高中數(shù)學(xué)筆記總結(jié)高一至高三很全1

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

§01.集合與簡易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡單不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

（一）二、知識(shí)回顧：

（二）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為叱

②空集是任何集合的子集，記為血

③空集是任何非空集合的真子集；

如果團(tuán)同時(shí)感那么A=B.

如果AqB,BGC,那么

［注］:①｛整數(shù)｝（V）Z=｛全體整數(shù)｝（X）

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：；瓦則｛0｝）

③

④若集合集合B,貝I」=團(tuán)=0（）=D（注：=0）.

3.①｛（x,y）=0,x￡R,y￡R｝坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②（（x,y）<0,x￡R,yER團(tuán)二、四象限的點(diǎn)集.

③（（x,y）>0,x￡R,y￡R｝一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：0解的集合｛（2,1）｝.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是胤（例：A=｛（x,y）|yl｝｛2+1｝則APIBW）

4.①n個(gè)元素的子集有2n個(gè).②n個(gè)元素的真子集有2n一1個(gè).③n個(gè)元素的非空真子集有

2n-2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題團(tuán)逆命題.

②一個(gè)命題為直，則它的道否命題一定為由原命題因逆否命題.

例：①若國應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3,則=5,成立，所以此命題為真.

②XH1且yh2>=^>x+yw3.

解:逆否:x+y=30x=1或y=2.

團(tuán)西，故團(tuán)是（3的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

2.例：若回.

集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：Ae8={x|xeA,且xc3}

并：AJ8<=>{x|xeA或不￡8}

補(bǔ)：%A={%￡《,且X:A}

3.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

等價(jià)關(guān)系：

（二）含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法與延伸

1.整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）從右向左，從上向下，奇穿偶回，零點(diǎn)討論

①將不等式化為aO（1）（2）…（）>（）（"）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；（為了統(tǒng)一方

便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式

是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

X

（自右向左正負(fù)相間）

則不等式q）x"+。2/—2+???+%>0（<O）（6fo>0）的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確

定.

特例①一元一次不等式為解的討論;

②一元二次不等式2>0（a>0）解的討論.

△>0A=0A<0

二次函數(shù)

\\

y=ax2+bx+c4rA\

\X

(a>0)的圖

oX1=X2XX

象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+Z?x+c=Ob

玉,々（王<x）x,==-----無實(shí)根

（a>0用根22a

ax2+bx+c>0b

?XX-----

m>o)的解集2aJR

ax2+bx+c<0

{xjjj<X<%2}0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0（或<0）；20（或W0）的形式，

（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）>0<=>>0;^>0<=>-°

g（x）g（r）[g⑺HU

3.含絕對(duì)值不等式的解法

（1）公式法：，與型的不等式的解法.

（2）定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

（3）幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程為（aWO）

（1）根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

（三）簡易邏輯

L命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；

由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且“、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q（記作“pVq”）;P且q（記作“p/\q"）;非p（記作“1

q”）。

3.“或”、“且”、“非”的真值判斷

（1）“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假：

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.

4.四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P;

否命題：若1P則"Iq；逆否命題：若1q則1Po

（1）交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

（2）同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

（3）交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5.四種命撅方間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若且，則稱P是Q的充要條件，記為P=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從而否定

假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章?函數(shù)

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

定義------------R:A—>B

廠一反函數(shù)

周殳初「完T-圖像

口央身才

性質(zhì)

L二次函數(shù)

二具體函數(shù)——4：方數(shù)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

(―)二、知識(shí)回顧：

(二)映射與函數(shù)

1.映射與——映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@

二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是

同一函數(shù).

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X12,

⑴若當(dāng)xl<x2時(shí)，都有f(xl)<f(x2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)xl<x2時(shí)，都有f(xl)>f(x2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這

一區(qū)間叫做函數(shù)(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間二的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)Wx)的定義域內(nèi)任立一個(gè)人都行

4?xEx),那么兩?f(x)<叫做偶函數(shù).

/W

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)r?函數(shù)?x)的定義域內(nèi)任意個(gè)工都有

那么函數(shù)IU)就國做奇函數(shù).

/(力是奇函數(shù)=+力=0。驍=-】(/因，0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)=/(x)或

"-力=-/(工)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于)軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反

4.如果是偶函數(shù)，則/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，貝!1/(。)=。。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù):團(tuán)

設(shè)(0)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(團(tuán))也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于團(tuán)軸對(duì)稱，例如:0在團(tuán)上不是偶函數(shù).

②滿足助或團(tuán)，若團(tuán)時(shí)，風(fēng)

⑵奇函數(shù):團(tuán)

設(shè)(0)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(齡也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如:回在回上不是奇函數(shù).

②滿足團(tuán)或團(tuán)若同時(shí),0.

8.對(duì)稱變換：①y=f(x)□

②y(x)押您.>),=—/CO

③y(x)原點(diǎn)對(duì)稱>y=_/(_〉)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如:

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(x)=1+團(tuán)的定義域?yàn)锳,函數(shù)f[f(x)]的定義域是B,則集合A與集合B之

間的關(guān)系是

解:團(tuán)的值域是團(tuán)的定義域同目的值域回故回，而A0,故同

11.常用變換：

①/(%+》)=fMf(y)ofU-y)=%.

/(y)

證:o

②/(-)=/(-v)-f(y)o/⑴y)=f(x)+f(y)

y

證:團(tuán)

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：團(tuán)f團(tuán)關(guān)于團(tuán)軸對(duì)稱.團(tuán)f田f團(tuán)

y=12x2+2A-1|-*|y]關(guān)于x軸對(duì)稱.

⑵熟悉分式圖象：

例：(3團(tuán)定義域團(tuán)，

值域｛)，I丁H2,)，€口~值域工K前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=>°且。。1)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

?

圖

象

■\

.........:.........;.........;............

*

：

(D定義域：R

性

質(zhì)(2)值域：(0,+8)

(3)過定點(diǎn)(0,1),即()時(shí)，1

(4)x〉0時(shí)，y>l<0時(shí)，0<y<l(4)x>0時(shí),0<y〈l<0時(shí),y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算:

(,)

logo(Af-N)=logflM+loga2V

a>llog“H=log“MTog“N

log“M”=〃log“(±M)0

log?VA7=Log“M

n

d%N=N

換底公式：logaN=■^鼠”

1叫a

推論：logab-log；,clogca=1

0］。&“"2.l°g七％?l°g"z/=

(以上

M>0,N>0,a>0,awl,b

)

的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log“(M?N)=log“M+log“N斯

M

logfl-=log?^-loga/V

log“M"=〃log0(±M，2)

log=-logM

rtnu

換底公式：log”N=

崛。

推論：log。b-log,,c-logca=1

nlog?g?l°g%%?log”-%=l°g,4％

(以上M>O,NAO,a”O(jiān),awl,bMO,bwl,c>0,cwl,a],a2…a”MO且wl)

注⑴:當(dāng)El時(shí)，團(tuán).

(2)：當(dāng)團(tuán)時(shí),取“+”，當(dāng)團(tuán)是偶數(shù)時(shí)且0時(shí),(3,而以故取“一”.

例如:田中x>0而國中xGR).

(2)y=〃'(。80,〃中1)與y=log”x互為反函數(shù).

當(dāng)團(tuán)時(shí)，團(tuán)的團(tuán)值越大，越靠近同軸；當(dāng)團(tuán)時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法：②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法:先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉與到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)

大于()，底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)塞的底數(shù)不等亍零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”：③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥困數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法：①設(shè)是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x<x；②判定f(x)

與f(x)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f()與f(x)之間的關(guān)系：①

f()(x)為偶函數(shù);f()(x)為奇函數(shù);②f()(x)=0為偶；f(x)()=0為奇;③f()(x)=l是偶；f(x)

+f()1為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象

的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際

問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際

問題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義%+i-a“=d

如=夕(#0)

冊(cè)

遞推公a?=??_1+；a?=a?,_tl+md

n,n

冊(cè)=即*/;a?=a,?q

式

通項(xiàng)公atl=ax+(〃-l)d

4〃="闖”-(%,夕工0)

式

中項(xiàng)a+a

A_n-kn+kaa(aa)

’2G=±Vn-i?+Jtn-kn+k?°

(〃,AeakA0)(WN",〃AkA0)

前〃項(xiàng)

S〃勺(q=1)

n=7(?1十a(chǎn)〃)

和fiLd^?>

s“=4=(</2)

Sn=na\+2d\-q\-q

重要性

質(zhì)

am+an=ap+at/(/?,n、p、qeN",a,??a?=a/f-aq(小，注,p.qwN*、m+n=p+c/)

1.⑴等等鏤數(shù)則〃+夕)等比數(shù)列

差、等

比數(shù)

列：

定義

{〃”}為4Po冊(cè)+1=d(常數(shù))

{4}為G?Po=式常數(shù))

%

通項(xiàng)公

%%(1)a()dna4=ad"=ad"

式kl

求和公〃⑷

+an)n(n-\).(4=1)

式s〃=2=〃q+2d

Sn二?W—L(3

=d2+(〃,|d一、彳)〃

乙J1-q1-q

中項(xiàng)公團(tuán)推廣：20=0ao推廣：團(tuán)

式

性1若，則團(tuán)。

質(zhì)若則。巾+%=%+4

2若同成等比數(shù)列（其中團(tuán)），貝煙成等

若伙"成（其中幻eN）則｛4“）也

比數(shù)列。

為。

3.0成等差數(shù)列。

%，$2.一一，$3“.成等比數(shù)列o

4

,a?-a,a?,-a?z、團(tuán)，00

d=-2-L=二2-H〃2?！?

n-1in-n

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①?！ㄒ?d（n＞2,d為常數(shù)）

②2a”=〃”+i+a〃_i（"22）

@an=k/i+b（/?,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

①an=an_xq{n>2,4為常數(shù),且工0)

②回（團(tuán),助①

注①:i圓是a、b、c成等比的雙非條件,即03a、b、c等比數(shù)列.

.0（＞0）一為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

周一為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

.團(tuán)且團(tuán)一為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有＞0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③％=eg”(c,g為非零常數(shù)).

④正數(shù)列｛%｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log］/”｝(XA1)成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛勖的前13項(xiàng)和團(tuán)與通項(xiàng)團(tuán)的關(guān)系:0

［注］:①國(團(tuán)可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)一若回不為

0,則是等差數(shù)列充分條件).

②等差｛用前n項(xiàng)和回一團(tuán)可以為零也可不為零一為等差的充要條件一若團(tuán)為零，則是等差數(shù)列

的充分條件；若團(tuán)不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍團(tuán)；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2回，則03；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為國則團(tuán)，且回，回

0.

3.常用公式:①1+2+3…=0

②/+22+32+…〃2=小也絲1)

6

③尸+23+33…〃3=’用］

［注］:熟悉常用通項(xiàng):9,99,999,…團(tuán)；5,55,555,…包

4.等比數(shù)列的前團(tuán)項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量

成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+a(1+r)n"1="""】

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存(3元，利息為團(tuán)，每月利息按復(fù)利

計(jì)算，則每月的回元過回個(gè)月后便成為團(tuán)元.因此，第二年年初可■存款：

a(l+r)12+a(l+r)u+a(1+r)10+…+a(l+r)=〃(1-,川十一1.

⑶分期付款應(yīng)用題：13為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；團(tuán)為年利率.

m2

?(i+嚴(yán)=A(I++Mi+r)-+.....Mi+/-)+x=+d"==x=

r(l+r),H-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴冊(cè)+2=(P、9為二階常數(shù))t?用特證根方法求解,

具體步驟：①寫出特征方程。(用對(duì)應(yīng)團(tuán)x對(duì)應(yīng)團(tuán))，并設(shè)二根團(tuán)②若(3可設(shè)團(tuán)，若瓜可設(shè)吐③由初始

值團(tuán)確定回.

(2)回(P、r為常數(shù))團(tuán)用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代：③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為回的形式，再

用特征根方法求匹@0(公式法)，(3由團(tuán)確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：因

②選代法:雕1

=畔％+小-2.「+…+pr+廠

③用特征方程求解:E0因

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：.

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前團(tuán)項(xiàng)和為團(tuán)，在團(tuán)時(shí)，有最大值.如何確定使團(tuán)取最大值時(shí)的自值，有兩種方法：

一是求使匕成立的團(tuán)值；二是由團(tuán)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求B的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的定應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前回項(xiàng)和可依照

等比數(shù)列前田項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如:0

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差國的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:⑴定義法:對(duì)于n>2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證團(tuán)

為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。⑶中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證酬都成立。

3.在等差數(shù)列｛團(tuán)｝中，有關(guān)的最值問題：⑴當(dāng)團(tuán)>0<0時(shí)，滿足團(tuán)的項(xiàng)數(shù)m使得回取最大值.(2)當(dāng)

團(tuán)<0>0時(shí)，滿足團(tuán)的項(xiàng)數(shù)m使得團(tuán)取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的

應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于國其中｛勖是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于因其中｛團(tuán)｝是等差數(shù)列,團(tuán)是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

.〃(〃+1)

1):1+2+3=--------

2

2)1+3+5(21)=/

3)「+2、???+〃*=g心+1)

I2+22+3?+?.?+〃2=_!_〃(〃+1)(2〃+1)

4)

6

1111

5))

n(n+1)nn+1n(n+2)〃+2

6)(〃<q)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、

余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)(36)的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌

握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最

小正周期的意義.

（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式.

（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦

函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)（口。）的簡圖，理解A.3、。的物理意義.

（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)\\表示.

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:2a2a=1,aaaa?a=1".

§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與團(tuán)（0:,W?V360"）終邊相同的角的集合（角團(tuán)與角團(tuán)的終邊重合）：團(tuán)

②終邊在x軸上的角的集合：

③終邊在y軸上的角的集合：

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：

⑤終邊在軸上的角的集合：

⑥終邊在軸上的角的集合：

⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:

⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系:

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系:

2.角度與瓠度的互換關(guān)系:3600=20180°=01°=0.017451=57.30°=57°18'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1=°^57.30°=57°18'.1°=^0.01745（）

3.弧長公式：.扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)回是一個(gè)任意角，在回的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（）P與原點(diǎn)的距離

為r,則團(tuán)；團(tuán)；13；回；0；.0.

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

6.三角函數(shù)線

正弦線：；余弦線：；正切線:

7.三角函數(shù)的定義域：定義域

三角函數(shù)

/*)={xUe/?}

/U)={x\x&R}

/U)=XGRllxw&乃+，乃，人GZ-

12

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

（二）角與角之間的互換

cos(a+/7)=cosacos/7-sinasinpsin2a=2sinacosa

cos(?-=cosacos夕+sinasinficos2a=cos2a-sin2?=2cos2a-\=1-2sin2a

2tana

sin(a+/?)=sinacos°+cosasinptan2a=

1-tan2a

a1cosa

sin(a-p)=sinacos0-cosasin0s,n7=v~T~

/八、(anflf+tan/?a,11+cosa

tan(a+/?)=---------------cos—=±-----------

1-tanatan2V2

,小tancif-tan^a,(1-coscrsina1-cosa

tan(a-/?)=----------------tan—=±-i----------=-----------=-----------

1+tanatanp2V1+cosal+cosasina

sin15,=cos75=2^2^,，sin75°=cos15"=‘+&,tanl5=cot75=2-73,tan75=cotl5；=2+0.

44

10.正弦、夕/y=Asin(ftir+p)

y=8sx

弦、正%y=sinxy=tan.r

(A.0>O)

余切片數(shù)

(A、g>0)

的N象的

峻：

定義域RR,X|KGR1LvK&冬+9.k€ZR

值域

l-l,+HT+l]R[-4,人]

周期性2乃27VnIn

CD

奇偶性奇函偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)8。（）,非奇非偶

數(shù)當(dāng)0=0,奇函數(shù)

r兀c>——+k廣、一+kn

[----1-2k7r2k兀、122J2k7T---(p

2

----------(A),

>20]上為增函上為增函數(shù)3

數(shù)(ZwZ)

2kjr—7U~(p

上為增［2而，------Z——5)

(0

函數(shù)；（2&+加］

單調(diào)性7T-.上為減函上為增函數(shù)；

r勺+2&乃

數(shù)

2…K7T+-冗--(P

］（AcZ）——2—(A),

—+2kn

2co

c,3

上為減2K7T+—7T-(P

-(-A)

函數(shù)L(oJ

(上為減函數(shù)

k&Z)(k&Z)

注意：①團(tuán)與團(tuán)的單調(diào)性正好相反：回與團(tuán)的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若回在向上遞增（減），則

團(tuán)在向上遞減（增）.

②y=|sinM?與y=|cosA|的周期是乃.

③)，=sin(<ut+⑶或)，=cos(&r+0)(口工0)的周期7==.

團(tuán)的周期為2國（團(tuán)，如圖，翻折無效）.

④的對(duì)稱軸方程是（）,對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；

的對(duì)稱中心（）.

y=cos2x—隱也y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤當(dāng)lana,tan￡=1,a+￡=&4+/（攵eZ）：tana-tan/?=-1.a-fi-krr+^（k€Z）.

⑥與是同一函數(shù)，而是偶函數(shù)，則

y=（oiv+（p）=sin（6tiv+k/r+-rr）=±COS@M）?

⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（*）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，為增

函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如:團(tuán)是奇函數(shù)，團(tuán)是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若回的定義域，則自一定有回.（團(tuán)的定義域，則無此性質(zhì)）

⑨），=sinW不是周期函數(shù)：），=卜山鵬為周期函數(shù)（7=4）：'

），=co則是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosM為周期函數(shù)（T二

y-kwZsim附象

團(tuán)的周期為13（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

）,=/（X）=5=/*+%）,%€R.

⑩y=4cosa+〃sin0=Ja?sin(a+°)+cos0=2有』a。+b2>|>|.

a

11.三角函數(shù)圖象的作法:

1）、幾何法：

2）、描點(diǎn)法與其特例一一五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲

線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.

函數(shù)y=（3x+@）的振幅，周期回頻率比相位團(tuán)初相團(tuán)（即當(dāng)x=0時(shí)的相位）.（當(dāng)A

>0,3>0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y=的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)>1）或縮短（當(dāng)0<<1）到原

來的倍，得到丫=的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用替換y）

由丫=的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<|?|<1）或縮短（|G）|>I）到

原來的回倍，得到丫=3X的圖象，叫做周期變換或叫做沿X軸的伸縮變換.（用3X替換X）

由丫=的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)6>0）或向右（當(dāng)小<0）平行移動(dòng)I6I個(gè)單位，得

到丫=（xI<1>）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用xI6替換x）

由丫=的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平行移動(dòng)IbI個(gè)單位，得到y(tǒng)=

+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用（）替換y）

由丫=的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=（3X+6）（A>0,3>o）（x￡R）的圖象，要特別注意：

當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸展伸縮審:的區(qū)別。

高中數(shù)學(xué)第五章.平面向量

§05.平面向量知識(shí)要點(diǎn)

1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

反本應(yīng)用］

一^段的、比分點(diǎn)|

T平面兩點(diǎn)間距落］

?|平移公式|

2.向量的概念后

（D向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：幾何表示法：字母表示：a；

坐標(biāo)表示法a=xi+yj=（x,y）.

（3）向量的長度:即向量的大小,記作lai.

（4）特殊的向量：零向量a=0IaI=0.

單位向量為單位向量OII=l.if

（5）相等的向量：大小相等，方向相同（xl,y1）=（x2,y2）

（6）相反向量：0

（7）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a〃b.平行向量也稱為

共線向量.

3.向量的運(yùn)算記

運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

a+b=b+ci

向量的1.平行四邊形法則—■————一

。+〃，+必)(a+b)+c=a+(b+c)

加法2.三角形法則=(5+&y

~AB+BC=AC

a-b=a+(-b)

向量的

三角形法則a-b=(x-x,y-y)

減法l2l2

AB=-BA,OB-OA=AB

1.義。是一個(gè)向量，滿

4("。)=(即)4

足加=|刈『|

數(shù)

(2+jLi)a=/a+/ja

乘

2.2>0時(shí)，2a與a同向;Aa=(2x,Ay)

向

A(a+b)=+Ab

量

2<0時(shí)，與。異向；

a//ba=Ab

2=0時(shí)，Aa=0.

a?b=b?a

是一個(gè)數(shù)

向

(2a)?b=a?(Ab)=A(a?b)

量1.時(shí)，

的

c^b=xx+yy(a+/?)?c=67?c+/??c

數(shù)a*b=0.l2l2

量

且〃工。寸，a=|a『即|〃|=Jx?+y2

積2.一…

a?b=\a\\b\cos(a,b)

\cfb\<\a\\b\

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理Z

ehel是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量、那么,對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量、有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)

X2,使a=入lel+入2e2.

(2)兩個(gè)向量平行的充要條件召

a//。=^b(bN0)oA\y2—x2yi=0.Jg"

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件,g

O,b=<=>iX2+jij2=0.jf

(4)線段的定比分點(diǎn)公式,

設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為入，即=入，則

OP=-OP.+—OR,(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)勒

1+41+4

玉+疝2

A一,

?1+2(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)，可

、,」+儀

y-1+2-

當(dāng)人=