圓-圓冪定理6師

第10講圓幕定理，圓中比例線段

圓幕定理是初中平面幾何中重要定理之一，在有關(guān)計(jì)算和證明中應(yīng)用非常多，尤其是在證明圓中線段

比例式（或等積式）時(shí)，能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用相似形和圓的有關(guān)知識分析、解決問題的能力，因而

成為全國各省市中考及數(shù)學(xué)競賽命題的一個(gè)熱點(diǎn)，切實(shí)加強(qiáng)這方面知識的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練，全面掌握這類問題

的證明思路和方法，對每一個(gè)同學(xué)都非常重要.

此外，證明圓中線段比例式（或等積式）的基本思路有（1）利用平行線分線段成比例定理；（2）利用相

似三角形給出證明；（3）利用圓黑定理給出證明；（4）利用面積或三角函數(shù)給出證明.

一、基礎(chǔ)知識

1、相交弦定理

如果圓內(nèi)兩條弦AB和CD相交于點(diǎn)P,那么PA-PB=PC-PD（如下圖1）；

2、割線定理

如果從圓外一點(diǎn)P向圓引割線PAB和PCD,那么PA?PB=PC?PD（如下圖2）；

3、切割線定理

如果從圓外一點(diǎn)P向圓引割線PAB和切線PC,那么PA?PB=PC2（如下圖3）；

上述三個(gè)定理統(tǒng)稱為圓塞定理.實(shí)際上，可以把切割線定理看作是割線定理的極限情形，于是上述三

個(gè)結(jié)論可以合并為：如果交點(diǎn)為P的兩條直線與圓O相交于A、B與C、D,那么就有PA?PB=PC?PD,

這里P、A、B共線及P、C、D共線；

二、例題

例1（★）已知，如圖AB是。O的弦，P是AB上一點(diǎn)，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求：OO

的半徑.

設(shè)。O的半徑為Rem,則PC=OC-OP=R-5,

PIX）I>+OP=R+5，/

由相交弦定理（'）

PC-PD=PA?PB

即：（R-5）（R+5）=4X6.B

解之，得：R=7（負(fù)值已舍去），

例2（★）如圖，已知。Oi和。02相交于CD兩點(diǎn)，其外公切線AB分別切。0人于點(diǎn)AB,求證：

直線CD平分線段AB.

切于點(diǎn)

EA0OA1_A2___

EDC是OO的割線J

同理EB2=ED*EC

=>EA2=EB2=>EA=EBO

例§（★）如圖，E是圓內(nèi)弦AB、CD的交點(diǎn)，直線EF〃CB,交AD的延長線于F,FG切圓于G,連

結(jié)EG,求證：NFEG=NFGE.

例如圖，PA切。O于A,PBC是。。的割線，M是PA的中點(diǎn)，MC交。O于N,PN的延長

線交。O于D,連結(jié)BD,求證：PA/7BD;

例5如圖，已知B是線段AC上任一點(diǎn)，在AC同側(cè)分別以AB、AC為直徑作兩個(gè)半圓A〃泳、

AnC,若CD切半圓A〃出于點(diǎn)D,EBJ,AC,B為垂足，且交半圓A〃C于E,M是DE的中點(diǎn)，求證

CMIDE.

的中點(diǎn)，求證：CM1DE.E]旦

證明：連結(jié)AE、CE.

CDt胖ISG于點(diǎn)D]

CBA是半園AB的耨線)"CD-CB?CA

AC是半跚標(biāo)的直徑nZAEC=90。nRtAAECl

EBIACJffisiA?L

BCEC

=>RtABCERtAECA=>—=-^=?ECJ=CB?CA

,ECACnEC2=CD*E=CDOCMLDE

CD??CB*CA

CM是DE邊上的中線%

=>CM1DE

例6(★★)如圖，在/ABC中，AB>AC,如果/ABC的內(nèi)切圓把BC邊上的中線AD三等分，求證:

BC=2AC；

證明：設(shè)AC、BC與00分別切于點(diǎn)E、F,

AD與00交于點(diǎn)G、H.則DG=GH=HA.

AF切。O于F

=>AF2=AH?AG

AHG是。O的割線

同理DE2=DG?DH

DG=GH=HA=>AG=DH

DG=AH

=>AF=DE

=>AC=DC

CE.CF分別切GO于E.FnCE=CF=BC=2AC

BC=2DC

例7［支)圖中，AB是。O的直徑，直線MN切。O于點(diǎn)C,AD_LMN于D,AD交。O于E,AB的延

長線交MN于點(diǎn)P,求證：AC2=AE?AP；

證明：連結(jié)BC,因?yàn)?/p>

AB是。。的直徑,即AC*=AB?AD.

所以-90?.乂因?yàn)镹AE8-NADP=90\

工烝為〃、08于C.所以EB〃DP,所以痣=笠，

所以NA^C-NACD.

△AfiCs"CD,即AB?AD=AE?AP.②

由①知4。一4E?4尸(這里用AB?

礪AB_AC

所以而一而.AQ作中間量傳遞).

例8(★)如圖，Z1ABC中，ZA的平分線AD交BC于D,0O過點(diǎn)A,且和BC切于點(diǎn)D,和AB、

AC分別相交于E、F,AD與EF相交于G,求證：BD?EG=BE?EA；

分析:要證5。?EG=BE'EA⑴

須證:然=”.......Q)

觀察(2)式中四條線段豎向排列可得々。七和

△E/G(需作輔助線。E)

要證(2)式成立,只須證明上述兩個(gè)三角形相似,易

得N4=N1.又由于Nl=Z4,Z2=Z3,Zl=N2,得

Z3=N4,從而有E尸//3C,可得乙1EG=ZOBE,即得

△從EgADBEO

例9(**)如圖，己知BC是圓中一條弦，EF切圓于A,ADJ_BC于D,BE_LEF于E,CF_LEF于F,

求證；AD2=BE?CF；

證期：連結(jié)48、AC,因?yàn)镋尸是圓的切線，

所以Z_BAE=Z.ACD,

又Z.BEA=^ADC，90。.

BEAB

所以r^ABEooAC/IDfAD=AC-

同理△AC尸s△BAD,

,4DABBEAD

所KCn以聲"衣'而二方，

即AD2=BE-CF(這里用端作中間量傳

遞).

證明2：延長E(M)F(N)、BC交于P

證明???2徹=90。，匕P=乙2，

APADsAPBM.;.籃=第,同理可證

△■。，得算二察.由切割線定理，得RP=P6-H；,即

ADrA

PA^PC.AD-CN故AgRM-CN

麗-可…用T而雙AM"CM

例1()(★,2002年東城區(qū)中考)如圖，P是。O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，割線PCD交。O于C、D兩

點(diǎn)，弦DF_LAB于H,CF交AB于點(diǎn)E,求證：PA?PB=PO-PE；

證明連結(jié)；力力是。。的直徑，弦

于〃，..Al)=AF^^DF.，Z.leZ.2..'.乙POD=

X.PCE.又ZDPO=乙EPC△PDOS△PEC.

徐二提，即小。?心?。段由切割線定理的推論.

得PA,PH=PD?PC.;.PA-PH=PO-PE.

例11(★)如圖，已知PA、PB是。。的切線，切點(diǎn)為A、B,PCD是割線，求證:

AC?BD=AD?BC

△PCBSXpBD、APCJS心工口,從而得吃=

統(tǒng):言=學(xué)，又由切線長定理、知P/=P5。易得要證

結(jié)論。

例"(★)如圖，BC是圓的直徑，O是圓心，P是BC延長線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A,AD_LBC于點(diǎn)

D,求證：PD-PO=PC-PB

證明：（2）連結(jié)40.

因?yàn)橐郧邪雸A于點(diǎn)4,

所以LOAP=90°.pMPPD

所6f?以麗-麗，

又LADP=90。，

即PA2=PO-PD.

所以LOAP=LADPf

又LAPO=LAPD,由切割線定理得尸矛=PC?PB

所以A4P0S△OPA,故PD?PO=PC?PB.

CDAC2

例13(★★)如圖，過/ABC的頂點(diǎn)A作外接圓的切線交BC的延長線于D,求證:

證明：因?yàn)锳Q為。。的切線，

所以=

而NADC=/SD4.

所以AABD(y>^CAD,~=沁^

又因?yàn)轵?盥,

所以盥?舞(這里用毅作中間量過

例托勒密定理)求證：在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB-CD+BC?AD=AC?BD

托勒爾?2世紀(jì)拿橘IC學(xué)本.因?yàn)閆I=N2,N3cZ4.

定現(xiàn)在的的內(nèi)41四邊給所以△ABPsAACD,

AHCI)k/<,?AD因此AH，AC，HP?(1),

AC?/").即AB?U)-AC?HP

蚓再△/V)Ps447Mg

證明如圖I所示?佐加)

/<<?Al)-AC?PD

上找點(diǎn)〃,使Zl=Z2.于是①+②律AH?Cl)4/<,.Al)

在AABP相A/W'D中.=AC?(HP+PD)=AC?HD.

補(bǔ)充：(★★★,96年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)M,過M作AD

的平行線分別交AB、CD于E、F,交BC的延長線于點(diǎn)O,P是以。為圓心、以O(shè)M長為半徑的圓上一

點(diǎn)，求證：ZOPF=ZOEP；

證如圖，延長成與

比'相交于4?

OM//AK,

O—Fas-C-O-mO-M-.

DKCKAK

OMAK

而一成

OE/fAK,

OEBOOM

st-i‘sez—,一

AKBKDK

OEJK

OM^bK

由①'②得器=器。再由得器=器

又N.MF=4理*，：?△汽234儀)P,：?/3"'=20EP.

證法2：用梅涅勞斯定理證

直線OCB分別對/DMF和/AEM三邊相交；則

DBMOFCABEOFC

MBFODC~；EBMODC

OFOEDBFCEBAC

得-----=-----------------

OM2MBDCABMC

上工~〃皿“DBABFCMC

由于EF〃AD,故——=——;——=——

MBEBDCAC

故OFO?=、,故OP'OM'OEOF

OM2

則/OFPs/OPE,則NOPF=NOEP

三、練習(xí)題

1.(★)如圖，PA為(DO的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA=10cm,PB=5cm,求。O

的半徑.

解：設(shè)OO的半徑為rem,則PC=PB+BC=5+2r,由切割線定理，得:

PB?PC=PA2

5X(5+2r)=10’

即：。。的半徑為^cm?

解法二：設(shè)的半徑為rcm?則OP=PB+OB=5+R,

由圓靠定理得:

PA^IOP2-?1

l『=(5+T)2-r2

M2,：r?y(cm)

2.(★)過。O外一點(diǎn)P作。O的兩條切線PA、PB,連結(jié)OP與AB交于D,與。O交于C,過C作

AP的垂線，垂足為E,若PA=10cm,PC=5cm,則CE=_____；

【解】延長PO交。O于F,設(shè)。O半徑為r,由切割線定理得、

PA2=PC-PF,即有r=7.5,又CE〃OA,則——=——；得CE

OAPO

=3cm

3.(★★)AB、AC分別是(DO的切線與割線，若NC=45°,ZBDA=60°,CD=后，求切線AB的

長；

【解】：ZACB=45°,故NBOD=90°；AA

又NBDC=15°,故CD弧為30°,連結(jié)B0并延長交卜、/

。。于E,過C作CF垂直于BE于F

易得OF=3R,因?yàn)锳B〃CF〃DO,故)PVCj

==—;AD=25/6,AB=2mx3娓=6-

ADBO2

4.(★★)如圖A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓周上，且BC=CD=4,AE=6,線段BE和DE的長都是

正整數(shù)，則BD的長等于；

【解】設(shè)EC=x,BE=y,ED=zA

CDCE4x*、

/EDCS/DAC,則J=—；即----=一;得x=2,負(fù)值舍去；//\\\

CACD6+x4

又AE?EC=BE?ED,故yz=12；而在/BCD中，y+z<4+4=8;

故滿足上述題意的y、z有：

Y=3,z=4或Y=4,z=3,故BD=7

5.(★★)在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E,且與CD相切，若AB=4,

BE=5,貝?。軩E=；

由AE〃BC,