安徽省合肥市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：分鐘；滿分：分）命題學(xué)校：合肥七中命題人：審題人：85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)為，可得長方體的長、寬、高，從而可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了寫空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.2.已知直線l：，則直線l的斜率為（）A.B.C.D.第1頁/共20頁【答案】B【解析】【分析】把一般式轉(zhuǎn)化為斜截式即可得出斜率.【詳解】由題意得：直線的斜截式方程為，所以直線的斜率為.故選：B3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.63B.48C.31D.15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得公比和首項(xiàng)，即可由求和公式求解.【詳解】令等比數(shù)列的公比為，則，，解得，，所以.故選:C4.在下列條件中，使與一定共面的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間共面向量定理的應(yīng)用，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，由于，所以不能得出共面故A不符合題意；對于B，由于，則為共面向量，所以共面.故B符合題意；對于C，，由于，所以不能得出共面.故C不符合題意；對于D，由得，第2頁/共20頁而，所以不能得出共面.故D不符合題意；故選：B5.圓與圓的公共弦長為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可判斷兩圓相交，再兩圓方程作差得到公共弦方程，最后求出弦長即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓，即，圓心為，半徑，又，即，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到公共弦方程為，又圓心到直線的距離，所以公共弦長為．故選：B6.已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D第3頁/共20頁【解析】【分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體的所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D7.數(shù)列滿足：，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法即可求得其前10項(xiàng)的和.【詳解】由，當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩式相減可得，即（經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，上式符合，故，所以，所以.故選：C.第4頁/共20頁8.人教A版必修第一冊第92頁“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，函數(shù)的圖象實(shí)際上是雙曲線.則函數(shù)的圖象對應(yīng)的雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)先確定的漸近線，利用正切的二倍角公式及雙曲線離心率計(jì)算即可.【詳解】設(shè)雙曲線的兩條漸近線的夾角記為，易知函數(shù)的漸近線為：與縱軸，所以，又雙曲線的離心率滿足：，解方程可得.故選:A.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)以及求和公式求解.A【詳解】解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由，可得，，解得，所以，，第5頁/共20頁故選：AC.10.已知拋物線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線與，兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線為B.C.D.的最小值為4【答案】BC【解析】【分析】對A，根據(jù)拋物線方程求準(zhǔn)線判斷；對B：將直線方程與拋物線聯(lián)立判斷；對C：用數(shù)量積坐標(biāo)表示求算；對D：用基本不等式求最小值.【詳解】對A：由知準(zhǔn)線為，故A錯誤；對B：設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，則，所以B正確；對C：，故C正確；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故D錯誤.故選：BC如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（）第6頁/共20頁A.三棱錐的體積為定值B.異面直線AP與所成角的取值范圍是C.平面ADP與平面ABCD所成夾角的余弦值取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用線面平行的判定定理，得出平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，BCD標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出平面與平面所成角的余弦值和直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，，平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時，因?yàn)槠矫妫?，所以，此時，與所成的角為，第7頁/共20頁所以異面直線與所成角的取值范圍是，故B正確；對于C，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，，則，，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，則，即，令，則，則得，面與平面所成夾角為，所以，因?yàn)?，，所以，，所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是，故C錯誤；對于D，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，得，所以直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，第8頁/共20頁最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.雙曲線的焦距為______.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，所以雙曲線的焦距為8.故答案為：8.13.過動點(diǎn)作圓的切線（的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)推出在直線上，繼而將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，圓的圓心為，則.第9頁/共20頁為圓的切線，則有，又由，則有，即，變形可得：，即在直線上，則的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，且，即的最小值是；故答案為：.14.如圖，曲線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)（構(gòu)成一系列正三角形：，，，.設(shè)正三角形的邊長為，點(diǎn).則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】【分析】由是邊長為的正三角形，得的坐標(biāo)，再將其坐標(biāo)代入中，可求出的值，又由于每一個三角形都為正三角形，從而可得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，可得，再由求出，所以數(shù)列為等差數(shù)列，從而第10頁/共20頁可求得.【詳解】由條件可得為正三角形，且邊長為，，由在曲線上，得，，，根據(jù)題意，得點(diǎn)在曲線上，所以，整理，得.當(dāng)，時，，∴即.，，當(dāng)時，，即，解得或（舍），故所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第11頁/共20頁15.圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為圓的過點(diǎn)P且傾斜角為的弦．（1）當(dāng)時，求的長；（2）當(dāng)弦AB最短時，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）【解析】1）先求出直線的方程，然后求圓心到直線的距離，再利用圓心距，弦和半徑的關(guān)系可求出的長，（2）由圓的性質(zhì)可知當(dāng)時，弦AB最短，從而可求出直線AB的方程【小問1詳解】直線AB的斜率，圓的半徑．則直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即．則圓心到直線AB的距離．由垂徑定理，得，所以,解得．【小問2詳解】當(dāng)弦AB最短時，P為AB的中點(diǎn)，由題意，則．則直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即．16.已知平面上兩點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；第12頁/共20頁（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)橢圓定義可得答案；（2）設(shè)，可得，與橢圓方程聯(lián)立可得答案.【小問1詳解】由，，動點(diǎn)滿足，可得動點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，，，所以軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)動點(diǎn)滿足時，可得在以為直徑的圓上，設(shè)，可得，又，解得，，則的縱坐標(biāo)為.17.已知三棱柱中，，，.第13頁/共20頁（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】1）要證平面，只需求證，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)，即可求得答案.1）,.在中,,由余弦定理得,,.又,,又,平面.（2）由（1），第14頁/共20頁又在中，可得又平面；由（1）得平面，又以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,又解得：，故設(shè)平面法向量為第15頁/共20頁由，可得故：取，則設(shè)平面法向量為由，可得故：取可得：平面與平面所成二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直的證法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18.在數(shù)列中，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2的前項(xiàng)和為為數(shù)列的取值范圍.第16頁/共20頁【答案】（1）2）.【解析】【分析】(1)已知數(shù)列的遞推公式，用累加法求通項(xiàng)即可;(2)由(1)可得，則，化簡得到對任意恒成立，分類分別求出當(dāng)時的取值范圍，再證明出時為遞增數(shù)列，即，綜合求出的取值范圍.【詳解】解：(1)，，，，上式累加可得:，，又，∴;(2)由(1)可得，∴，因?yàn)闉閿?shù)列中的最小項(xiàng)，所以，即，第17頁/共20頁當(dāng)時，得，∴;當(dāng)時，;當(dāng)時，得，∴，令，則，當(dāng)時，，，∴，又可驗(yàn)證當(dāng)時，也成立，當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】①已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式有多種方法，答題時要仔細(xì)區(qū)分，且最后一定要注意檢驗(yàn);②數(shù)列本質(zhì)上是函數(shù)，因此具有一些函數(shù)的性質(zhì)，解決某些數(shù)列問題時可以用上函數(shù)的相關(guān)方法.19.已知拋物線方程為焦點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為線段與拋物線的交點(diǎn)，定義：.（1）當(dāng)時，求；（2）證明：存在常數(shù)，使得；（3）為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且，判斷與的關(guān)系.【答案】（1）【解析】第18頁/共20頁1）求解出點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到和，從而求得2）通過假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)得