2024-2025學(xué)年山東省日照市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省日照市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.1.以的虛部為實部，以的實部為虛部的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.2已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A. B.C. D.3.在下列條件中，使P與A，B，C一定共面的是（）A. B.C. D.4.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A. B.C. D.5.已知直四棱柱的棱長均為2，.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為（）A. B. C. D.26.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（）A.12 B.24 C.27 D.367.如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為（）A B. C. D.48.如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A. B. C. D.2二、多選題：本大題共3個小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.D.若是關(guān)于的方程：的根，則10.如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為11.如圖，在矩形ABCD中，，，M是AD的中點(diǎn)，將沿著直線BM翻折得到．記二面角的平面角為，當(dāng)?shù)闹翟趨^(qū)間范圍內(nèi)變化時，下列說法正確的有（）A.存在，使得B.存，使得C.若四棱錐的體積最大時，點(diǎn)B到平面的距離為D.若直線與BC所成的角為，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知空間向量，，若，則______.13.設(shè)的三個內(nèi)角的對邊分別為，已知，則__________.14.如圖，長方體中，，，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，則的最小值為_____．四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知是復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，，其中是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角的大小；（2）若是銳角三角形，且其面積為，求邊的取值范圍.18.如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個即可）；（2）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面，平面，求出點(diǎn)到平面的距離；（3）已知集合，，.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為.（?。┣蠛椭担唬áⅲ┣髱缀误w的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值.2024-2025學(xué)年山東省日照市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.1.以的虛部為實部，以的實部為虛部的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】確定所求復(fù)數(shù)的實部和虛部，即可得解.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為，復(fù)數(shù)的實部為，故所求復(fù)數(shù)為，故選：A.2.已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】∵，且空間向量滿足，∴可設(shè)，又，∴，得．∴，故A正確.故選：A.3.在下列條件中，使P與A，B，C一定共面的是（）A. B.C D.【正確答案】C【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項判斷即可得到結(jié)論．【詳解】空間向量共面定理，，若A，B，C不共線，且P，A，B，C共面，則其充要條件是；對于A選項，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A錯誤；對于B選項，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B錯誤；對于C選項，由于，則，，為共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正確；對于D選項，由得，而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D錯誤．故選：C.4.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因為為與的交點(diǎn)，所以.故選：D.5.已知直四棱柱的棱長均為2，.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為（）A. B. C. D.2【正確答案】B【分析】先找出平面截球面的截面圓的圓心是的中點(diǎn)，再找到截面圓的半徑和交線.【詳解】如圖所示：由已知，連接，則因為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，，所以為等邊三角形.且平面，取的中點(diǎn)，連接,則,又平面，所以，又，所以平面，故平面截球面的截面圓的圓心是點(diǎn)，取和的中點(diǎn)，連接,則，故在球面上，,，所以為直角三角形，,球面與側(cè)面的交線是側(cè)面上以為圓心，為半徑的圓弧.故選：B.6.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（）A.12 B.24 C.27 D.36【正確答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.7.如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積求出，再利用三棱錐體積公式計算即得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C8.如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A. B. C. D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，當(dāng)水恰好流出時，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面N到底面B的距離，再由邊長關(guān)系可得四邊形是平行四邊形，從而側(cè)面與桌面所轉(zhuǎn)化成側(cè)面與平面所成的角,進(jìn)而在直角三角形中求出其正切值.【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.本題考查了利用定義法求二面角，在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.二、多選題：本大題共3個小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.D.若是關(guān)于的方程：的根，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)虛數(shù)單位乘方的周期性可判斷A選項，設(shè)根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長公式可判斷BC選項，再根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的解互為共軛復(fù)數(shù)且滿足根于系數(shù)關(guān)系，判斷D選項.【詳解】A選項：由虛數(shù)單位的定義，，則，A選項錯誤；設(shè)，B選項：由，則，且，則，，又，所以當(dāng)時取最小值為，B選項正確；C選項：，，，所以，C選項錯誤；D選項：由已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的兩根滿足，且與互為共軛復(fù)數(shù)，由可知，則，即，D選項正確；故選：BD.10.如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為【正確答案】ABD【分析】通過建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長判斷A項；利用空間向量的夾角公式計算判斷B項；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項；通過求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項.【詳解】不妨設(shè)則.對于A，因,故，故，故A正確；對于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確故選：ABD.11.如圖，在矩形ABCD中，，，M是AD的中點(diǎn)，將沿著直線BM翻折得到．記二面角的平面角為，當(dāng)?shù)闹翟趨^(qū)間范圍內(nèi)變化時，下列說法正確的有（）A.存在，使得B.存在，使得C.若四棱錐的體積最大時，點(diǎn)B到平面的距離為D.若直線與BC所成的角為，則【正確答案】ACD【分析】A選項，作出輔助線，得到即為二面角的平面角，，當(dāng)時，平面，證明出線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，得到；BCD選項，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用線線角的夾角公式得到，B錯誤；C選項，確定當(dāng)時，體積最大，利用點(diǎn)到平面向量距離公式進(jìn)行計算；D選項，計算出.【詳解】A選項，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，故即為二面角的平面角，即，當(dāng)時，平面，因為平面，所以，因為矩形ABCD中，，，M是AD的中點(diǎn)，所以，故為等腰直角三角形，故，⊥，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，存在，使得，A正確；B選項，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于此平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)時，，此時，，故，故不存在，使得，B錯誤；C選項，當(dāng)時，平面，此時四棱錐的體積最大，此時，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點(diǎn)到平面的距離，C正確；D選項，，，故，D正確.故選：ACD結(jié)論點(diǎn)睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知空間向量，，若，則______.【正確答案】##5.75【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積公式計算即可.【詳解】因為，，所以，解得.故13.設(shè)的三個內(nèi)角的對邊分別為，已知，則__________.【正確答案】【分析】利用余弦定理結(jié)合條件建立方程解方程即可.【詳解】由余弦定理知，所以，所以.故14.如圖，長方體中，，，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，則的最小值為_____．【正確答案】##075【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，求出，求出最小值.【詳解】以坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，當(dāng)時，的最小值為.故四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知是復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，，其中是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及實數(shù)的定義求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解；（2）先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【小問1詳解】設(shè)，則，為實數(shù)，，解得，為實數(shù)，，解得，，；【小問2詳解】由（1）可知，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得，故實數(shù)的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證得，得到四邊形為平行四邊形，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）根據(jù)題意，證得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：因為，所以，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，平面，所以，因為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又平面的一個法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角的大?。唬?）若是銳角三角形，且其面積為，求邊的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正余弦函數(shù)和差角公式化簡即可；（2）由（1）知，又是銳角三角形，可得，根據(jù)且其面積為可得，再設(shè)，根據(jù)角度關(guān)系化簡可得，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】因為，則，所以，即，得.所以或（不成立，舍去），從而，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，又是銳角三角形，則，得.因為，所以.設(shè)，因為，所以，因為，則，所以，從而，即，所以邊的取值范圍是.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）①或；②不存在點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）①依題意建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用題設(shè)條件，分別求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量坐標(biāo)的夾角公式列出方程，求解即得的值；②假設(shè)存在點(diǎn)，可由推得，得點(diǎn)坐標(biāo)，由得方程，因此方程無實數(shù)解，假設(shè)不成立.【小問1詳解】在四棱錐中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，，，則，，因，則，，所以，，①設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，由，，得：，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則有：，，即：，化簡得：，解得或，即或，②如圖，假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上，由，得，所以，所以，又得，，所以，，由得，即，亦即（*），因為，所以方程（*）無實數(shù)解，所以線段上不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上.方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意，創(chuàng)建合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表達(dá)式即可求解相關(guān)問題，對于開放性問題，一般是假設(shè)結(jié)論成立，通過推理計算求得結(jié)論成立的條件或者推導(dǎo)出矛盾.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個即可）；（2）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面，平面，求出點(diǎn)到平面的距離；（3）已知集合，，.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為.（?。┣蠛椭担唬áⅲ┣髱缀误w的體積和相鄰兩個面