新高考藝術生40天突破數(shù)學第01講 集合（解析版）

第01講集合【知識點總結】一、集合的有關概念1．集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構成一個集合．構成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學對象外，還可以是其他對象．2．集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現(xiàn)．（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關．如．3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法．4．常用數(shù)集的表示R一實數(shù)集Q一有理數(shù)集Z一整數(shù)集N一自然數(shù)集或一正整數(shù)集C一復數(shù)集二、集合間的關系1．元素與集合之間的關系元素與集合之間的關系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種．空集：不含有任何元素的集合，記作．2．集合與集合之間的關系（1）包含關系．子集：如果對任意，則集合是集合的子集，記為或，顯然．規(guī)定：．（2）相等關系．對于兩個集合與，如果，同時，那么集合與相等，記作．（3）真子集關系．對于兩個集合與，若，且存在，但，則集合是集合的真子集，記作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本運算集合的基本運算包括集合的交集、并集和補集運算，如表所示．表交集AAB并集AAB補集AAI1．交集由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即．2．并集由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，叫做與的并集，記作，即．3．補集已知全集，集合，由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合相對于全集的補集，記作，即．四、集合運算中常用的結論1．集合中的邏輯關系（1）交集的運算性質．，，，，．（2）并集的運算性質．，，，，．（3）補集的運算性質．，，，．補充性質：．（4）結合律與分配律．結合律：．分配律：．2．由個元素組成的集合的子集個數(shù)的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．3．．【典型例題】例1．（2021·全國全國·模擬預測）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，集合，或，結合集合的交集的概念及運算，可得.故選：B.例2．（2021·全國全國·模擬預測）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題可得，因為，所以.故選：C.例3．（2021·全國·模擬預測）已知集合，，若，則（）A．－1 B．－1或0 C．±1 D．0或±1【答案】A【詳解】依題意，．由，可知：，又，則.故選：A．例4．（2021·廣東·佛山一中高一階段練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值的集合為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】集合，，又∴或，解得或或，當時，，，，符合題意當時，，，，不符合題意當時，，，不滿足集合元素的互異性，不符合題意.，則實數(shù)的取值的集合為.故選：D.例5．（百校聯(lián)盟2022屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，即，，所以，由解得，所以，所以.故選：A例6．（2022·全國·模擬預測）已知集合，，則集合可以為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得，A項中，，不符合；B項中，，符合；C項中，，不符合；D項中，，不符合.故選：B.例7．（2021·全國全國·模擬預測）已知全集，，，則Venn圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題知，，故Venn圖中陰影部分所表示的集合.故選：C.例8．（2021·全國·高一課時練習）若、、且、，集合，則用列舉法可表示為______.【答案】【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，所以用列舉法可表示為.故答案為：.【技能提升訓練】一、單選題1．（2021·北京育才學校高三階段練習）已知全集，集合，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題知，再根據(jù)集合并集運算求解即可.【詳解】解：因為，所以故選：C2．（2021·廣東·華南師大附中模擬預測）已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為集合，所以，故選：B.3．（2021·全國全國·模擬預測）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程化簡集合A，再利用集合間的關系即可判斷各個選項.【詳解】因為集合，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于CD，，故C錯誤，D正確．故選：D4．（2021·全國全國·模擬預測）已知集合，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合中元素的特征求得集合，再求并集及補集.【詳解】由題得：，，，因此，所以，故選：D.5．（2021·全國全國·模擬預測）已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集與補集的定義求解即可【詳解】由題可知，集合B中的元素表示直線上除點外的點，因此中的元素表示直線以外的點及點，所以，故選：C.6．（2021·江蘇·高三階段練習）集合，}，則（）A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]【答案】C【分析】解一元二次不等式化簡集合A，求函數(shù)定義域化簡集合B，再利用交集的定義直接計算作答.【詳解】解不等式得：，則有，函數(shù)有意義得：，解得，則有，所以.故選：C7．（2021·全國·高三階段練習）已知集合，，則（）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得結果.【詳解】因為或，，因此，.故選：B.8．（2021·重慶八中高三階段練習）已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合A,B，根據(jù)交集、補集運算即可求解.【詳解】因為集合，或，所以，則，故選：D9．（2021·全國全國·模擬預測）已知集合，，則（）A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和分式不等式得，再解絕對值不等式得，最后根據(jù)集合運算求解即可.【詳解】解：集合，，所以.故選：C．10．（2021·福建·廈門一中高三階段練習）設，已知兩個非空集合，滿足則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用Venn圖，結合集合的交并補運算求解.【詳解】如圖所示P，Q，滿足＝R，即PQ故選：B11．（2021·四川南充·一模（文））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，即可得解.【詳解】因為，，則，因此，.故選：B.12．（2021·北京·北大附中高三階段練習）已知集合，．若，則a的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關系即可求出答案.【詳解】∵，，∴當時，a＞2.故選：D.13．（2021·陜西·西安中學高三階段練習（理））已知集合，，則，的關系可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素判斷．【詳解】集合中只有一個元素，是一對有序數(shù)對（或理解為點的坐標），屬于點集，而集合是實數(shù)集，兩者交集為空集，故選：C．14．（2021·安徽·合肥市第八中學高三階段練習（文））設集合，若，則實數(shù)a的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡得，由再結合集合的互異性即可求解.【詳解】，又，，則實數(shù)a的取值集合為，時不滿足集合的互異性.故選：C15．（2021·上海市進才中學高三階段練習）已知集合且，定義集合，若，給出下列說法：①；②；③；其中所有正確序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】由集合的新定義結合，可得，由此即可求解【詳解】因為集合且，若，則中也包含四個元素，即，剩下的，對于①：由得，故①正確；對于②：由得，故②正確；對于③：由得，故③正確；故選：D二、多選題16．（2021·重慶·模擬預測）已知全集，集合，則關于的表達方式正確的有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)補集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【詳解】由題意得，，所以，故AB正確，CD錯誤，故選：AB.17．（2021·全國·高三專題練習）設全集，集合，，則（）A． B．C． D．或【答案】BD【分析】先通過一元二次不等式的計算可得，，再根據(jù)集合的運算逐項計算即可得解.【詳解】由題知，，或，所以，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；或，故D正確.故選：BD．18．（2021·江蘇省天一中學高三階段練習）已知集合，集合，則下列說法正確的是（）A．(0，0)∈B B．AB={0，1} C．B=[0，+∞) D．BA【答案】CD【分析】求出函數(shù)y=x和函數(shù)y=的值域分別得集合A和集合B，再逐一驗證各選項判斷作答.【詳解】依題意，，，對于A，，而，A不正確；對于B，，B不正確；對于C，因，則C正確；對于D，因，即BA，D正確.故選：CD19．（2021·重慶市第七中學校高三階段練習）已知集合，集合，集合，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先求出集A，B，D，再逐個分析判斷即可【詳解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為或，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，因為或，所以，所以D正確，故選：BCD20．（2021·江蘇·南京市第十三中學高三階段練習）設，，若，則實數(shù)的值可以是（）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可以得到，進而討論和兩種情況，最后得到答案.【詳解】由題意，，因為，所以，若，則，滿足題意；若，則，因為，所以或，則或.綜上：或或.故選：ABC.21．（2021·江蘇省南菁高級中學高三階段練習）已知?均為實數(shù)集的子集，且，則下列結論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題可知，利用包含關系即可判斷.【詳解】∵∴，若是的真子集，則，故A錯誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯誤，D正確.故選：BD.22．（2021·廣東·高三階段練習）已知集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的取值有（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可知集合中僅有一個元素，由此分析方程為一元一次方程、一元二次方程的情況，從而求解出的值.【詳解】因為集合僅有個子集，所以集合中僅有一個元素，當時，，所以，所以，滿足要求；當時，因為集合中僅有一個元素，所以，所以，此時或，滿足要求，故選：BCD.23．（2022·全國·高三專題練習）給出下列關系，其中正確的選項是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)元素與集合的關系，空集是任何集合的子集即可判斷各選項的正誤【詳解】顯然不是集合的元素，所以A不正確；，所以B正確；，滿足元素與集合的關系，所以C正確；，滿足集合與集合的包含關系，所以D正確；故選：BCD．24．（2021·重慶市開州中學高三階段練習）下列各組中的兩個集合相等的是（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)集合相等的概念對選項逐個分析判斷即可．【詳解】對于A，因為P中含有1，而Q中沒有，故錯誤；對于B，因為，所以，正確；對于C，，顯然，故C錯誤；對于D，因為故，故D正確.故選：BD．25．（2021·湖南·長沙一中高三階段練習）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先化簡集合，再結合集合關系包含與集合運算法則知識對各選項逐一分析即可.【詳解】因為，解不等式得，又因為.對于A，由題意得，故A錯誤；對于B，由上已證可知B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以，故D錯誤；故選:BC三、填空題26．（2020·天津市南開區(qū)南大奧宇培訓學校高三階段練習）設集合A={a|a2–a–2＜0，a∈Z}，則A的真子集共有_________個．【答案】3【分析】求得集合元素的個數(shù)，由此求得的真子集的個數(shù).【詳解】，由于，所以，集合有個元素，其真子集的個數(shù)為個.故答案為：27．（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高三階段練習）已知集合，則集合的非空真子集個數(shù)為______．【答案】【分析】解不等式，確定集合中的元素個數(shù)，利用子集個數(shù)公式可得結果.【詳解】，故集合的非空真子集個數(shù)為.故答案為：.28．（2021·陜西·長安一中高三階段練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】解不等式求出集合，，由可得，再結合包含關系即可求解.【詳解】因為，，由可得，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.29．（2021·上海市建平中學高三階段練習）已知集合，，若，則___________.【答案】0【分析】根據(jù)集合元素的互異性和確定性，以及集合相等的概念，即可求出結果.【詳解】由題意可知，∴，又∴，∴.故答案為：.30．（2020·上?！つ蠀R縣泥城中學高三階段練習）已知集合，，若，則___________；【答案】2【分析】結合已知條件，分別討論和時，集合和集合是否滿足即可求解.【詳解】由，結合已知條件由下列兩種情況：①若，則，此時，，滿足；②若，則，(i)當時，，，不滿足；(ii)當時，，，不滿足，綜上所述，.故答案為：2.31．（2020·上海市松江二中高三階段練習）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)子集定義即可求解.【詳解】∵集合，，且∴故答案為：.32．（2022·上海·高三專題練習）已知集合，，若，則實數(shù)m的取值構成的集合為___________.【答案】【分析】先化簡集合M，然后再根據(jù)N?M，求出m的值，即可求解．【詳解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三種情況，當時，可得；當時，∵，∴，∴；