同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》上冊的答案

練習(xí)1-1

1.設(shè)/=(-00,-5)“5,2),屏[_10,3),寫出及

的表達式.

解4uB=(-oo,3\j(5,+Qo),

/4r^=[-10,-5),

X\fi=(—oo,-10人?(5,4-ao),

-5).

2.設(shè)/、B是任意兩個集合，證明對偶律:(/陰,=/：5.

證明因為

xwAryB

OXEX或xe萬

0工￡/?；蛉f信片

oxw/C”,

所以(42)J。J片.

3.設(shè)映射及zX.證明

。次入響的為；

證明因為

o(因為XGA或xwff)或

oyw其AKfflff),

所以｛4?次4AM2).

(2如n^Nyyw.

證明因為

yeJ[Ar^==>3xeAr\B,使/(xf

o(因為x^A且xwb)y0(/)且y/B)

所以加的"2助.

4.設(shè)映射/:方匕若存在一個映射g:使

，。8=/一其中a、〃分別是KV上的恒等映射，即對于每一

個xeZ,有Zrxnr;對于每一個ywKWhy=y.證明:/是雙射，

且g是/的逆映射:VL

證明因為對于任意的ywK有

x=g(y)GX9且產(chǎn)嘰

即y中任意元素都是x中某元素的像，所以/為刀到丫的滿射.

又因為對于任意的XIQT2,必有尺1北危2),否則若

因此/既是單射，又是滿射，即」是雙射.

對于映射閨因為對每個ywK有鼠FKRV,且滿足

HXE/kOOh寫尸X,按逆映射的定義,g是/的逆映射.

5.設(shè)映射/:XTK/UX,證明：

證明因為

x^A=>f(x)=y^/(A)

所以廣?體)％.

(2)當(dāng)/是單射時，有廣I優(yōu)4)2.

證明由⑴知尸w)a.

另一方面，對于任意的存在yOM),使

f~l(y)=x=>fix)=y.

因為丁晨彳)且/是單射，所以這就證明了廠(/(4))o4.

因此廣1仲)2.

6.求下列函數(shù)的自然定義域:

(1)尸后交；

解由3x+2K)得故函數(shù)的定義域為D=[4，+QO).

⑵片六

解由IT2M得XH1,故函數(shù)的定義域為

D=(-oo,-lkX-l,1XX1,-KO).

(3)j=1-Vl-x2;

解由.0且l-x2>0得函數(shù)的定義域Z>=[-1,0M0,1].

⑷尸占

解由4-->o得同。故函數(shù)的定義域為d(-2,2).

(5)^=sinVx;

解由x20得函數(shù)的定義D=[O,+ao).

⑹片tank+D;

解由x+1=今(1),±1,±2,??.)得函數(shù)的定義域為

X*斤開十年-1(i=0,±1,±2,-.

(7)j=arcsin^-3);

解由k-39得函數(shù)的定義域八=[2,4]

⑻片J3T+arctan：；

解由3-x>0且xM得函數(shù)的定義域ZM-oo,0M0,3).

(9)尸吸+1);

解由x+l>0得函數(shù)的定義域ZM-l,+ao).

1

(lO)yex.

解由NO得函數(shù)的定義域A(fO)u(O,+a)).

7.下列各題中，函數(shù)危)和弟)是否相同？為什么?

(IVUAlgV虱x)=21gx;

解不同.因為定義域不同.

(2)人力與g(x)=V?；

解不同.因為對應(yīng)法則不同/<0時,％)=7.

(3)/(x)=W*,g(x)=四口；

解相同.因為定義域、對應(yīng)法則均相相同.

,gfx>sec\-tai？x.

解不同.因為定義域不同.

?

|sinx||x|<^

8.設(shè)dx）=<,求W勺，我今，初-?）,吠-2）,

01代644

b1

并作出函數(shù)"今）的圖形.

解雙殺蟲吟昌，

ooZ

鳴月sin和坐，

d-今）=1向（一令卜孝，

^-2）=0?

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴產(chǎn)產(chǎn)，（fl）;

1-x

證明對于任意的Xl,X2W（f1）,有l(wèi)-Xl>0,1T2>O.

因為當(dāng)X]<X2時，

--工=——<0,

必力[一再1』（IfXl-xJ

所以函數(shù)y=J-在區(qū)間（-%1）內(nèi)是單調(diào)增加的.

I-X

（2）y=x+lnx,（0,+x）.

證明對于任意的Xl,X2￡（0,W）,當(dāng)X1<X2時，有

%一%=（司+卜再）_（工2+~必）=（再一巧）+1n'<0，

A

所以函數(shù)尸r+lnx在區(qū)間（0,e）內(nèi)是單調(diào)增加的.

10.設(shè)｛x）為定義在（M,/）內(nèi)的奇函數(shù)，若A）在（0,。內(nèi)單調(diào)增

加，證明/廄（1,0）內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對于VX1,X2W（-7,O）且Xl<X2,有Tl,T2W（0,/）且Tl>-X2.

因為危法（0,/）內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

人-必巾田）,如2"加1）,加2）^/1）,

這就證明了對于VX1,X2E（T。），有凡月）<加2）,所以外）在（T。）內(nèi)

也單調(diào)增加.

H.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間（1,/）上的，證明:

（1）兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

證明設(shè)?。スぃ銮樱╔）.如果用）和蜒）都是偶函數(shù)，貝U

尸（-X月（-X網(wǎng)（7/（小如）=尸（X）,

所以尸（X）為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果作）和弟）都是奇函數(shù)，則

產(chǎn)+虱-'）=如）-%）=-產(chǎn)（X）,

所以尸（X）為奇函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

（2）兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，

偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明設(shè)尸（工月/口）做。如果/）和#）都是偶函數(shù)，貝IJ

尸俱T>5/{x>g（x）=fXx）,

所以尸（X）為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果瓜）和都是奇函數(shù)，則

RTR（T）?（T）=Mx）］［-g（X）］切>>g（X）=尸（X）,

所以用）為偶函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果作）是偶函數(shù)，而蛉）是奇函數(shù)，則

產(chǎn)（-X月（-X）想?12工）［-如）］=^>）如）=-尸（X）,

所以尸（X）為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函

數(shù)又非偶函數(shù)？

（11修）；

解因為大THTPUT-X力*2（1—2月⑺，所以用）是偶函數(shù).

（2g3x2T3；

解iJ（-x）=3^x^x^3x\x3可見加）既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù).

2

⑶外1-X.

1+X2'

解因為/(、)=上￡邛=12^=/(x),所以斤)是偶函數(shù).

i+(-xjr12

(4gr(x-l)a+l);

解因為

/(THTX-IXT+lAxa+IXx-AMx),

所以斤)是奇函數(shù).

(5)y=sinx-cosx+1;

解i/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可見及r)既非奇函

數(shù)又非偶函數(shù).

⑹尸*.

解因為/(-力=直誓2=互尹=/(力，所以/)是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其

周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2兀

(2)y=cos4r;

解是周期函數(shù)，周期為/=1.

(3)^=l+sin^%;

解是周期函數(shù)，周期為￡2.

(4)>^xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5)y=sirfx.

解是周期函數(shù)，周期為1=兀

14.求下列函數(shù)的反函數(shù):

(l)y=Vx+l;

解由y=Vx+T得

所以y=屈的反函數(shù)為

y=x3-\.

(2)產(chǎn)

解由片已得

所以片念的反函數(shù)為

(3)片色嗎Q/*#0)；

解由^=銬得

-dy+b

c9

所以片豁的反函數(shù)為

(4)y=2sin3r;

解由尸2sin2K得

1.y

x=-arcsiny,

所以y=2sin3x的反函數(shù)為

(5)尸1+吸+2);

解由片1+1噸+2附

x=e尸】-2,

所以產(chǎn)l+ln$+2）的反函數(shù)為

解由y二2二得

所以丁=券的反函數(shù)為

15.設(shè)函數(shù)及）在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)段）在X上有

界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.

設(shè)函數(shù)后旌》上有界，則存在正數(shù)M使

火工）吠即-峪

這就證明了本）在X上有下界-M和上界M.

再證充分性.

設(shè)函數(shù)加法X上有下界K和上界4,即

KI#KK2.

WM=max{K|,g|},則

一位乂勺5應(yīng)勺“/,即心把M.

這就證明了加足EX上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這

函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值XI和X2的函數(shù)值：

（1）y=1?,u=sinx,玉=J,上=（；

2222

解j=sii?x,J1=sin^=(1)=1,j2=sin^=(^)=1.

(2)y=sinu,u=2x,4哈珍=不

解尸sin2v,M=sin(2.a二s嗚=半，乃二sin(21)=si吟=1.

(3)y=4u,M=1+X2,XI=1,X2=2；

22

解y=Jl+x,M=J1+A=及,y2=y/l-^2=V5.

(4)j=ew,u=x2,xi=0,X2=l;

22

解片,，^1=eO=l,y2=^=e.

⑸尸u2,,Xl=l,X2=-l.

解y=^,=^2,yi=^^]=e^.

17.設(shè)代)的定義域O=[0,l],求下列各函數(shù)的定義域:

⑴府)；

解由0^r2<l得

M

所以函數(shù)人/)的定義域為

[-1,1].

(2)式sia);

解由(Esinx^l得

2n^x^(2n^-1)n(w=0,±1,±2…),

所以函數(shù)｛sinx)的定義域為

[2/1%(2/1+1)力(〃=0,±1,±2?-).

(3)加M(aX0；

解由得

所以函數(shù)—+。)的定義域為

(4)/(x+a)t/(x-a)(a>0).

解由0女+。41且M-aWl得：

當(dāng)時,a<jc<A-a\

當(dāng)嗎時，無解.

因此當(dāng)0〈竭時函數(shù)的定義域為也1旬，當(dāng)嗎時函數(shù)無意義.

1I水1

18.設(shè)/(x)={0驅(qū)AC,求/%)］和加)1并作

-1曲1

出這兩個函數(shù)的圖形.

11x<0

解/［觀明=0封口，即/Tg(x)］=0x=0.

-14-1x>0

d|x|<l

g[/(x)]=”(幻=?e°|x|=l,Wg[/(x)]=<1|x|=l.

—|x|>l?T|x|>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜一

角/40。(如圖).當(dāng)過水?dāng)嗝?5C。的面積為

定值&)時，求濕周￡。=4外慶*7。)與水深力

之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域.

解AB=DC=^-^,又從!A[5C+(3C+28t40°〃)]=局得

sin402

^C=^-cot40°A,所以

h

hsin40

自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組

A>0,》-cot400.A>0

n

確定，定義域為0</r<JS。8t40°.

20.收斂音機每臺售價為90元，成本為60元.廠方為鼓勵銷

售商大量采購，決定凡是訂購房超過100臺以上的，每多訂購1

臺，售價就降低1分，但最低價為每臺75元.

。灌每臺的實際售價P表示為訂購量上的函數(shù)；

解當(dāng)陽4100時，片90.

令0.01(刈_100)=90-75,得xo=1600.

因此當(dāng)Q1600時，片75.

當(dāng)100<v<1600時，

^90-Cx-100)x0.01=91-0.Olx.

綜合上述結(jié)果得到

9004x4100

p=?91-0.0Lr100Vx<1600.

75X21600

(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù);

30x04E00

解P=(p-60)x=31x-0.0br2100<x<1600.

15xXN1600

。)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少?

解P=31xlOOO—0.01x100()2=21000(元).

練習(xí)1-2

1.觀察一般項右如下的數(shù)列旨〃｝的變化趨勢，寫出它們的極限:

(1況=/；

解當(dāng)50時，4=/TO,膽/=0?

(2)x,=(-iri;

n

解當(dāng)〃T8時，x=(-ir-->0,

nnisn

⑶xa=2+e；

n

解當(dāng)〃TOO時，x=2+4->2,lim(2+l)=2.

nrIT

(4)%=

n+r

解當(dāng)18時,中得士系-，配n-1

=1.

什1

解當(dāng)時,Xn=n(-\y沒有極限.

2.設(shè)數(shù)列｛%｝的一般項/=二~2_.問lim/=?求出N,使

當(dāng)〃>N時,x#與其極限之差的絕對值小于正數(shù)/當(dāng)6=0.001時,

求出數(shù)M

解limxn=0.

因為|馬-0卜段Rml，所以V￡>O,要使k”-o|<￡,只要

nn

1<￡,也就是〃〉L

因此取N=g],則有%-0|<6.

當(dāng)￡：=0.001時，^=[1]=1000,

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:

⑴%卜。；

分析要使

|J-O|=Jv￡,

nn

只須即心表.

證明因為VoO,mN=［表］,當(dāng)〃>N時，有

n

所以lim^=-=0.

n3

⑵1.-

里=

W1+2

分析要使

,2/1+122(2w+l)An9

只須;<6,即〃

4〃比

證明因為VQOTN=［；］,當(dāng)〃>N時，有

所以［im誓D

n-*?2n+l2

(3)lim=+匕;

力-H?n

分析要使

|JM+Q2'爐+^2一〃二°2(以2<.

nn"JM+M+〃)n

只須"貯.

￡

證明因為VQO「N=［的，當(dāng)V〃>N時，有

€

n

所以［而近蓬=1.

n

(4)limO.999-9=1.

…不

分析要使

只須蓋r<￡,EPn>l+lg|.

證明因為VQ0,mN=［l+18：］,當(dāng)▼心N時，有

|0.99…9-1|3

所以limO.999???9=l.

…齊」

4.limy明證明并舉例說明：如果數(shù)列｛除|｝

fl—QO"Too

有極限，但數(shù)列｛&｝未必有極限.

證明因為所以VcOJNeN,當(dāng)〃>N時，有

心一水￡,

從而

|%卜同|4%-0|<￡.

這就證明了limMHW.

ufoo

數(shù)列也小有極限，但數(shù)列｛%｝未必有極限.

例如，但不存在.

JTf8B

5.設(shè)數(shù)列｛x〃｝有界，Xlim^=0,證明：lim4;小。.

HfCD?->?

證明因為數(shù)列旨”｝有界，所以存在M使V〃wZ,有|x“皿

又1而以=0,所以VQO^NWM當(dāng)n>N時，有1yll<￡.從而

IJ-HOM

當(dāng)〃〉N時，有

|x也一。中戊KMMK”卷=￡，

所以獨工“外=0.

6.對于數(shù)列｛x“｝,若XU_1T〃(左f?),皿Ta(Afoo),

證明：%

證明因為Xuf#T8),Mjtfr(kT8),所以VQO,

3^1,當(dāng)2*-1>2版一1時，有|X2JTT|<￡；

3K2i當(dāng)2后>2&時，有|X2H|<￡.

取N=max{/I,2K2},只要就有除T|<￡.

因此xw->a(/i+o).

練習(xí)1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8;

13

分析因為

|(3x-l)-8H3x-9|=3k-3|,

所以要使|(次-1人8|<凡只須|X-3K；￡.

證明因為當(dāng)Ov|x-3kb時，有

廖-1卜8|<￡,

所以呵(3x-l)=8.

(2)lim(5x+2)=12;

分析因為

|(5x+2>-12|=|5x-10|=5^-2|,

所以要使(加+2)-12|<￡,只須|X-2K：￡.

證明因為V￡>O,mb=/￡,當(dāng)0<|x—2|<b時，有

|(5x+2)-12|</r,

所以li嗎(5x+2)=12.

⑶媽余

分析因為

=|x+2Hx-(-2)|,

點《)卜5

所以要使|弓_(?4)卜￡,只須|X_(_2)K￡.

人丁"4

證明因為當(dāng)0<K-(-2)kb時，有

得臼出

所以(in7=一4.

x+2X+2

(4)4蜻=2

2

分析因為

|嘉-2|邛一2x-2|=2|A(f,

所以要使|嘉-2卜￡,只須以-(一今46

證明因為\/00戶6=",當(dāng)0令-(-；)/吐有

44

I卅乩

所以，必需=2.

2

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(l)lim^=1;

xf?2x'2

分析因為

I1+X31l+^-x3

洞'

所以要使|竽-撲￡,只須忘3即曲癥.

證明因為患，當(dāng)kl>x時，有

挈-撲打

所以照翳斗

⑵lim^^=0

ipVx

分析因為

*—0

1VX

所以要使|騾-0|<￡,只須上“，即

證明因為VoO,m%=/，當(dāng)x>X時，有

|警-。

所以城哭見

3.當(dāng)x12時,k2T4.問5等于多少，使當(dāng)K-21Vb時,

[y-4|<0,001?

解由于當(dāng)XT2時,A2|T0,故可設(shè)卜-2[<1,即1。<3.

要使

2

^-4|=Pc+2||r-2|<5|r-2|<0.001,

只要?-2|<嚶^=00002.

取應(yīng)0.0002,則當(dāng)0<|x-2|<5時，就有|?-4|<0.001.

4.當(dāng)XT8時，丁二華問X等于多少，使當(dāng)|x|>X時,

x2+3

[y-l|<0.01?

解要使I蕓P卜島<0.%只要曲舄口=廝.

因此可取萬=屈7.

5.證明函數(shù)於A用當(dāng)XTO時極限為零.

分析因為

加毋阻誹―

所以要使代卜0|<0只須卜1<￡.

證明因為對VQO產(chǎn)生與便當(dāng)0<|x-0|<舟時有

照卜0|=|閨-0|<6

所以呵|x|=0.

X-MJ

6.求/(x)哼於)=4當(dāng)XTO時的左、右極限，并說明它們

在XTO時的極限是否存在.

證明因為

lim/(x)=lim-=lim1=1,

x-*0-x-?0-Xx->0-

limf(x)=lim—=lim1=1,

xfx->0+xx-?0+

lim/(x)=lim/(x),

x-HTx->0*

所以極限lim/(x)存在.

x-M)

因為

lim奴工)=lim—=lim—=-l,

x-M)-x-KTxx->o-x

lim吠x)=lim區(qū)=lim-=1,

x”x-MTxx->0*x

limlimdx),

x-*0-x-?0*

所以極限lim奴x)不存在.

x-f0

7.證明：若XT田及X+8時，函數(shù)段)的極限都存在且都等

于4,則lim/(x)=4.

證明因為limf(x)=4,limf(x)=A,所以VaO,

X—>-?X-H?

3X1>O,使當(dāng)“<-小時，有距卜/|<6；

3^>0,使當(dāng)x>為時，有照)-4|<￡.

取KmaxW1,而｝,則當(dāng)|x|>X時，有火")-川<￡,即lim/(x)=/.

8,根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)及)當(dāng)X.時極限存在的充分

必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)后卜xafto),則VQO,3<8>0,使當(dāng)

O<|x-xo|<J時，有

火X)-4|V￡.

因此當(dāng)xo-S<x<xo和xo<r<xo+<5時都有

火X)-4|<￡.

這說明加)當(dāng)XTXO時左右極限都存在并且都等于4.

再證明充分性.設(shè)於o-Ofxo+Oa,則VQO,

3A>0,使當(dāng)xo-bi<x<xo時，有|於)-4<￡；

3&>0,使當(dāng)xo<r<ro+應(yīng)時，有|危)-4|<￡.

取鼻min揚，B},則當(dāng)0<|x-xo|<b時，有xo-投。<xo及xo<x<ro+(&,

從而有

阿-/|<￡,

即AxA>/(x->xo).

9.試給出XTO0時函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明.

解XT8時函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果兒。當(dāng)XT8時

的極限存在，則存在X>Q及M>o,使當(dāng)H次時,

證明設(shè)加卜”(XT8),則對于41,畛0,當(dāng)|x|>X時，有

|/0川<￡=1.

所以

如)H/(XM+4KI/(XA4|+"|<1+7|.

這就是說存在E>0及肛>0,使當(dāng)|x|>X時,")|<Af,其中M=l+H|.

練習(xí)1-4

1.兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之.

解不一定.

例如，當(dāng)XTO時,o(x)=2x,fix)=3x都是無窮小，但

1-

㈣麗下

膽不是無窮小.

2.根據(jù)定義證明：

(1卜=卻當(dāng)XT3時為無窮??；

證明當(dāng)*3時

因為7￡>0,眸￡,當(dāng)0<卜-3|<6時，有

陽當(dāng)？卜工-3|<6=￡,

所以當(dāng)x->3時善為無窮小.

(2)y=xsinl當(dāng)XTO時為無窮小.

證明當(dāng)xMW|^|=|x||sin|Hx-O|.

因為當(dāng)0<卜-0|<6時，有

|yHx||sin3Mx-0|<b=￡，

所以當(dāng)xf0時曠=心由!為無窮小.

3?根據(jù)定義證明：函數(shù)y=等為當(dāng)xfO時的無窮大.問x

應(yīng)滿足什么條件，能使

證明分析

I陽號斗Ml*蘇2,

要使M>M只須由-2>M,即.￡瓦.

證明因為■供p使當(dāng)0<?-0|<6時，有

—

所以當(dāng)XT0時，函數(shù)丁=苧是無窮大.

取“"，則b■版.當(dāng)04Aol<而占時,加田.

4.求下列極限并說明理由：

(l)lim^i;

肘T?X

解因為區(qū)±1=2+1，而當(dāng)工TOO時［是無窮小,

XXX

所以hm型包=2.

"-H0X

⑵西者

解因為舁=l+x(xwl),而當(dāng)XT0時工為無窮小,

1-X

所以=1.

5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義，填寫下表:

Ax)->A向TOO〃X)fKJC〃x)+ao

V￡>0,3<8>0,使

.r->Ab當(dāng)0<卜-刈<陰寸.

有恒!/W-川<6

x->xo'

X-KWT

”>0,二￥>0,使當(dāng)忖>￥時.

x-?oc

有恒

XT+8

XTiOO

6.函數(shù)了48§%在(-00,+<?)內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當(dāng)

XT+8時的無窮大？為什么？

解函數(shù)尸XCOSX在(-00,+00)內(nèi)無界.

這是因為V必0,在(-8,+00)內(nèi)總能找到這樣的馬使得

例如

_p(2A：m=";zcos獨m24;r(無=0,1,2,…)，

當(dāng)k充分大時，就有|乂看姍>”.

當(dāng)時，函數(shù)尸XCOSX不是無窮大.

這是因為VM>0,找不到這樣一個時刻N,使對一切大于N的

x,都有

況x)l>M

例如

M及〃+?)=(2*;r+3)cos(2A;r+3)=0(k=0,1,2,...),

//JNT

對任何大的N,當(dāng)k充分大時，總有X=2AJT+3>N,但伏x)|=0<M

7.證明：函數(shù)y=kii)1在區(qū)間(0,1］上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)

XX

x->0+時的無窮大.

證明函數(shù)y=：sinq在區(qū)間(0,1］上無界.

這是因為,VM>0,在(0,1］中總可以找到點使戌a)>M

例如當(dāng)

(*=0,1,2,...)

時，有

Xx*)=2i/r+1,

當(dāng)七充分大時,

當(dāng)XTO+吐函數(shù)尸kid不是無窮大.這是因為

XX

VA^O,對所有的心0,總可以找到這樣的點工匕便0<x「￡但

y(Xk)<M.

例如可取

與=虛*=0,1,2,???)，

當(dāng)k充分大時,中<優(yōu)但WQ)=24於in2t;?=0<M

練習(xí)1-5

1.計算下列極限:

⑴期號;

解螞君=猾一.

⑵如宏I；

解螞宏HSa

⑶圖言;

解理學(xué)產(chǎn)=1叫高磊f!卻磊=殳°

(4)1而4弋#乜

-03爐+級

%??泰=%4WrL2

⑸氏*;

解翹叫區(qū)=%『2=國3加、

⑹螞

x2-1

⑺lira

X-HOZ^-x-l

⑻照M

解螞母P。（分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零）.

x2-hx

或lim=lim

XTOD八3，］X-HC

⑼如至黠

解俄至吃H吧格=理若=君胃

（1。）螞Q+加T；

解lim(l+-X2-^-)=lim(l+-).Um(2-4r)=lx2=2.

X-HOXX2XABX2

(11)lim(1+!+；+???

"TOO24

（12）lim1+2+3+；+d）；

（〃一

解1加1+2+3+；=［而1而日=日.

1

R-HOnw-x?〃/2n-wn2

（13）lim（〃+l）（"?（〃+3）；

"-*305/

解［im史嗎普@=4（分子與分母的次數(shù)相同，極限為

515

最高次項系數(shù)之比）.

或1im（〃+—￥）（〃身=Jiim（i+』xi+2）（i+3）=!.

“f?5〃'5月f?nnn5

解呼吉-臺則演韶r!叫者明

2.計算下列極限:

⑴端等

解因為如察=2肛所以期痔R

⑵照晶;

解lim工=8（因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)）.

2x4-1

0）lim（2?-x+l）.

解11111（2?-4+1）=8（因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)）.

3.計算下列極限：

(l)limx2sin—;

x-H)x

解lim/sinLol當(dāng)XTO時,一是無窮小，而后1是有界變量).

x-?OXX

⑵.迪嗎

X-KOx

aretanx

解=ihnLarctanx=o(當(dāng)x->8時，1是無窮小，

X-*?xX-HOXX

而arctanx是有界變量).

練習(xí)1-6

1.計算下列極限：

⑴11m配；

x->0X

解茄皿吼⑹而血也卬

x-?oxx-*otax

(2)Hm蛔g

10X

解1加3=31加啜,一=3.

XTOXXTO3XCOS3X

⑶網(wǎng)嚶

XTOsm5x

解lim皿=lim皿.上22

A->Osm5xu2xsin5x55,

(4)limxcotx

解limxcotx=lim-cosx=lim-limcosx=l.

x-*ox+sinxx-^osinxx-?o

(5)limlzC2s2x

XTOxsinx

解Hm上空2=1加上挈/lim駕紅=21im(也"=2.

MOxsmxx"+ojrx->oRx->ox

或.上空Jim&^=21im蛔=2.

X-M)xsinxX-H)xsinxx-*o4

(6)lim2"sin](x為不等于零的常數(shù)).

?-??2"

sin^-

w

解lim2sin—n=lim———-x=x.

“TOO2n-￥<DX

2.計算下列極限:

(l)lim(l-xV;

x-?O

1J_<_n

解lim(l-x)x=1叫1+(T)](F={1叫1+(T)]G)}T=6T.

1

(2)lim(l+2x)i;

!L_L

解1緋1+2?=呵(1+21：)〃=[lim(l+2x)2jf]2-e1.

（3）絲與盧;

解照產(chǎn)產(chǎn)7町i+乎2=/?

（4）㈣4聲0為正整數(shù)）

解盧=lim(l+-!-)(Ty.

x-xnXx-*?-X

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準則匕

證明僅對XT"的情形加以證明.

因為

limg(x)=A,lim/t(x)=A,

XT勺

所以對任一給定的QO,存在小0,使得當(dāng)O<WTO|V附，恒有

即A-c<g{x)<A^ER4一￡<A(X)O4+&

又因為如田型A(x),

所以A-e<f(x)<A^￡,

即風(fēng)辦刈氣

因此lim/(x)=J.

4.利用極限存在準則證明:

⑴物代；

證明因為k小+工為+工,

Vnn

而lim1=1且lim0+—)=1,

H-KOw->x>n

由極限存在準則I,lim、「I=L

H-HOVn

⑵罌…+號產(chǎn);

證明因為

n2,1.1.....1、，/?2

片+〃萬rr+2jr〃/+〃乃

-2-2

而lim—z-------=1,lim-5-----=1,

所以lim+F：+…+-5^-)=1?

(3)數(shù)列上,亞二萬，族+收+應(yīng)，?,?的極限存在;

證明司=0,-I=J2+43,…J

先證明數(shù)列旨”｝有界.

當(dāng)〃=1時再=0<2,假定〃4時卬2則當(dāng)〃4+1時,

xt+i=,2+沖<J2+2=2,

所以工1r<加1,2,3,??.)，即數(shù)列kJ有界.

再證明數(shù)列單調(diào)增.因為

/z---2+%-總-(x--2Xx?+l)

Jif=j2+x〃-x=_j_2__~J--

n播+與+/播+x“+?

而工〃-2<0,工“+1>0,所以X“+I-XQO,即數(shù)列｛x“｝單調(diào)增.

因為數(shù)列｛4｝單調(diào)增加有上界，所以此數(shù)列是有極限的.

(4)lira加7=1;

x->0

證明當(dāng)*1時，則有

i+xs+hM+ay,

i+x>i-M>(i-kir,

從而有l(wèi)-|x國的41十|制.

因為UmQ-|x|)=lim(l+|x|)=l,

x-K>x->0

根據(jù)夾逼準則，有

limVl+x=l.

x->0

(5)粵g]=l.

證明因為l_i<山對，所以lr<x［』41.

XXXX

又因為Iim(l-x)=liml=l,根據(jù)夾逼準則，有1加耳4=1.

x-MTxfx*X

練習(xí)1-7

1.當(dāng)XTO時,2X_X2與一_/相比，哪一個是高階無窮小?

解因為

limx2-Xy=limx-x2

=0,

x~^2x—x￡jf-*o2r

所以當(dāng)XTO時廣2_工3是高階無窮小，即x2-x3=o(2r-x2).

2.當(dāng)XT1時，無窮小1-x和是否同階？是否等價？其中

(i)gi￡

解因為

limF=Hm魚斗士電=lim(l+x+/)=3,

Il-xn1-xx-Jr

所以當(dāng)XTI時,I7和1-1是同階的無窮小，但不是等價無窮小.

(2)加同0-馬.

解因為

1叫^---=-lim(l+x)=l,

AM1-X2I1

所以當(dāng)XTl時,1-X和gl2)是同階無窮小，而且是等價無窮小.

3.證明：當(dāng)XTO時，有：

(l)arctanx-x;

證明因為

limarctanx=,im^=1

uxy—otany

所以當(dāng)XTO時,arctamc偎示：令尸arctanx,則當(dāng)XTO時,尸＞0).

(2)sccx-l-y.

證明因為

112sin2^2sin4

.罕zl=2lim苧型=limri=lim（一與=1,

1°J_y2lO/cOSXJT_10X

2~22

所以當(dāng)工fO時，sccx-1-^-.

4.利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限：

⑴%普；

解Hm哽=lim券=機

x-+o2x?->o2x2

⑵%湍仇機為正整數(shù)上

1n=m

解limsi"")=limW=4。n>m.

x->o(sinx)w,x-H)/

oon<m

（西號薩

sinx(-------1)

解limtanx-sinx=Um^cosx=呵_^￡^_

sinJx*->osinJxx->Ocosxsinzx

lx2

=lim-^----=[.

IOKCOSX2

sinx-tanx

(4腐

(Vi+x^-lX^+sinx-l)*

解因為

sinx-tanx=tanx(cosx-l)

=-2tanxsin2^^-2x-(j)2=-^.v3(x—>0),

X2

Vl+x2-1-?y(XT0),

V(l+x2)2+Vl+x2+l

Vl+sinx-1=/疝”sinx?x(XT0),

vl+sinx+1

所以媽sinx-tanx——=-3.

(Vl+x2-IxVl+sinx-1)7

5.證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì):

⑴…（自反性）；

證明lim生=1,所以a~a;

a

⑵若a?以則上”對稱性）；

證明若a?°,貝Ijlim1=1,從而lim，=l.因此夕a;

（3港。~以上％則叱乂傳遞性）.

證明若。~以后%limy=limylim^=l.因此比％

練習(xí)1-8

1.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形:

X204x41,

(!)/?-

2-x1X2'

解已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)yw在［o,i加(1,2］

內(nèi)是連續(xù)的.

在x=l處，因為人1)=1,并且

lim/(x)=limx2=l,limf(x)=lim(2-x)=l,

x->rx-+rx->i+x-*i*

所以lim/(x)=l,從而函數(shù)加)在x=l處是連續(xù)的.

XT1

綜上所述，函數(shù)后)在［0,2］上是連續(xù)函數(shù).

z/\xTd

(2)/W=11|x|>l"

解只需考察函數(shù)在x=-l和x=l處的連續(xù)性.

在x=-l處，因為并且

lim/(x)=lim1=1*/(-I),

i-i-x-^-r

lim/(x)=Umx=-l=/(-l),

x+i*

所以函數(shù)在x=-l處間斷，但右連續(xù).

在X=1處，因為大1AL并且

limf(x)=limx=l=/Tl),limf(x)=lim1=1=/(l)

XT1+X-M+

所以函數(shù)在x=l處連續(xù).

綜合上述討論，函數(shù)在(-00,_1)和(_1,用)內(nèi)連續(xù)，在工>1處

間斷，但右連續(xù).

2.下列函數(shù)在指出的點處間斷，說明這些間斷點屬于哪一

類，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)：

=

I(l?)y=—，—立—-+-2x'=l'x'2'

解--T-a+i)(D

yX2-3x^-2(x-2Xx-l),

因為函數(shù)在x=2和x=l處無定義，所以x=2和x=l是函數(shù)的

間斷點.

因為理片期懸F8,所以x=2是函數(shù)的第二類問

斷點；

因為limyTim尹業(yè)=-2,所以x=l是函數(shù)的第一類間斷

點，并且是可去間斷點.在工=1處，令產(chǎn)-2,則函數(shù)在x=l處成

為連續(xù)的.

⑵片，*4,與(無=0,土1,±2,???)；

13nxX

解函數(shù)在點xMMlwZ)和x=k/r+夕(kwZ)處無定義，因而

這些點都是函數(shù)的間斷點.

因為

lim—^―=oo(A#0),

xfk斤tanx

所以xM欣E0)是第二類間斷點；

因為

lim-^-=0(*€Z),

xftanxxw號tanx

所以D和x=Jbr+段(k2)是第一類間斷點且是可去間斷點.

令訃=0=1,則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的.

令x=Jbr+￡時，尸0,則函數(shù)在％=￡”十長處成為連續(xù)的.

(3)y=cos2-,x=0;

X

解因為函數(shù)y=8s2上在x=0處無定義，所以x=0是函數(shù)

X

y=cos2_L的間斷點.又因為limcoP］不存在，所以x^O是函數(shù)

Xx-*ox

的第二類間斷點.

⑷氣3rx>rX=t

解因為

lim/(x)=lim(x-l)=O,limfix)-lim(3-x)=2,

z->rx-+rn+x->i*

所以x=l是函數(shù)的第一類不可去間斷點.

3.討論函數(shù)/(x)=］史霹x的連續(xù)性,若有間斷點,判

別其類型.

T曲1

解做=%需工=

0葉1.

、X|水1

在分段點X=-l處，因為

limf(x)=lim(-x)=l,limf(x)=limx=-l,

所以x=-l為函數(shù)的第一類不可去間斷點.

在分段點x=l處，因為

l