得結(jié)果；（3）根據(jù)分層抽樣確定傾向于購買新能源車與燃油車的人數(shù)，得出的所有可能取值并計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率可得分布列并求得期望值.【小問1詳解】零假設(shè)為：對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向不存在性別差異；易知，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷假設(shè)不成立，即認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；【小問2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人中3人為女性，7人為男性；再從中抽取4人進(jìn)行座談，共有種，其中有女性居民參加座談的情況共有種；恰有2名男性居民參加座談的情況共有種；因此在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率為；【小問3詳解】從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，可知抽取結(jié)果如下表：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車男性居民75再從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，的所有可能取值為；所以，；，，的分布列如下：0123數(shù)學(xué)期望.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．（1）證明：平面．（2）若平面，，，，平面與平面夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一合理作出輔助線，利用平行四邊形性質(zhì)結(jié)合中位線定理得到線線平行，再利用線面平行的判定定理證明即可，法二建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法結(jié)合給定面面角的余弦值建立方程，求解參數(shù)，得到比值即可.【小問1詳解】法一：如圖，連接，設(shè)，連接．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以由中位線定理得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．法二：因?yàn)?，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，，，，則，，．設(shè)是平面的法向量，則得取，可得．因?yàn)?，所以，則平面．【小問2詳解】因?yàn)?，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，．設(shè)（），則，．設(shè)是平面的法向量，由得取，可得．取平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，所以．18.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，圓與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，以線段為直徑作圓，點(diǎn)始終在圓內(nèi)（包括圓周），求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】方法一：（1）利用余弦定理得出，再由的面積求出、可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為可得答案；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周）得，韋達(dá)定理代入，再利用恒成立可得答案；方法二：（1）利用是正三角形，、的面積求出、可得答案；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，根據(jù)圓以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑可得答案；當(dāng)直線的斜率不存在，或斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周）得，韋達(dá)定理代入，再利用恒成立可得答案；【小問1詳解】方法一：因?yàn)?，所以，則，解得．因?yàn)榈拿娣e為，所以，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：因?yàn)椋?，所以是正三角形，，所以點(diǎn)在線段的中垂線上，則，是橢圓的短軸端點(diǎn)．因?yàn)榈拿娣e為，所以，在中，易知，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】方法一：設(shè)點(diǎn)，．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)，，易求．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則消去得，，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．方法二：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，圓以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑，所以．當(dāng)直線的斜率不存在，或斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，且，．聯(lián)立，消去得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．19.若是遞增數(shù)列，數(shù)列滿足對(duì)任意的，存在，使得，則稱是的“分割數(shù)列”．（1）設(shè)，，證明：數(shù)列是數(shù)列的“分割數(shù)列”．（2）設(shè)，是數(shù)